李 鋼，呂國(guó)芳

（河海大學(xué) 能源與電氣學(xué)院，江蘇南京 211100）

基于正則化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混凝土強(qiáng)度預(yù)測(cè)

李 鋼，呂國(guó)芳

（河海大學(xué) 能源與電氣學(xué)院，江蘇南京 211100）

針對(duì)目前混凝土28天強(qiáng)度值的預(yù)測(cè)需時(shí)長(zhǎng)、精度低的現(xiàn)狀，建立了基于正則化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混凝土強(qiáng)度預(yù)測(cè)模型,并運(yùn)用MATLAB 7.13進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該模型綜合考慮了影響混凝土強(qiáng)度的各種因素，能夠?qū)崿F(xiàn)非線性關(guān)系，具有較高的預(yù)測(cè)精度，并且訓(xùn)練速度快，可以節(jié)約大量的時(shí)間、人力、物力和財(cái)力，在混凝土強(qiáng)度預(yù)測(cè)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；混凝土強(qiáng)度；預(yù)測(cè) ；仿真

在混凝土領(lǐng)域，強(qiáng)度是一個(gè)主要的力學(xué)性質(zhì)，是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和施工的重要依據(jù)，實(shí)際工程中，混凝土的配合比設(shè)計(jì)大部分以強(qiáng)度為基礎(chǔ)進(jìn)行。傳統(tǒng)的混凝土強(qiáng)度預(yù)測(cè)方法主要以線性為主，以水灰比定則為代表，采用線性回歸公式，認(rèn)為強(qiáng)度完全由水灰比控制，而與其他因素?zé)o關(guān)[1]。但由于混凝土不斷向高強(qiáng)、高性能化發(fā)展，強(qiáng)度影響因素相互作用呈非線性化，使得傳統(tǒng)的方法已不再適用。

近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和相關(guān)軟件的發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被廣泛應(yīng)用于各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域，由于能夠考慮多種因素，擁有很強(qiáng)的非線性建模能力，為解決非線性問題提供了新的方法和手段[2]。已有研究表明，采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)進(jìn)行混凝土強(qiáng)度預(yù)測(cè)，具有適應(yīng)性強(qiáng)、準(zhǔn)確有效等優(yōu)點(diǎn)，目前模型多采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3-5]，但BP網(wǎng)絡(luò)容易陷入局部最優(yōu)且樣本依賴性和初始權(quán)重敏感性較強(qiáng)，而正則化RBF網(wǎng)絡(luò)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、收斂速度快、能夠逼近任意非線性函數(shù)的特點(diǎn)，因此，本文嘗試?yán)谜齽t化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)混凝土強(qiáng)度。

1 正則化RBF網(wǎng)絡(luò)模型

1.1 正則化理論

為了將一個(gè)不適定問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)適定問題，Tikhonov于1963年提出了正則化方法。正則化的基本思想是通過某些含有解的先驗(yàn)知識(shí)的輔助泛函來使函數(shù)的解趨于穩(wěn)定,通常利用映射函數(shù)的光滑性來表示輸入與輸出之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系[6]。

通常用F(X)來表示逼近函數(shù)，假設(shè)輸出函數(shù)的維數(shù)為一維，逼近的一組輸入、輸出數(shù)據(jù)為

傳統(tǒng)的方法是通過標(biāo)準(zhǔn)誤差項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)，即

該函數(shù)體現(xiàn)了目標(biāo)輸出與實(shí)際輸出之間的距離，而正則化方法則是在標(biāo)準(zhǔn)誤差項(xiàng)的基礎(chǔ)上添加了一個(gè)正則化項(xiàng)，用來控制逼近函數(shù)的光滑程度，即

式中，D稱為線性微分算子，用來代表F(X)對(duì)的平滑性約束程度。

因此，正則化方法所要求的極小化值即為

式中，第一項(xiàng)取決于提供的樣本信息，第二項(xiàng)依賴于逼近函數(shù)的幾何性質(zhì)。λ稱為正則化參數(shù)，其值取正實(shí)數(shù)，用來指示所給的數(shù)據(jù)集作為確定解的樣本的充分性。

由泛函知識(shí)可知，上述正則化問題的解為

式中，G(X,Xi)為Green函數(shù)；ωi為對(duì)應(yīng)的權(quán)值，也叫權(quán)系數(shù)。

通常G(X,Xi)的形式與微分算子D的性質(zhì)有關(guān)，即與對(duì)逼近函數(shù)的平滑性約束有關(guān)。當(dāng)算子D具有旋轉(zhuǎn)不變性和平移不變性時(shí)，Green函數(shù)的值由函數(shù)自變量X與樣本數(shù)據(jù)Xi之間的距離決定，即

