萬 鑫，詹 科，姜傳海

（上海交通大學材料科學與工程學院，上海 200240）

0 引言

殘余應力是材料在機加工或合金化過程中產(chǎn)生的平衡于材料內(nèi)部的應力。實踐證明，金屬材料中殘余應力的大小和分布對機械構件的靜態(tài)強度、疲勞強度、耐腐蝕性和構件的尺寸穩(wěn)定性等都有直接的影響，同時對檢查焊接、表面強化處理（噴丸、滲氮、滲碳等）和熱處理等工藝效果，以及控制磨削等機械加工的表面質(zhì)量都具有實際意義。目前，有多種方法可以用來測材料的殘余應力，如機械拉伸法、小孔松弛法、光彈性法、中子衍射法、X射線衍射法等。其中，X射線衍射法因具有無損、快速、精確等諸多優(yōu)點，已被廣泛應用［1］。

殘余應力按其作用范圍可分為宏觀殘余應力（第Ⅰ類殘余應力）和微觀殘余應力（第Ⅱ類和第Ⅲ類殘余應力）。宏觀殘余應力是指在晶體材料宏觀尺度范圍內(nèi)保持平衡的一種內(nèi)應力，微觀殘余應力則是指平衡晶體材料內(nèi)部幾個晶粒之間甚至更小范圍內(nèi)的殘余應力。實際上，在發(fā)生塑性變形的金屬中，這兩類應力通常是共存的。

目前用X射線法測大塊單晶或粗晶材料并不多見。由于單晶材料內(nèi)部各向異性，對其殘余應力測量有較多難點，例如晶體取向的確定、衍射峰位置的確定和衍射儀的校正等，因而單晶材料殘余應力測定結果的可靠性較差［2］;另外，單晶和粗晶材料殘余應力的測量往往耗時過長。鑒于單晶和粗晶材料的使用日益廣泛，Imura等提出了測量單晶材料殘余應力的改進方法［3］，在此方法中，先設法求得彈性應變的張量，然后再根據(jù)胡克定律推導出全部的應力張量。作者嘗試利用Imura方法測量了粗晶鐵硅合金的殘余應力，并且對測量結果進行分析和可靠性討論。

1 試樣制備與試驗方法

1.1 試樣制備

試驗材料為Fe-1%Si合金，將其切割加工成如圖1所示試樣，經(jīng)過再結晶處理（600℃保溫3 h）后獲得了較大尺寸的晶粒（約10 mm），采用Imura方法測試樣的殘余應力，試樣的點1和點2為XRD測量點。計算應力需要用到該合金的彈性力學常量:C11=232 GPa，C12=135 GPa 和 C44=116 GPa［4］。

圖1 試樣的形狀與尺寸Fig.1 Shape and dimension of sam p le

Fe-1%Si合金具有較大的晶粒尺寸，傳統(tǒng)的多晶材料殘余應力測量方法不再適用。它的微觀結構示意如2所示?？梢?，當X射線照射試樣表面時，只有單個晶粒發(fā)生衍射，因此可以利用單晶殘余應力的分析方法來分析此類材料。

圖2 試樣的微觀結構示意Fig.2 Diagram of them icrostructure of samp le

1.2 測試原理

在Imura等提出的方法中，先設法求得彈性應變的張量，然后再根據(jù)胡克定律推導出全部的應力張量。其中，彈性應變張量（應變矩陣）由6個互相獨立的因子組成，即3個對角線應變（ε11，ε22，ε33）和3 個非對角線應變（ε12，ε23，ε13）。因此，應變 的張量可以寫成:

由式（1）可以看出，若要計算出應變張量，必須至少獲得6個互相獨立的測量數(shù)據(jù)點。通過測量材料變形前后衍射峰（θ）的相對位移可以實現(xiàn)應變張量的測量，晶格的應變與衍射角之間滿足布拉格定律。

