楊景華，張向東

（西安重裝礦山電器設備有限公司，陜西 西安710048）

對于滾動軸承來說，無論什么類型的故障，在故障早期，主要表現(xiàn)形式為隨機性行為和非線性行為，軸承的轉動過程中產生的振動信號也是無規(guī)律可循的雜亂現(xiàn)象，由于這種原因，采用傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法來研究滾動軸承的早期復合故障很難達到滿意的效果。分形理論使人們能以新的觀念、新的手段來處理這些難題。文章試圖從分形的觀點出發(fā)，探索滾動軸承內圈的故障診斷及預測分析方法。

1 變標度極差分析（R/S分析）

在分形研究領域，Hurst指數(shù)和變標度極差分析法（簡稱R/S分析），主要在天氣預報和股指期貨的指數(shù)周氏預測中被廣泛應用，被得到了應用者的一致好評。

（1）標度極差分析（R/S分析）。R/S分析法在時間序列曲線的走勢分析中，假定時間序列是：X(t),t=1,2...n，其中n為觀測時間，在觀測時間n內的平均值為[X(n)]，設累計利差為：Q(t,n)=∑[X(t)-],(t=1,2,…τ)則設極差為：E(n)=maxQ(t,n)-minQ(t,n),(t≤n)可以看出E(n)與n的成正比，設時間n內X(t)的均方差為：

與時間序列X(t)相比,它是相互獨立的布朗運動，根據(jù)Hurst所給出的公式：

式中H取0.5，而對于分數(shù)布朗運動，Hurst得出了如下的民函數(shù)關系：

式中H為Hurst指數(shù)，將公式（1）式子兩側同取對數(shù)，得：

式子中的Hurst指數(shù)的物理意義是之間的斜率，因此，R/S分析法可以寫成：

式中，E為重標后的極差，D為均方差，H為Hurst指數(shù)，N為樣本觀測數(shù)量，C為常數(shù)

此外，還有一種統(tǒng)計量AQ，該統(tǒng)計量可由一下公式得到：

Aq一般用來檢驗系統(tǒng)的穩(wěn)定性，此外還可以估計運行周期。

（2）Aq統(tǒng)計量的算法。Aq統(tǒng)計量計的前半部分算過程與Hurst指數(shù)的計算過程大體類似，后半部分計算過程有所區(qū)別，其算法如下：①將時間序列樣本數(shù)據(jù){Rt}（t=1，2，…，n）分成k（n/N）各獨立的部分，每個部分的時長為N的時間序列，k為小于n/N的最大正整數(shù)值。②計算每個獨立的部分的累計離差

式中，和分別是是第m個時間序列的累計離差和樣本均值。③計算每個獨立部分的極差：R(m)=max(Xt,m)-min)(Xt,m)④為求出時獨立部分長度N的數(shù)據(jù)段重標極差的模糊值，必須計算出重標極差的平均值R(m)/S(m)。⑤把k（n/N）個重標極差R(m)/S(m)的均值視作各獨立部分長度為N的數(shù)據(jù)段重標極差的模糊值。⑥利用個獨立部分的時間增量N，并且通過步驟a～e可計算出大量的R/S值，再利用一下公式

計算出Aq的值，式中n為個獨立部分的樣本數(shù)量，將log（n）設為橫坐標，將Aq設為縱坐標，根絕計算出的多組數(shù)據(jù)就可以畫出Aq曲線來。

由于信號的特性不同，Aq曲線也展現(xiàn)出不同的變化規(guī)律。

對于周期性強的信號，Aq曲線表現(xiàn)為增函數(shù)，且斜率較大，這也代表著周期信號具有較好的記憶特性；對于周期性較弱的信號則Vn曲線雖還是增函數(shù)，但斜率變小，記憶特性變差；對于隨機性強的信號，Aq曲線表現(xiàn)為減函數(shù)，隨機性越強則斜率越小，這代表著隨機時序信號的記憶特性將不會產生。

2 仿真數(shù)據(jù)分析

本文先采用仿真信號對Hurst指數(shù)、Aq曲線的算法進行了驗證，繼而用優(yōu)化后的算法對軸承內圈故障信號進行分析并得到相應的分析結果。以揭示信號所對應的Hurst指數(shù)、Aq曲線與信號之間的內在聯(lián)系。

（1）周期性的正弦信號。文章提供了單一正弦仿真信號，求出其Hurst指數(shù)，如表1和表2所示。表中數(shù)據(jù)說明Hurst指數(shù)與信號的頻率相關性很大，與信號的幅值相關性不大。隨著仿真信號的頻率增大，意味著信號在同一時域區(qū)間，波峰至波谷的翻轉次數(shù)明顯增多，即信號的“反持續(xù)性”逐漸增強，因此Hurst指數(shù)將逐漸變小。

表1 10赫茲正弦信號的Hurst指數(shù)

表2 不同頻率的正弦信號的Hurst指數(shù)

圖1所描述的是時序仿真信號y=sin(X)經R/S分析后的結果。圖（a）的斜率對應的是Hurst指數(shù)，圖（b）代表其對應的Aq曲線。

圖1 正弦函數(shù)的變標度極差分析

經過R/S分析可得到如下結論：如圖1所示，圖1（a）的斜率對應的是該信號的Hurst指數(shù)，Hurst指數(shù)H=0.8080，同時該曲線表現(xiàn)出持久的上升趨勢，曲線的上升斜率很大，且無明顯的、很大的突變。說明該信號具有很強的記憶性、持久性、穩(wěn)定性。

