衣 濤，王承民，謝 寧，張 焰

（上海交通大學 電氣工程系，上海 200240）

0 引言

潮流計算是電力系統(tǒng)中的基本計算，在研究系統(tǒng)規(guī)劃、穩(wěn)定和運行狀態(tài)等方面有著非常重要的作用。由于我國目前電力系統(tǒng)大面積聯(lián)網(wǎng)形成了大送端和大受端的電網(wǎng)格局，并且電力負荷逐年加重使得系統(tǒng)設備接近極限運行，尤其是風電等可再生能源大規(guī)模并網(wǎng)帶來的不確定性，使得潮流計算較之以往更容易出現(xiàn)收斂困難而無解的情況。因此，對無解潮流研究進而將其調(diào)整到有解區(qū)域就顯得十分必要。

潮流不收斂的一個典型原因就是電力網(wǎng)絡在重負荷情況下產(chǎn)生了病態(tài)潮流的問題。目前對此類病態(tài)潮流求解的一個主要研究方向是改變負荷點的負荷水平，使系統(tǒng)向著有解區(qū)域進行調(diào)整。在不同調(diào)整方向上可能都會達到有解區(qū)域，因此這涉及到一個最優(yōu)調(diào)整策略的問題，但是由于在調(diào)整有功和無功功率時需要考慮發(fā)電機出力水平、無功補償裝置的補償能力、重要負荷等因素，使得最優(yōu)調(diào)整策略的制定變得復雜。

因為潮流計算不收斂，因此采用常規(guī)的潮流計算方法如牛頓法無法進行求解，需要對原有方法進行改進或轉(zhuǎn)化為其他形式的問題來分析。目前，潮流無解調(diào)整的方法主要集中在以下幾個方面。最優(yōu)乘子法［1-3］在常規(guī)牛頓法的基礎上增加了最優(yōu)乘子的部分，能夠保證潮流的收斂性，通過最優(yōu)乘子確定系統(tǒng)解的臨界點，進而確定潮流無解的調(diào)整方向，但最優(yōu)乘子法對計算初值較為敏感的問題還沒有很好地解決。改進的牛頓法［4-7］在原有牛頓法的基礎上通過預測、校正等環(huán)節(jié)追蹤潮流方程的平衡解流形，改善潮流算法的病態(tài)現(xiàn)象和收斂性，是對潮流無解情況下近似計算的一種比較可靠的方法。非線性規(guī)劃法［8-11］則將潮流解的臨界條件轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問題，利用Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件，采用內(nèi)點法或梯度法進行求解。此外，文獻［12］和［13］分別采用降出力法和電路分析法將電力系統(tǒng)潮流調(diào)整到有解可行域；文獻［14］采用同倫算法對無解潮流進行了計算，也取得了較好的效果。

在潮流無解向有解區(qū)域調(diào)整的過程中，確定無解的邊界條件是至關(guān)重要的一步［15］。但是由于傳統(tǒng)的電力網(wǎng)絡方程是以節(jié)點電壓方程為基礎的，采用的變量主要是節(jié)點電壓和節(jié)點注入功率，因為節(jié)點電壓之間的相互關(guān)聯(lián)性，很難直觀得到無解邊界條件，大多是通過逐漸逼近的方式達到無解邊界。本文將支路電流與節(jié)點電壓一同作為狀態(tài)變量來表示電力網(wǎng)絡方程，推導出潮流無解的邊界條件，并結(jié)合負荷調(diào)整量最小為優(yōu)化目標的Kuhn-Tucker條件，求解此條件可解得負荷最近的調(diào)整方向的大小。

1 以節(jié)點電壓-支路電流為變量的電力網(wǎng)絡方程

在直角坐標系下，當忽略對地支路電導時，電力網(wǎng)絡可以描述為支路電流-節(jié)點電壓方程混合的形式［16-17］，如式（1）—（3）所示。

對于節(jié)點i有：

其中，l=1，2，…，L（L 為支路數(shù)）；i，j=1，2，…，N（N 為節(jié)點數(shù)）；l?i表示支路 l與節(jié)點 i相關(guān)聯(lián)；分別為支路l電流的實部和虛部；Ui、θi分別為節(jié)點i電壓的幅值和相角；Rij、Xij分別為支路l的電阻和電抗；Bl為支路 l對地的1/2電納；pi、qi分別為節(jié)點注入的有功和無功功率。對于節(jié)點j有與式（2）、（3）相同形式的方程。令分別表示節(jié)點注入電流的實部和虛部（不含對地支路電流）；由式（2）和（3）可得節(jié)點電壓的實部和虛部：