下面將仔細闡述這種方法計算殘余應力的原理。從圖3可見，單晶材料發(fā)生變形后，衍射峰的位置也隨之變化。圖中d（hkl）和d0（hkl）分別為變形前后的（hkl）晶面間距;θ為偏移后的入射角;θ0為原始入射角。

圖3 材料變形所引起的衍射峰的移動［5］Fig.3 Displacement of diffracted peak induced by deformation ofmaterial:（a）movement of diffracted beam s under stress and（b）movement of diffracted peak under stress

為了應用這種方法，需要通過測量獨立晶面的晶面間距來求得對應應變張量的獨立因子至少6個。對于應變ε（hkl），發(fā)生衍射的晶面（hkl）之間的距離在晶體坐標系中可以寫成:

通過體坐標系和試樣坐標系的轉換矩陣n（hkl），可以將晶格應變轉換為彈性應變，即:

根據(jù)Bragg關系可以將式（2）改寫成:

度量張量的計算是一個求解線性方程組的問題，可以通過以下的公式進行推導。式（7）可以簡寫成:

由式（8）可看出，為了求解線性方程組，至少要有6個相互獨立的方程。因此，在使用此方法過程中至少要求得6個晶面以上的衍射角位置。根據(jù)式（8）和矩陣變換，度量張量G*可以寫成:

向量D*可以通過每組衍射晶面的衍射角和布拉格定律求得，H矩陣是由測量結果中各晶面的晶面指數(shù)決定的。因此，通過至少6個晶面的測量數(shù)據(jù)便可以求得度量張量gij。再結合式（6），便可以計算出晶體坐標系（Ac）中的應變張量。則可以通過材料特性計算出，再結合廣義胡克定律便可以計算出晶粒坐標系中的應變張量。

晶體坐標系Ac和試樣坐標系Ap的過渡矩陣M可以寫成:

式 中:K = ［k1，k2，k3，……，kn］T， 且 kn=（cosψn，sinψn，cosψn）;Ac= ［Ac1，Ac2，Ac3，……，Acn］T，Acn為晶粒坐標系中衍射晶面指數(shù)，即:Acn=（hn，kn，ln）。

接著，可以通過對M矩陣奇異值分解，找到旋轉矩陣R，通過旋轉矩陣便可將求得的應變和應力張量轉換到試樣坐標系中。即:

式中:b，c，d為奇異值分解結果的三部分。

旋轉矩陣R可以寫成:

最終，可以通過旋轉矩陣R求得試樣坐標系中的應力和應變的張量。其結果如下:

1.3 試驗方法

使用SEIFERT XRD3000PTS型X射線衍射儀進行應力測試，X射線波長λ為0.229 09 nm，衍射位置由參數(shù)Ψ，φ確定，Ψ（繞x軸旋轉方向）為試樣法線和衍射面法線之間的角度，φ（繞y軸旋轉方向）可以認為是測量位置繞試樣法線的旋轉角度，如圖4所示。試驗中，將Ψ的掃描范圍設置為0°～70°，φ的掃描范圍設置為0°～360°。鐵在無應力狀態(tài)下（211）面的衍射角2θ為156°。因此可以將初次掃描的衍射角設為156°，由于試樣中存在應力，實際的衍射角度應該在這個角度附近。

圖4 SEIFERT XRD3000PTS衍射儀和角度示意［5］Fig.4 Diffractometer SEIFERT XRD3000PTS and schema of angles

衍射試驗的步驟:初步掃描確定衍射晶面的位置，Ψ和φ的掃描步長為2°，2θ的掃描步長設為0.05°;在得到初步的衍射面位置和衍射角度后，根據(jù)這些角度重新設置參數(shù)，然后再將Ψ和φ的掃描步長調(diào)整為1°，2θ的掃描步長調(diào)整為0.02°，開始第二次試驗;從第二次試驗中可以得到更為精確的衍射面位置和衍射角度，再重新修改原始參數(shù)開始第三次掃描，并將Ψ和φ的掃描步長調(diào)整為0.5°，2θ的掃描步長調(diào)整為0.01°;同樣，得到第三次試驗結果后，繼續(xù)修改原始參數(shù)設置，開始第四次試驗，并將Ψ和φ的掃描步長調(diào)整為0.25°，2θ的掃描步長調(diào)整為0.01°。經(jīng)過以上四步后，可以得到較為精確的衍射面位置和衍射角大小，保證了試驗的精度。