此時(shí)的Green函數(shù)為一個(gè)中心對(duì)稱的徑向基函數(shù)，那么（4）可表示為

1.2 正則化RBF網(wǎng)絡(luò)

基于上述正則化理論的RBF網(wǎng)絡(luò)即為正則化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示，該網(wǎng)絡(luò)是三層網(wǎng)絡(luò)（輸入層、隱含層、輸出層）。

圖1 正則化RBF網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure chat of regularized RBF neural network model

第一層由輸入節(jié)點(diǎn)組成，X=(x1,x2,x3,…xM)T為輸入向量，輸入節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于輸入向量X的維數(shù)m。

第二層為隱含層，網(wǎng)絡(luò)利用隱含層節(jié)點(diǎn)的激活函數(shù)來實(shí)現(xiàn)從輸入層到隱含層的非線性變換，該函數(shù)被稱為 “基函數(shù)”，一般選用Green函數(shù)G(X,Xi)。隱含層神經(jīng)元數(shù)量的確定是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中的一個(gè)關(guān)鍵問題,當(dāng)輸入向量很多時(shí),過多的隱含層神經(jīng)元數(shù)量會(huì)引起過學(xué)習(xí)的問題。因此，可以讓網(wǎng)絡(luò)從隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)從零開始訓(xùn)練,通過檢查輸出誤差依次增加神經(jīng)元個(gè)數(shù)。權(quán)值向量取決于使網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生最大誤差所對(duì)應(yīng)的輸入向量，每當(dāng)產(chǎn)生一個(gè)新的隱含層神經(jīng)元便檢查新網(wǎng)絡(luò)的誤差,不斷重復(fù)此過程直至滿足誤差要求或達(dá)到最大隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)[7]。

第三層屬于輸出層，wij表示從第i個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)到第j個(gè)輸出層節(jié)點(diǎn)的權(quán)值，網(wǎng)絡(luò)的輸出向量用Y=(y1,y2,y3…yJ)T來表示。隱含層輸出的加權(quán)和由輸出層節(jié)點(diǎn)的激勵(lì)函數(shù)來完成，通常激勵(lì)函數(shù)為簡(jiǎn)單的線性函數(shù)，使得學(xué)習(xí)速度更快。

2 算法選擇

正則化RBF網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型如（4）式所示，該網(wǎng)絡(luò)模型的特點(diǎn)是將輸入樣本數(shù)據(jù)設(shè)定為徑向基函數(shù)的中心，并且各徑向基函數(shù)取統(tǒng)一的擴(kuò)展速度。所以，在正則化RBF網(wǎng)絡(luò)模型的設(shè)計(jì)過程中，主要需要確定的是隱含層節(jié)點(diǎn)的中心及其標(biāo)準(zhǔn)差σ，以及隱含層與輸出層之間的權(quán)值矩陣。

通常采用正交最小二乘 (Orthogonal Least Squares,OLS)算法來確定隱含層節(jié)點(diǎn)中心以構(gòu)造適當(dāng)?shù)木W(wǎng)絡(luò)。雖然OLS算法簡(jiǎn)單并且高效，但是構(gòu)造出來的網(wǎng)絡(luò)往往不是最簡(jiǎn)單的，因此本文選擇正則化正交最小二乘 (Regularized Orthogonal Least Squares,ROLS)算法[8]，把OLS方法和正則化方法相結(jié)合。利用OLS算法強(qiáng)化隱含層節(jié)點(diǎn)的中心的分類能力；利用正則化方法消除隱含層各單元響應(yīng)的相關(guān)性，使訓(xùn)練出的網(wǎng)路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單泛化、性能優(yōu)越。

標(biāo)準(zhǔn)差則可以通過經(jīng)驗(yàn)公式

求得。dmax是所選取的中心之間的最大距離，n為隱含層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。隱含層與輸出層之間的權(quán)值可以通過計(jì)算偽逆的方法求得。

3 實(shí)例運(yùn)用

文中選取的混凝土養(yǎng)護(hù)齡期為28天、溫度與濕度為標(biāo)準(zhǔn)養(yǎng)護(hù)，施工方法為機(jī)械攪拌。選取混凝土配置過程中影響強(qiáng)度值的原料因素和一立方米混凝土的配合比參數(shù)作為網(wǎng)絡(luò)的輸入?yún)?shù)，這些參數(shù)分別是：水泥強(qiáng)度、水泥用量、水灰比、骨灰比、用水量、砂率、最大粒徑、砂細(xì)度和坍落度，輸出參數(shù)為混凝土的28天強(qiáng)度。

文中基于MATLAB7.13中的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱[9]，構(gòu)建正則化RBF網(wǎng)絡(luò)模型。具體過程如下：