顯然，節(jié)點電壓的表達式由支路電流和節(jié)點注入功率表達而成，并且解的個數(shù)與是否存在實數(shù)解由方程的根號內(nèi)表達式?jīng)Q定。

此外，發(fā)電機節(jié)點通常定義為PV節(jié)點，式（3）的節(jié)點無功方程被下式所取代：

得到節(jié)點電壓的解析表達式為：

與PQ節(jié)點類似，PV節(jié)點也存在雙解的問題，所以系統(tǒng)中除平衡節(jié)點外的其他節(jié)點可以采用相同的方法對潮流無解調(diào)整策略進行研究。

2 潮流無解邊界條件

對式（4）進行分析可知，如果方程有解存在，其表達式必須滿足式（7）、（8）條件之一：

式（7）的物理意義是：當節(jié)點注入電流的幅值在以 0為圓心、為半徑的圓外時（如圖1中的c點），方程有高低壓解存在，系統(tǒng)是潮流可解的；式（8）說明當只有“=”成立時，方程有唯一解，解在圓上（如圖1中的a點），達到了系統(tǒng)的有解邊界。而當

條件滿足時，方程無實數(shù)解，節(jié)點位于圓的內(nèi)部（如圖1中的b點），系統(tǒng)是潮流不可解的。在此情況下，可以通過調(diào)整發(fā)電機出力、投入無功補償裝置、改變負荷水平等將系統(tǒng)調(diào)整到有解區(qū)域，最基本的要求是調(diào)整到有解邊界的a點上。當然在不同的調(diào)整方向上這樣的 a點有多個（如圖 1中的 a′、a″點），找到最近的a點代表著最小的調(diào)整量，是方程無解情況下的優(yōu)化調(diào)整目標。同樣，對于PV節(jié)點存在唯一解的邊界條件為：

圖1 潮流解邊界條件Fig.1 Boundary conditions of power flow solution

其物理意義是當節(jié)點注入電流幅值分布在以0為圓心、pi/Ui為半徑的圓上時，電力網(wǎng)絡方程有唯一解存在。

而當滿足條件式（8）或式（10）時，即在圖1中的a 點上，節(jié)點電壓變?yōu)槭剑?1）或式（12）。

3 潮流無解最優(yōu)調(diào)整模型

對于潮流無解的優(yōu)化調(diào)整策略，可以采用節(jié)點負荷調(diào)整量最小作為目標函數(shù)，表示為：

其中，pb、qb為節(jié)點給定的負荷初始值；pa、qa為滿足式（8）或式（10）的達到潮流有解的節(jié)點負荷功率邊界值，即將潮流無解的節(jié)點功率調(diào)整到有解的臨界點上。這里采用最小的歐氏距離作為優(yōu)化目標，得到調(diào)整量最小的負荷調(diào)整方向。不等式約束條件為：

式（14）代表了發(fā)電機或無功補償裝置對無功功率的調(diào)節(jié)能力約束；式（15）對于PV節(jié)點代表了發(fā)電機對有功功率的調(diào)節(jié)能力約束，對于PQ節(jié)點則代表節(jié)點上有重要負荷而必須保留的功率值；式（16）代表節(jié)點電壓約束。等式約束條件為式（8）或式（10）。 式（16）中電壓幅值 Ua由式（11）或式（12）推導得到，結(jié)果如式（17）或（18）所示：

對于以式（13）為目標函數(shù)和式（14）—（16）及式（8）或式（10）為約束條件的優(yōu)化模型可以形成擴展的拉格朗日方程 L（s，t），其中 s代表 a點有功、無功，t代表與 a點相關(guān)聯(lián)的電流實部、虛部。 L（s，t）的Kuhn-Tucker條件為：

