楊興明， 段 舉， 朱 建， 高銀平

（合肥工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009）

欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)是一類(lèi)驅(qū)動(dòng)器數(shù)目小于系統(tǒng)自由度數(shù)目的系統(tǒng)。兩輪自平衡小車(chē)則是欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的典型代表，它具有欠驅(qū)動(dòng)、非線(xiàn)性、強(qiáng)耦合、多變量的特點(diǎn)。它可以在3個(gè)自由度上運(yùn)動(dòng)，包括擺桿的旋轉(zhuǎn)，車(chē)體的前后運(yùn)動(dòng)以及車(chē)體的旋轉(zhuǎn)。其廣泛的應(yīng)用前景引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。由于非線(xiàn)性系統(tǒng)不能建立精確模型，傳統(tǒng)PID、LQR等線(xiàn)性控制方法具有局限性，因而研究人員開(kāi)始關(guān)注智能控制方法的應(yīng)用，滑模控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、迭代學(xué)習(xí)、遺傳算法等控制方法的設(shè)計(jì)各有特點(diǎn)。其中，滑?？刂频奶攸c(diǎn)在于系統(tǒng)的“結(jié)構(gòu)”并不固定，隨著當(dāng)前系統(tǒng)的狀態(tài)不斷變化，按照預(yù)定的“滑動(dòng)模態(tài)”的狀態(tài)作軌跡運(yùn)動(dòng)，因此滑?？刂频玫搅藦V泛的應(yīng)用［1］。其穩(wěn)定性強(qiáng)，魯棒性較好，實(shí)現(xiàn)相對(duì)容易。

為實(shí)現(xiàn)對(duì)小車(chē)的平衡控制，文獻(xiàn)［2］將其平衡控制系統(tǒng)分解為2個(gè)子系統(tǒng)，通過(guò)一個(gè)中間變量將2個(gè)子系統(tǒng)聯(lián)系起來(lái)，用1個(gè)控制量實(shí)現(xiàn)對(duì)小車(chē)的平衡控制。但這種傳統(tǒng)的分解滑模控制的局限性在于無(wú)論如何控制，系統(tǒng)狀態(tài)在滑動(dòng)模態(tài)上無(wú)法在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)，且動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度較慢。文獻(xiàn)［3］提出引入模糊推理來(lái)調(diào)節(jié)線(xiàn)性滑模面的斜率參數(shù)，一定程度上加快了動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，卻仍然存在有限時(shí)間內(nèi)無(wú)法收斂的問(wèn)題。

20世紀(jì)80年代，有學(xué)者提出終端滑模控制策略，通過(guò)引入非線(xiàn)性滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)能在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)［4］。其缺點(diǎn)在于降低了收斂速度，且存在奇異性問(wèn)題。通過(guò)增加線(xiàn)性項(xiàng)，快速終端滑?？刂瓶梢赃M(jìn)一步改善收斂速度，但始終未能解決奇異性問(wèn)題［5］。文獻(xiàn)［6］提出一種新型快速終端滑?？刂品ǎ砻髟谶x取適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)冪的情況下可以避免奇異性，且收斂速度較快。然而，對(duì)于階數(shù)較高的系統(tǒng)，此類(lèi)方法的終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)復(fù)雜，計(jì)算機(jī)仿真耗時(shí)較長(zhǎng)。

為解決欠驅(qū)動(dòng)兩輪自平衡車(chē)的平衡控制問(wèn)題，本文將分解滑?？刂婆c新型快速終端滑模控制相結(jié)合，解決了有限時(shí)間收斂的問(wèn)題。鑒于常值滑模面系數(shù)影響收斂速度，采用模糊推理法進(jìn)一步調(diào)節(jié)，加快了系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)速度，表現(xiàn)出較好的魯棒性。此外，對(duì)于高階系統(tǒng)而言，本文的控制方法相對(duì)于普通終端滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。

