張愛獻(xiàn) 張?zhí)煲?/p>

摘要: 針對(duì)如何求解勾股數(shù)，本文進(jìn)行了系統(tǒng)的分析和研究，給出了幾種奇妙的勾股數(shù)公式的一般性推導(dǎo)過程，解決了給定任意大于等于3的正整數(shù)為1個(gè)直角邊，求解勾股數(shù)的方法，為勾股數(shù)的求解提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞: 勾股數(shù)公式推導(dǎo) 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：O434文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

內(nèi)容：

我們知道凡是能滿足a2+ b2= c2成立的a、b、c的正整數(shù)解，都是一組勾股數(shù)。當(dāng)給出任意一個(gè)大于等于3的正整數(shù)為直角邊時(shí),如何求解一組勾股數(shù)中另外的兩個(gè)勾股數(shù)的值，下面就這一問題探討如下：

一、給定任意大于等于3的正整數(shù)為1個(gè)直角邊，求解勾股數(shù)

我們知道任意大于等于3的正整數(shù)都可表示成2mn（偶數(shù)）或mn（奇數(shù)或偶數(shù)）的形式 (m＞n, m ，n屬于正整數(shù))

當(dāng)a= 2mn 時(shí)則a2= 4m2n2

由勾股定理a2+ b2= c2

則a2= c2- b 2=4m2n2

∵c2- b 2=2m2n2+2m2n2

=2m2n2-（-2m2n2)

=[ m4+2m2n2+ n4] - [ m4-2m2n2+ n4]

=（ m2+n2)2 -（m2-n2)2

∴c= m2+n2b = m2-n2

則有a = 2mn b = m2-n2 c =m2+n2 (m＞n, m ，n屬于正整數(shù))a、b、c三數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)。(1)式

同理：當(dāng)a =mn則a 2= m2n2由勾股定理a2+ b2= c2

a2= c2- b2 =m2n2

c2- b2=1/2m2n2+1/2m2n2=1/2m2n2-（-1/2m2n2)

=[ 1/４m4+1/２m2n2+1/４n4] - [ 1/４m4-1/２m2n2+ 1/４m4n4]

=[1/２（m2+n2) ]2 -[1/２（m2-n2) ]2

∴c= 1/２（m2+n2) b = 1/２（m2-n2)

則有 a = mnb =1/2（m2-n2） c =1/2（m2+n2）(m＞n, m ，n屬于正整數(shù)且m ，n同為奇數(shù)或偶數(shù))a、b、c三數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)。(2)式

由此我們得到給定任意大于等于3的正整數(shù)為1個(gè)直角邊，求解勾股數(shù)的方法；

1、當(dāng)給定的直角邊為大于等于3的奇數(shù)或大于等于4的偶數(shù)時(shí)，先將給定的奇數(shù)或偶數(shù)分解成兩數(shù)的乘積mn (m＞n, m ，n屬于正整數(shù)) ，當(dāng)m，n同為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)。

利用a = mnb=1/2（m2-n2）c =1/2（m2+n2）(m＞n, m ，n屬于正整數(shù)) a、b、c三數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)公式求解勾股數(shù)b、c的值。

例1： a =11，求勾股數(shù)b，c的值

解∵a =mn=11×1， m=11，n=1（ m，n同為奇數(shù)）

將m=11，n=1代入b= 1/2（m2-n2）=1/2（112-12）=60

將m=11，n=1代入c =1/2（m2+n2）=1/2（112+12）=61

∴11、60、61為1組勾股數(shù)。

例2：a =81，求勾股數(shù)b，c的值

解∵a =mn=27×3，m=27，n=3 （ m，n同為奇數(shù)）

將m=27，n=3代入b= 1/2（m2-n2）=1/2（272-32）=360

將m=27，n=3代入c =1/2（m2+n2）=1/2（272+32）=369

∴81、360 、369為1組勾股數(shù)。

例3：a =16，求勾股數(shù)b，c的值

解∵a =mn=8×2，m=8，n=2（ m，n同為偶數(shù)）

將m=8，n=2代入b= 1/2（m2-n2）=1/2（82-22）=30

將m=8，n=2代入c =1/2（m2+n2）=1/2（82+22）=34

∴16、30 、34為1組勾股數(shù)。

2、當(dāng)給定的直角邊為大于等于4的偶數(shù)時(shí)，利用a = 2mn b = m2-n2 c =m2+n2 (m＞n, m ，n屬于正整數(shù))，a、b、c三數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)公式

求解勾股數(shù)b、c的值。即先將給定的偶數(shù)除以2，再將余數(shù)分解成兩數(shù)的乘積mn，求得m，n的值代入b=（m2-n2）c =（m2+n2）公式求解勾股數(shù)b、c的值。

例1： a =26，求勾股數(shù)b，c的值

解∵a =2 mn=2×13×1 m=13，n=1

將m=13，n=1代入a=（m2-n2）=（132-12）=168

將m=11，n=1代入c =（m2+n2）=（132+12）=170

∴26、168、170為1組勾股數(shù)。

例2： a =6，求勾股數(shù)b，c的值

解∵a =2 mn=2×3×1 m=3，n=1

將m=3，n=1代入b=（m2-n2）=（32-12）=8

將m=3，n=1代入c =（m2+n2）=（32+12）=10

∴6、8 、10為1組勾股數(shù)。

二、給定大于等于3的奇數(shù)為直角邊，求解勾股數(shù)

我們先看幾個(gè)勾股數(shù)如;

32+42=52勾3股4弦53，4，5 是勾股數(shù)

52+122=132 勾5股12弦135，12，13是勾股數(shù)