2 試驗結果與討論

2.1 晶面指數(shù)和衍射峰位置的確定

在圖5中可以看到共有7處衍射峰，與立方晶系（0 0 1）方向的標準投影圖對比便可獲得衍射晶面的晶面指數(shù)。

衍射晶面的位置確定后，再通過設定Ψ和φ來定位來這些晶面所對應的衍射角。在試驗中可能會出現(xiàn)兩個相鄰的峰值，如圖6所示，此時應選取強度最高的那組，這是由于使用的X射線中可能包含了Kα1和Kα2兩種波長相似的射線。出現(xiàn)這種情況時，需要利用軟件自帶的Pseudo-Voigt函數(shù)對分峰進行處理，從而確定衍射峰的位置。

圖5 {211}晶面族的位置Fig.5 Positions of{211}crystal planes fam ily

圖 6 （2－11）面的衍射峰Fig.6 Diffraction peak of crystal plane（2－11）

衍射峰值處即為對應晶面的衍射角度，在得到了精確的衍射角度后，便可利用Imura方法來計算殘余應力。由上可知，衍射角的精度直接影響了應力測試的準確度，而Ψ和φ的精度則可以反映出衍射角的精度。試驗中，通過設定不同的掃描步長來保證準確找出衍射峰，越小的步長測出的結果越準確。此外，為了保證每次試驗的準確性，先用鐵粉做成的標準試樣進行測試來調(diào)試機器參數(shù)，以減少試驗的系統(tǒng)誤差。

2.2 應力計算與結果分析

對鐵硅試樣進行了不同程度的拉伸，變形量分別為0%，2%，5%和10%，并且每次拉伸后在點1和點2位置進行應力測量，結果見表1。

從表1中可以看出，未發(fā)生變形時點1和點2應力張量的各個分量的絕對值都比較小，其中絕對值最大的僅為9 MPa，這是由試驗中測量的不確定度造成的，主要體現(xiàn)在Ψ和φ的精度上。而σ33的值均接近于零，基本上符合初始狀態(tài)中應力張量的理論值，驗證了此方法是有效的，可以用來分析此類材料的殘余應力。

表1 不同變形量鐵硅合金試樣上1點和2點處的殘余應力張量各分量Tab.1 Components of Residual stress tensor at the point 1 and 2 on the Fe-Sialloy sample in different deformation degrees MPa

從表1還可知，拉伸變形后，相較于初始狀態(tài)，兩個點的應力都有明顯增大，這是由于材料內(nèi)部結構的各向異性使其在塑性變形后出現(xiàn)了殘余應力;σ11增大最為明顯，這是因為它的方向與拉伸方向一致，所以在這個方向上應力的增幅也最大;同時，橫向的拉伸并不會在試樣表面法向上造成應力，因此這幾組測量結果中的σ33也都接近于0。由于每次都是在卸載外力之后對試樣進行靜態(tài)的應力測量，所以測得的各個應力分量均不顯著。可見，以上這些試驗結果都與理論預期相符。

從圖7可以看出，隨著變形量的增加，σ11也隨之增大，而且總為正值。這是因為兩個被分析的晶體有著相似的晶體學取向，它們都阻礙了塑性變形的滑移，即這兩個晶體的取向因子（Schmid因子）較低，當試樣被拉伸時，這兩個晶粒內(nèi)部很難發(fā)生塑性變形，從而導致宏觀應力 σ11隨之增大;拉伸結束后，便在這兩個晶粒中殘留了較為明顯的應力，與周圍晶粒對它們的壓應力相平衡。

圖7 鐵硅合金試樣上點1和點2處σ11隨拉伸變形量的變化Fig.7 Variation of the stress σ11 with deformation degree at the point 1 and 2 on the Fe-Si alloy samp le