1 兩輪自平衡車(chē)的模型建立

兩輪自平衡車(chē)模型示意圖如圖1所示。

圖1 兩輪自平衡車(chē)模型示意圖

設(shè)R為左右車(chē)輪的半徑；mR＝mRL＝mRR為車(chē)輪質(zhì)量；mP為車(chē)體質(zhì)量；XRL、XRR為左右車(chē)輪的位移為車(chē)體的行駛速度（即ωP）為擺桿與垂直方向的夾角角度和角速度；θRL、θRR為左右車(chē)輪繞Z軸的轉(zhuǎn)角為車(chē)體繞Y軸的角度和角速度；D為兩車(chē)輪的間距；L為車(chē)體質(zhì)心到Z 軸的距離；JR＝JRL＝JRR，JPδ、JPθ分別為左右車(chē)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、車(chē)體繞Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、車(chē)體繞通過(guò)質(zhì)心且平行于Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

采用基于能量的分析方法［7］，選取車(chē)輪所在平面為零勢(shì)能面，得到小車(chē)系統(tǒng)的動(dòng)能T和勢(shì)能V的方程：

系統(tǒng)的輸入功率和輸出功率為：

其中，CL、CR分別為電機(jī)對(duì)左、右車(chē)輪的轉(zhuǎn)矩。

為了便于建模，將系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行線(xiàn)性化處理，即在小角度的范圍內(nèi)，取sinθP≈θP，cosθP≈1，忽略二次分量?；谏鲜龇匠?，結(jié)合文獻(xiàn)［7］中系統(tǒng)所受約束條件，可以得到系統(tǒng)模型的方程組：

這里選取需要觀(guān)察的狀態(tài)變量為XRM、VRM、θP、

結(jié)合電機(jī)轉(zhuǎn)矩C和控制電壓U的關(guān)系：

其中，Km、Ke分別為電機(jī)力矩系數(shù)和電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)。

整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

其中

對(duì)系統(tǒng)解耦，并將（11）式代入，即

上述解耦得出的2個(gè)部分分別為小車(chē)的平衡控制部分與旋轉(zhuǎn)控制部分，可看作是相互獨(dú)立的，可分別對(duì)這2個(gè)部分進(jìn)行控制。由于小車(chē)?yán)@Y軸旋轉(zhuǎn)的狀態(tài)矩陣為定值，也不存在干擾，控制相對(duì)容易，故本文重點(diǎn)研究平衡控制部分［8］。

2 控制器設(shè)計(jì)

將（12）式簡(jiǎn)化為如下的系統(tǒng)：

其中，x1＝θP，x2＝XRM，x3＝ωP，x4＝VRM；dθ（t）、dx（t）為外在的干擾，實(shí)際情況下它們都是具有上界的，即｜dθ（t）｜≤Dθ（t）、｜dx（t）｜≤Dx（t）；fθ（X，t）、fx（X，t）、gθ（X，t）、gx（X，t）的值可以由（12）式推出。

2.1 傳統(tǒng)分解滑?？刂破骷捌涓倪M(jìn)

將小車(chē)平衡控制部分分解為擺角子系統(tǒng)和位移子系統(tǒng)。擺角控制子系統(tǒng)記為子系統(tǒng)A，位移控制子系統(tǒng)記為子系統(tǒng)B。2個(gè)子系統(tǒng)的滑模面分別設(shè)計(jì)如下［2］：

其中，c1，c2＞0；z與s2是成比例的，可看作一個(gè)有界衰減振蕩信號(hào)。定義：

其中，0＜zu＜1；｜z｜≤zu；φz為s2的邊界層厚度。顯然z是s2的函數(shù)，當(dāng)s2→0時(shí)，有z→0。

平衡控制的目標(biāo)是控制擺角和位移漸進(jìn)收斂為0。這里采用了分解控制的方法，引入能夠反映子系統(tǒng)B滑模面信息的中間變量z，將其引入到子系統(tǒng)A的滑模面中，用1個(gè)控制量控制2個(gè)子系統(tǒng)，從而完成小車(chē)的平衡控制。此時(shí)，控制目標(biāo)從普通滑?？刂频膞1＝0，x3＝0轉(zhuǎn)變?yōu)閤1＝z，x3＝0。