72+242=252 勾7股24弦257，24，25是勾股數(shù)

92+402=412 勾9股40弦41 9，40，41是勾股數(shù)

從以上幾組勾股數(shù)可歸納出：

1：勾為大于等于3的奇數(shù) 。

2：股和弦是數(shù)字相差1的兩個(gè)正整數(shù)，股為偶數(shù)，弦為比股大1的奇數(shù)。

∵任何一個(gè)大于等于3的奇數(shù)都可表示成2 n +1(n≥1，n屬于正整數(shù))。

（任何一個(gè)大于等于3的奇數(shù)）2

=(2n+1)2

=4 n 2+4 n +1

=(2 n 2+2 n)+ (2 n 2+2 n +1)

令a = 2 n +1 b= 2 n 2+2 nc =2 n 2+2 n +1（或c = b+1）

即：任何一個(gè)大于等于3的奇數(shù)的平方可分解成兩個(gè)數(shù)字相差1的正整數(shù)的和。那么a、b、c這三數(shù)能否構(gòu)成勾股數(shù)？

如果我們能證明

(2 n +1)2+(2 n 2+2 n) 2=(2 n 2+2 n +1) 2 (n≥1，n屬于正整數(shù))成立，

即可證明a、b、c三數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)。

證明：∵左式= (2 n +1)2+(2 n 2+2 n) 2

=(4 n 2+4 n +1) +(4 n 4+8 n 3+4 n 2)

=4 n 4+8 n 3+8 n 2+4 n +1

右式=(2 n 2+2 n +1) 2

=(2 n 2+2 n) 2+2(2 n 2+2 n)×1+1

=(4 n 4+8 n 3+4 n 2) + (4 n 2+4 n) +1

=4 n 4+8 n 3+8 n 2+4 n +1

∴左式=右式

結(jié)論：任何一個(gè)大于等于3的奇數(shù)的平方都可分解成兩個(gè)數(shù)字相差1的正整數(shù)的和，則該三數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)。

即給定任意大于等于3的奇數(shù)時(shí)

則有a = 2 n +1 b= 2 n 2+2 nc =2 n 2+2 n +1（或c = b+1）

(n≥1，n屬于正整數(shù)) a、b、c三數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)。(3)式

由此我們得到給定任意大于等于3的奇數(shù)為直角邊，求解勾股數(shù)的方法；

1、由給定的奇數(shù)a，代入a= 2 n +1求得n值

2、將n值代入b= 2 n 2+2 n求得b值

3、將b值代入c= b+1求得c值

4、則a 、b 、c三數(shù)為1組勾股數(shù)。

例1：a =15，求勾股數(shù)b，c的值

解∵a =2 n+1=15解得n=7

將n值代入b= 2 n 2+2 n =2×72+2×7=112

將b代入c = b+1 =112+1=113

∴15、112、113為1組勾股數(shù)。

或a2=152=225

a2=b+c= b+ b+1=2 b+1

2 b+1=225b=112c= b+1=113

∴15、112、113為1組勾股數(shù)。

例2：a =23，求勾股數(shù)b，c的值

解∵a =2 n+1=23，解得n =11

將n =11代入b= 2 n 2+2 n =2×112+2×11=264

將b代入c = b+1 =264+1=265

∴23、264、265為一組勾股數(shù)。

或a2=232=529

a2=b+c= b+ b+1=2 b+1

2 b+1=529b=264c= b+1=265

∴23、264、265為1組勾股數(shù)。

三、當(dāng)給定大于等于4的偶數(shù)為直角邊，求解勾股數(shù)

我們知道任意大于等于4的偶數(shù)都可表示成2 n（偶數(shù)）的形式 (n≥2, n屬于正整數(shù))當(dāng)a= 2 n時(shí)則a2= 4 n 2

由勾股定理a2+ b2= c2

則a2= c2- b 2=4 n 2

∵c2- b 2=2 n 2+2 n 2

=2 n 2-（-2 n 2)

=[ n 4+2 n 2+1] - [n 4-2 n 2+1]

=（n 2+1)2 -（n 2-1)2

∴c= n 2+1 b = n 2-1

即給定任意大于等于4的偶數(shù)時(shí)

則有a = 2 n b= n 2-1 c = n 2+1(n≥2, n屬于正整數(shù))

a、b、c三數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)。(4)式

分析:a、b、c的關(guān)系

a = 2 n b= n 2-1 c = n 2+1

a2=4 n 2b+ c= （n 2-1）+（ n 2+1）=2 n 2=1/２a2c-b=（ n 2+1）-（ n 2-1）=2

b=1/4a2-1c=1/4a2+1

結(jié)論：任何一個(gè)大于等于4的偶數(shù)的平方的一半都可分解成兩個(gè)數(shù)字相差2的正整數(shù)的和，則該三數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)。

例：a=18，求勾股數(shù)b，c的值

解∵a= 2 n =18n =9

b= n 2-1=9 2 -1 =80

c = n 2+1=9 2 +1 =82

∴18、80、81為1組勾股數(shù)。

另解∵a=18

b=1/4a2-1=1/4×324-1=80

c=1/4a2+1=1/4×324+1=82

∴18、80、81為1組勾股數(shù)。

參考文獻(xiàn): 徐本順、解恩澤編著《數(shù)學(xué)猜想集》湖南科學(xué)技術(shù)出版社1999年4月

作者簡(jiǎn)介: 張愛獻(xiàn)（1964—） 男 河南省民權(quán)縣高級(jí)工程師

張?zhí)煲校?998—）男，安徽省淮南市二中，高一35班學(xué)生。