其中，α、β 為拉格朗日因子；h（s，t）≤0 為不等式約束條件式（14）—（16）；g（s，t）=0 為在 a 點的等式約束條件式（8）或式（10）。

求解上述優(yōu)化模型得到a點的pa和qa后，節(jié)點b的負荷裕度最小的變化方向由下式確定：

其中，δb為節(jié)點b向負荷調(diào)整量最小的有解方向調(diào)整的角度。

最小負荷裕度值由歐氏距離來確定：

4 模型求解步驟

模型求解步驟如下：

b.對于待求的臨界點a，按照式（19）形成Kuhn-Tucker條件，應用牛頓法進行迭代求解；

d.根據(jù)計算出的臨界點a的功率值，由式（20）和式（21）計算系統(tǒng)方程無解調(diào)整的方向和大小。

5 算例分析

在計算過程中，所有量值都采用標幺值計算，功率基準值為100 MV·A，電壓基準值為額定電壓，電壓上下限?。?.9，1.1］。

算例1：以 IEEE 14節(jié)點為例進行計算，將節(jié)點1與節(jié)點14編號對調(diào)，節(jié)點14為平衡節(jié)點，將表1中所列節(jié)點的負荷功率同時增加為原來的4.5倍，潮流計算不收斂。采用本文提出方法對各節(jié)點分別進行計算，得到各節(jié)點調(diào)整到潮流收斂時應切除的最小負荷量值，計算結(jié)果如表1所示。

表1 IEEE 14節(jié)點系統(tǒng)潮流無解優(yōu)化調(diào)整計算結(jié)果Table 1 Results of optimal adjustment calculation for IEEE 14-bus system with unsolvable power flow

節(jié)點10、11和12處在重負荷區(qū)域且電源支持不足，負荷切除百分比較大，雖然節(jié)點4初始負荷較大，但由于附近電源點多，因此并不是負荷切除比例最大的。節(jié)點7因為本身負荷較小，因此在切除其所有負荷后系統(tǒng)仍然無法收斂。負荷切除比例代表切除負荷占初始負荷的百分數(shù)，表中節(jié)點10、11和12的負荷切除比例較大，但它們的初始負荷并不是最大的，這也說明負荷切除比例大小和網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)、負荷分布、電源分布等多種因素有關(guān)。

算例2：采用安徽某地區(qū)電網(wǎng)進行驗證，取典型日數(shù)據(jù)進行計算，137個節(jié)點，總有功負荷622.68MW，無功負荷50.99 Mvar，假定與地區(qū)外電網(wǎng)交換功率在計算過程中保持不變。將其中6個110 kV變電站負荷同時增加到原來的7倍，潮流計算發(fā)散。采用本文的計算方法對表2中所列變電站分別針對下列3種情況進行計算，得到各變電站要切除的最小負荷值：情況1為正常情況下計算需要切除的負荷；情況2為投入這6個變電站的無功補償裝置，最多可以補償無功功率38.8 Mvar；情況3為不投入無功補償裝置，并且放王變有120 MW為重要負荷不能切除。

表2 幾種情況下的切除負荷比較Table 2 Comparison of load shedding among different conditions

對于潮流無解向有解區(qū)域調(diào)整都是以盡量減少切除負荷為目標，可以采用的調(diào)控方法也有多種。對于情況2，表1說明當對測試系統(tǒng)進行無功補償后，系統(tǒng)總的負荷切除量減少了48.9 MW，這是因為無功補償裝置對節(jié)點電壓的支持，使得各變電站的潮流有解的功率臨界值范圍變大了。當放王變有重要負荷不能切除時，總的負荷切除量值增加了29.3MW，這是因為此時的優(yōu)化過程是有條件的優(yōu)化，并不是最優(yōu)結(jié)果，要保證重要負荷不被切除，需要在其他變電站切除更多的負荷來彌補。

采用改進牛頓法和最優(yōu)乘子法對算例2進行計算，各變電站切除負荷量值的計算結(jié)果比較見表3。由此可以看出，本文提出的算法優(yōu)于改進牛頓法和最優(yōu)乘子法。

表3 與其他算法的比較Table 3 Comparison among different algorithms

6 結(jié)論

在進行電力系統(tǒng)無解調(diào)整過程中，采用節(jié)點電壓和支路電流作為狀態(tài)變量的網(wǎng)絡方程的維數(shù)增加了，同時由于需要考慮運行時的節(jié)點注入功率的限制而使計算復雜度增加，與傳統(tǒng)的節(jié)點電壓作為狀態(tài)變量的方程相比較，這給問題的求解帶來了一定困難。在本文中，利用解的唯一性邊界條件和優(yōu)化目標的Kuhn-Tucker條件采用牛頓法求解。最終本文得出以下結(jié)論：

a.電力網(wǎng)絡方程可以表示為基于節(jié)點電壓和支路電流的混合形式；

b.從切負荷的計算結(jié)果來看，提出的調(diào)整策略優(yōu)于其他方法；

c.本文提出的基于節(jié)點電壓和支路電流混合方程的數(shù)學模型可以應用于電力系統(tǒng)其他優(yōu)化問題中。