根據(jù)Lyapunov定理，令滑模面s1的導(dǎo)數(shù)為0，即

對(duì)方程進(jìn)行求解，暫不考慮dθ，并將（14）式代入，得到等效控制律：

考慮到整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)控制律為：

選取切換控制律：

于是總的控制律為：

其中，k＞［Dθ（t）／｜gθ｜］；φ1為s1的邊界層厚度，為正常數(shù)。飽和函數(shù)sat（·）用來(lái)抑制抖振現(xiàn)象，定義：

采用上述分解滑?？刂破麟m然能夠較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)小車(chē)平衡控制部分的解耦控制，但缺陷在于其收斂速度慢，且系統(tǒng)狀態(tài)無(wú)法在有限時(shí)間內(nèi)收斂。文獻(xiàn)［3］使用模糊推理來(lái)調(diào)節(jié)滑模面系數(shù)，對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)。其滑模面設(shè)計(jì)如下：

該方法針對(duì)傳統(tǒng)方法滑模面系數(shù)為常值的缺陷，制定了一維模糊規(guī)則，將子系統(tǒng)的2個(gè)狀態(tài)變量分別乘以比例系數(shù)，利用其差值進(jìn)行模糊推理，得到可變的系數(shù)和，其余設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)方法類(lèi)似，雖使得系統(tǒng)狀態(tài)相對(duì)較快地趨近至平衡點(diǎn)附近，但由于其采用線(xiàn)性滑模面，始終無(wú)法實(shí)現(xiàn)滑動(dòng)模態(tài)上的系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)。

2.2 基于模糊調(diào)節(jié)的終端滑模分解控制器

針對(duì)上述分解滑?？刂品ǖ南到y(tǒng)狀態(tài)收斂速度較慢，不能在有限時(shí)間收斂至平衡點(diǎn)的缺點(diǎn)，本文采用一種新型快速終端滑模面［6］：

其中，ai，ci＞0，i＝1，2。結(jié)合分解控制，設(shè)計(jì)子系統(tǒng)A和子系統(tǒng)B的滑模面如下：

其中，0＜γ1＝p1／q1＜1，0＜γ2＝p2／q2＜1。p1、p2、q1、q2皆為正整數(shù)，且為奇數(shù)。注意到當(dāng)（x1－z）＜0，x2＜0時(shí)，冪指數(shù)γ1，γ2使｜x1－z｜γ1∈R，｜x2｜γ2∈R，即不為虛數(shù)，因而不存在普通終端滑模所出現(xiàn)的奇異性問(wèn)題。

當(dāng)系統(tǒng)在滑動(dòng)模態(tài)上時(shí)，有如下等式：

根據(jù)有限時(shí)間收斂的定義［9］，求解上述微分方程，得到各個(gè)子系統(tǒng)狀態(tài)收斂的時(shí)間為：

其中，xz（0）為（x1－z）的初始值；x2（0）為x2的初始值。顯然狀態(tài)變量能在有限時(shí)間內(nèi)收斂。

為了實(shí)現(xiàn)控制目的，同樣使滑模面s1的導(dǎo)數(shù)等于0，即

暫不考慮dθ，將（14）式代入（33）式可得系統(tǒng)的等效控制律為：

考慮到（17）式中間變量z的求導(dǎo)不易于實(shí)現(xiàn)而造成分解滑模等效控制量無(wú)法直接求出的問(wèn)題，這里采用一種新型的具有反正切函數(shù)形式的中間變量［10］，即

同樣，當(dāng)s2→0時(shí)，有z→0。采用這樣的形式，z的導(dǎo)數(shù)可以直接求得，有

代入（36）式可得出控制律的具體表達(dá)式。

觀(guān)察（31）式、（32）式可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)狀態(tài)收斂至平衡點(diǎn)的時(shí)間與參數(shù)ai、γi、ci（i＝1，2）有關(guān)。其中當(dāng)ci減小時(shí)，時(shí)間變長(zhǎng)；ci增大時(shí)，時(shí)間縮短，但會(huì)影響跟蹤的精確性。為了解決此矛盾，受文獻(xiàn)［11］啟發(fā)引入一維模糊推理來(lái)改善系統(tǒng)的性能，其原理如圖2如示。