如圖1所示，圖1（b）是Aq曲線圖，Aq值隨著log（n）的增加而呈拋物線形，這符合周期信號的固有特性，表明時序信號的記憶特性并不會消弱。

綜合來看，可以說明周期性信號的膚質變化規(guī)則是有規(guī)律可循的，而且非常穩(wěn)定，不會出現(xiàn)不規(guī)則的失穩(wěn)震蕩現(xiàn)象，其未來的發(fā)展趨勢與已知時間段內的信號的外形特征非常相似。

（2）隨機信號的分析。利用Matlab軟件函數(shù)庫，選用隨機信號為“1-2*rand（1，4000）”，并計算出信號的Hurst指數(shù)。如表3所示，因為軟件每次生成的隨機信號是不同的，因此每次計算的Hurst指數(shù)均不同，但是軟件每次計算得到的Hurst指數(shù)差別不大，因此足以用來表征隨機信號的分形特征。

表3 隨機號及其對應的Hurst指數(shù)

圖2 隨機信號的變標度極差分析

經過R/S分析可得到如下結論：（1）如圖2所示，圖2（a）的斜率對應的是該信號的Hurst指數(shù)，Hurst指數(shù)在0.3253至0.3921之間，該參數(shù)小于0.5，說明原始信號形態(tài)比較復雜、粗糙。該曲線表現(xiàn)出持久的增長趨勢，且無明顯的、很大的突變，但因曲線斜率小于0.5，因此該信號的記憶性不好，這與隨機信號的本身特點是相符的。（2）如圖1所示，圖2（b）是Vn曲線，一直處于下降狀態(tài)，曲線的下降斜率很大，也無明顯的、很大的突變發(fā)生，這代表著時序信號的記憶特性將減弱或消失，這與隨機信號的本身特點也是相符的。

綜合來看，可以說明隨機信號在未來的無窮長的時間段內，其幅值的變化規(guī)則是非常不穩(wěn)定的，其未來的變化與已知時間段內信號的外形特征無關聯(lián)?？傮w上，隨機信號的Hurst指數(shù)與Vn曲線所表明的信號特征符合隨機函數(shù)本身的特點。

3 美國凱斯西儲大學軸承數(shù)據(jù)分析結果

文章所采用的滾動軸承故障實驗數(shù)據(jù)為Case Western Reserve University Bearing Data center的探傷測試數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)中心無償提供大量的滾動軸承正常及故障數(shù)據(jù)。文章所采用的實驗工況是：電機負載為3HP，轉速為1730r/min，采樣頻率fs=12kHz，取樣24萬點。文章采用工況下軸承內圈單點故障引起的振動信號數(shù)據(jù)和正常軸承的振動信號數(shù)據(jù)進行分析、對比。

表4 滾動軸承內圈故障的Hurst指數(shù)

圖3 正常數(shù)據(jù)和滾動軸承內圈故障的Aq曲線

經過R/S分析可得到如下結論：如圖3所示，圖3（a）代表正常信號的Aq曲線（引用的數(shù)據(jù)編號為為99.mat）。該Aq曲線初始的Aq值為0.7至0.75之間，曲線初段先小幅下降再小幅上升，說明原始信號具有弱周期性。當分析的數(shù)據(jù)量達到5000點后，Aq曲線出現(xiàn)拐點，拐點處Aq值為0.75，然后曲線開始下降，并且下降斜率很大，這說明隨著分析數(shù)據(jù)的增多，信號出現(xiàn)較強的隨機性。這一現(xiàn)象可以理解為，正常信號以5000點為一個小的循環(huán)段，在該時段內信號表現(xiàn)出弱周期性，當大于該時段后，表現(xiàn)出強隨機性。

因為軸承處于正常運行狀態(tài)，沒有固定的故障干擾，因此其振動信號在短的時段內存在弱的周期性，而在長的時段內以隨機性為主。圖3（a）中的Aq曲線所表現(xiàn)出的諸特性與數(shù)據(jù)的實際情況相符。

如圖3所示，圖3（b）代表內圈故障信號的Aq曲線（引用的數(shù)據(jù)編號為為3004.mat）。該Aq曲線初始值為0.75至0.8之間，曲線初段先小幅下降，當分析的數(shù)據(jù)量達到3000點左右時，Aq曲線出現(xiàn)拐點（如圖中箭頭所指），拐點處Aq值為0.75。接著曲線再小幅下降，曲線整體的下降斜率較小。

曲線整體形態(tài)與隨機信號相似。這說明，此故障屬于早期故障，故障引起的周期性振動很小，因此整體形態(tài)更像隨機信號的Aq曲線，與周期信號的形態(tài)相距甚遠；但正是因為微弱故障的客觀存在，才造成曲線中拐點的存在。圖3中子圖（b）中的拐點，說明信號在短的時段內周期性很明確，即一定對應有內圈故障。而在更長的時段內，曲線以較小斜率下降，說明信號的弱隨機性很明顯。這也說明在未來的長時段內信號的周期性不明顯，即故障信號并不會快速演變?yōu)閺姽收闲盘枴?/p>

4 結語

通過文章的仿真和實驗證明，利用變標度極差分析法對滾動軸承內圈微弱故障進行分析和預測去得了很好的效果。通過R/S分析法的Hurst指數(shù)的算法，并進一步分析仿真時時序信號，表明將Hurst指數(shù)與Aq～log(n)曲線進行有機結合，完全可以預測信號在未來的發(fā)展變化趨勢，為滾動軸承的故障診斷和預測提供了有利保證。

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