對于1點來說，隨著拉伸變形量的增加，各個衍射晶面的半高寬度（FWHM）也隨之增大，即衍射峰變寬，如圖8所示。這是因為在單晶或者粗晶體中，參加衍射的晶面很少，即使很少量的位錯和空位，也會對衍射面的峰位移產(chǎn)生比較大的影響。拉伸產(chǎn)生的塑性變形往往會伴隨著位錯的出現(xiàn)，較密集的位錯就會導致衍射峰有變寬的趨勢。因此，衍射峰的寬度在一定程度上反映了材料的應力水平和塑性變形程度，進而也可以反映材料中的位錯密度等。

圖8 各晶面半高寬度隨著變形量的變化Fig.8 Variation of the FWHMwith deformation degree for different planes

然而，由于試驗存在誤差，造成了結果的小幅波動。試驗中出現(xiàn)誤差的主要原因有兩點。其一為測量結果中的晶面數(shù)過少，由于儀器的限制，只找到了7～8組衍射峰較為明顯的晶面，因此以上這些數(shù)據(jù)，全部是通過7組衍射晶面算出的，根據(jù)數(shù)學理論可知，參與計算的衍射晶面越多，計算的結果也就越精確。有研究表明，如果測出的晶面?zhèn)€數(shù)為18個時，殘余應力的計算結果基本穩(wěn)定［6］。其二為試驗精度的設定，Ψ 和 φ 的精度為0.25°，2θ的精度為0.01°，如果減小上述兩者的精度再次進行掃描，所得結果的精度就會更高，但是過小精度會造成測量時間大大增加，從而增大試驗成本。按照本試驗中的精度對試樣完成一次掃描用時約為8 h。

3 結論

（1）運用了X射線衍射法測單晶材料殘余應力的方法（Imura方法），成功地測得了粗晶材料鐵硅合金的殘余應力，測試結果與理論預期相符。

（2）采用Imura方法進行測試時至少要找到6個衍射晶面才可以計算殘余應力張量，而且晶面數(shù)越多，計算結果越準確;晶面位置參數(shù)（Φ，Ψ）及衍射角精度2θ都會對試驗結果產(chǎn)生影響，當晶面位置參數(shù)精度為0.25°、衍射角精度為 0.01°時，計算的應力狀態(tài)基本符合試樣拉伸后應力狀態(tài)的理論值。若要得到更為接近于真實的應力分布狀態(tài)，還需要找到更多的衍射面或采用其它改進方法。

（3）隨著拉伸變形量的增加，各個衍射晶面的半高寬隨之增大，即衍射峰變寬;這是因為拉伸產(chǎn)生的塑性變形往往會伴隨著密集位錯出現(xiàn)，較密集的位錯會導致衍射峰有變寬的趨勢。

［1］姜傳海，楊傳錚.材料X射線衍射與散射分析［M］.北京:高等教育出版社，2010:213-220.

［2］陳艷華，須慶，姜傳海，等.單晶材料X射線應力測定原理與方法［J］.理化檢驗-物理分冊，2012，48（3）:144-147.

［3］IMURA T，WEISSMANN S，SLADE J J.A study of age-hardening of Al-3.85%Cu by the divergent X-ray beam method［J］.Acta Crystallographica，1962，15（8）:786-793.

［4］SAKATA K，DANIELD，JONASJJ.Estimation of8th，10th and 12th order ODF coefficients from elastic properties in cold rolled steel sheets by adjustment of single crystal［J］.Textures and Microstructures，1990，12:175-185.

［5］HUANG WJ.Contribution à l'analyse par diffractomètre X des déformations et des contraintes à l’échelle des grains［D］.Paris:Ecole Nationale Superieure d'Arts etMetiers（ENSAM），2007:18-52.

［6］鞠明，黃堅，吳毅雄.X射線衍射法測AM1鎳基單晶合金的殘余應力［J］.機械工程材料，2013，37（3）:99-103.