圖2 模糊調(diào)節(jié)系數(shù)的原理圖

圖2中，li（i＝1，2，…，6）為選取參數(shù)。FC表示模糊推理系統(tǒng)，其輸入語(yǔ)言變量為Xd（t），對(duì)應(yīng)于變量＝｜lixi｜－，輸出語(yǔ)言變量為C，對(duì)應(yīng)于變量＝ci／li＋4，其中i＝1，2。模糊規(guī)則描述為：

其中，XDi用來(lái)表示輸入Xd（t）的模糊集｛NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB｝表示輸出C 的模糊集｛VVS，VS，S，M，B，VB，VVB｝。模糊規(guī)則表見(jiàn)表1所列。模糊控制器采用Mamdani型模糊推理系統(tǒng)，其輸入XDi的論域?yàn)椋郏?，1］，輸出的論域?yàn)椋?，2］。輸入集和輸出集的隸屬函數(shù)采用均勻分布的三角形隸屬函數(shù)，推理使用最大最小合成規(guī)則，解模糊采用重心法。

表1 模糊規(guī)則表

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性的證明

由于滑模面s2中的狀態(tài)信息被轉(zhuǎn)移到滑模面s1中，故下面來(lái)證明s1的穩(wěn)定性。在系統(tǒng)的可控范圍內(nèi)，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

將（36）式代入，化簡(jiǎn)得：

因?yàn)閗＞Dθ（t）／｜gθ｜，所以無(wú)論s1為何值，始終能保證˙V為非正數(shù)。這表明所設(shè)計(jì)的滑模面s1是漸進(jìn)穩(wěn)定的且能夠在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)。當(dāng)子系統(tǒng)A處于滑動(dòng)模態(tài)s1＝0時(shí)，有（x1－z）＝0以及x3＝0。另一方面，由（33）式得到：

此方程可看作一個(gè)關(guān)于x3的一階非齊次線(xiàn)性微分方程，對(duì)其求解得到：

其中，x3（0）為x3的初始值。顯然當(dāng)（x1－z）＝0且＝0時(shí)，x3收斂為0。因此，當(dāng)且僅當(dāng)z→0（即s2→0）時(shí)，有x3→0。故2個(gè)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性都得到保證［3］。

3 仿 真

3.1 仿真參數(shù)選取

實(shí)際的模型參數(shù)為：

代入（12）式求得狀態(tài)方程：

對(duì)于不確定參數(shù)JPθ、JR、JPδ所引起的系統(tǒng)的最大不確定矩陣為則不確定性干擾表示為其中，α為［－11］的隨機(jī)數(shù)；分別為：

控制器的參數(shù)選取如下：c1＝2，c2＝0.5，γ1＝γ2＝29／31，l1＝l3＝0.5，l5＝2，l2＝l4＝0.5，l6＝0.5，k＝20，φ1＝5，φz＝15，a1＝0.3，a2＝0.1，zu＝0.8。

3.2 仿真結(jié)果及分析

選取下面3種情形的控制器進(jìn)行仿真，滑模面分別選擇為：

情形1 傳統(tǒng)分解滑模面，即

情形2 改進(jìn)的傳統(tǒng)分解滑模面，即

情形3 本文設(shè)計(jì)的分解滑模面，即

這里就兩輪自平衡小車(chē)的擺角子系統(tǒng)平衡過(guò)程和位移子系統(tǒng)平衡過(guò)程進(jìn)行仿真。假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為：θP＝0.3，XRM＝0，ωP＝0，VRM＝0。即初始擺角為0.3rad（17°），位移、角速度、速度均為0。在整個(gè)過(guò)程中引入系統(tǒng)不確定性干擾IJ，擺角和位移趨近平衡過(guò)程的仿真曲線(xiàn)控制律的變化曲線(xiàn)如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)擺桿角度、位移響應(yīng)、控制律響應(yīng)曲線(xiàn)

經(jīng)模糊調(diào)節(jié)的滑模面系數(shù)曲線(xiàn)如圖4所示。

圖4 滑模面系數(shù)曲線(xiàn)

由圖3a中擺桿的角度曲線(xiàn)可以看出，本文所設(shè)計(jì)方法的角度在3.6s時(shí)達(dá)到穩(wěn)定，而傳統(tǒng)分解滑模控制及其改進(jìn)后的方法所需的時(shí)間分別大于9s和5s，因此本文設(shè)計(jì)的方法明顯具有較快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度；還可以看出其超調(diào)量較小，跟蹤精度較高。圖3b中位移曲線(xiàn)同樣表明，本文所設(shè)計(jì)的方法響應(yīng)速度較快，能將位移保持在較小的距離范圍內(nèi)。從圖3c可以看出，系統(tǒng)的控制輸入的響應(yīng)速度也明顯更快。圖4體現(xiàn)小車(chē)在平衡過(guò)程中的變化情況，其到達(dá)穩(wěn)定常值之前的變化表明了模糊推理系統(tǒng)產(chǎn)生的調(diào)節(jié)作用，反映了對(duì)系統(tǒng)性能實(shí)時(shí)改善的過(guò)程。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)兩輪自平衡車(chē)設(shè)計(jì)了一種新型控制方法。該方法將整個(gè)平衡控制系統(tǒng)分解為2個(gè)子系統(tǒng)，并分別定義了新型快速終端滑模面函數(shù)，利用可直接求導(dǎo)的中間變量實(shí)現(xiàn)1個(gè)控制量對(duì)小車(chē)的平衡控制，簡(jiǎn)化了高階系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，且能夠使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用模糊推理法調(diào)節(jié)滑模面系數(shù)，明顯改善了動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度。仿真結(jié)果也表明此控制方法能夠獲得較好的動(dòng)態(tài)特性和具有較強(qiáng)的魯棒性。

［1］劉金琨，孫富春.滑模變結(jié)構(gòu)控制理論及其算法研究與進(jìn)展［J］.控制理論與應(yīng)用，2007，24（3）：407－408.

［2］Lo J C，Kuo Y H.Decoupled fuzzy sliding－mode control［J］.IEEE Trans Fuzzy System，1998，6（3）：426－435.

［3］Yongancloˇglu F，Kmrcgil H.Decoupled sliding－mode controller based on time－varing sliding surface for fourth－order systems［J］.Expert Systems with Applications，2010，37（10）：6764－6774.

［4］Zak M.Terminal attactors for addressable memory in neural networks［J］.Phys Lett A，1988，133（1－2）：18－22.

［5］Yu X，Man Z H.Fast terminal sliding－mode control design for nonlinear dynamic system［J］，IEEE Trans Circuits Syst I，2002，49（2）：261－264.

［6］Yu S，Yu X，Shirinzadeh B，Man Z.Continuous finite－time control for robotic manipulators with terminal sliding mode［J］.Automatica，2005，41（11）：1957－1964.

［7］張華賓.兩輪移動(dòng)式倒立擺機(jī)器人的研究［D］.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2007.

［8］楊興明，楊傳偉，馬文森.一類(lèi)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的全局改進(jìn)積分模糊滑?？刂疲跩］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，36（8）：923－928.

［9］Man Z H，Yu X H.Terminal sliding mode control of MIMO linear systems［C］／／Proceedings of the 35th Conference on Decision and Control.Kobe，Japan：IEEE Press，1996：4619－4620.

［10］于 濤，孫漢旭，賈慶軒，等.一類(lèi)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的解耦滑?？刂品椒ǎ跩］.東南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，42：11－14.

［11］Yongancloˇglu F，Kmrcgil H.Single－input fuzzy－like moving sliding surface approach to the sliding mode control［J］.Electrical Engineering，2008，90（3）：199－207.