1）選取訓(xùn)練集與測(cè)試集。樣本選自文獻(xiàn)[10]李立權(quán)編著的《混凝土配合比新編手冊(cè)》，共取42組數(shù)據(jù)，其中33組作為訓(xùn)練集，9組作為測(cè)試集。

2）歸一化原始數(shù)據(jù)。為了避免出現(xiàn)由于奇異樣本所導(dǎo)致的網(wǎng)絡(luò)無法收斂以及網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時(shí)間延長(zhǎng)的現(xiàn)象，利用premnmx函數(shù)對(duì)42組樣本數(shù)據(jù)作歸一化處理。

3）確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。由于輸入變量的選擇會(huì)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的精確度產(chǎn)生重要影響，本文采用了影響混凝土強(qiáng)度的9個(gè)因素作為自變量，故輸入層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為9。由于預(yù)測(cè)的值是混凝土強(qiáng)度，即輸出的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量，故輸出層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為1。用newrb函數(shù)創(chuàng)建正則化RBF網(wǎng)絡(luò)模型，具體格式為：

式中，P，T分別為輸入矢量和目標(biāo)矢量；goal為指定的誤差容限，本文設(shè)置為10-8;spread表示擴(kuò)展速度；MN指定隱含節(jié)點(diǎn)的最大個(gè)數(shù)，設(shè)置為180；DF指示兩次顯示之間所添加的神經(jīng)元個(gè)數(shù)，默認(rèn)值是25。

4）仿真網(wǎng)絡(luò)模型。用組織好的訓(xùn)練集和測(cè)試集對(duì)已經(jīng)建立的正則化RBF網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行訓(xùn)練和測(cè)試，根據(jù)設(shè)置好的目標(biāo)誤差要求，向網(wǎng)絡(luò)中不斷添加新的隱含層節(jié)點(diǎn)，并調(diào)整節(jié)點(diǎn)中心、標(biāo)準(zhǔn)差以及權(quán)值，直到所得到的網(wǎng)絡(luò)達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。

反歸一化擬合結(jié)果。利用 函數(shù)反歸一化正則化RBF網(wǎng)絡(luò)模型的輸出值，并且在MATLAB窗口顯示輸出值和實(shí)測(cè)值的擬合效果圖。

4 訓(xùn)練結(jié)果分析

正則化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的基本思路是利用迭代的方法來訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，每次迭代就增加1個(gè)神經(jīng)元數(shù)目，直至訓(xùn)練結(jié)果小于誤差容限或者達(dá)到最大神經(jīng)元個(gè)數(shù)。訓(xùn)練過程中，徑向基函數(shù)的擴(kuò)展速度spread越大,函數(shù)就擬合地越平滑。但是，如果擴(kuò)展速度過大就會(huì)增加網(wǎng)絡(luò)計(jì)算量，擴(kuò)展速度過小就會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)過適應(yīng)現(xiàn)象，這樣設(shè)計(jì)會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)的性能[11]。因此，本文嘗試對(duì)不同的spread值進(jìn)行擇優(yōu)比較。先令spread的值為1,然后依次累加，并比較不同取值對(duì)輸出誤差的影響。根據(jù)依次增大的spread值,輸出結(jié)果的變化如表1所示。

表1 spread值對(duì)誤差的影響Tab.1 Spread value to the influence of the error

顯然，從上表可以看出隨著spread值的增大,平均相對(duì)誤差先減小然后增大,當(dāng)spread取21時(shí)，平均相對(duì)誤差達(dá)到最小值。因此，本文設(shè)置的spread最優(yōu)值為21。

網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練曲線如圖2所示，同時(shí)，在MATLAB命令窗口顯示實(shí)際添加的神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)及訓(xùn)練誤差值，實(shí)際隱含層最終使用163個(gè)神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)，訓(xùn)練誤差為10-9數(shù)量級(jí)。

圖2 正則化RBF-ANN訓(xùn)練誤差收斂曲線Fig.2 CurveofregularizationRBFneuralnetwork training error convergence

MATLAB仿真輸出值與實(shí)測(cè)值之間的擬合曲線如圖3所示。從該圖中可以明顯地看出，混凝土強(qiáng)度輸出值與實(shí)測(cè)值曲線擬合得很好，而且輸出值與實(shí)測(cè)值的變化趨勢(shì)完全一致，說明正則化RBF算法的逼近能力很強(qiáng)，能較好地跟蹤實(shí)測(cè)值，并能達(dá)到較高的精度。

圖3 預(yù)測(cè)值與真實(shí)值對(duì)比圖Fig.3 Contrast figure of predicted values and real value

利用MATLAB仿真，可以方便地得到9個(gè)校驗(yàn)樣本的誤差值，混凝土強(qiáng)度預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)照表如表2所示。

表2 混凝土強(qiáng)度預(yù)測(cè)結(jié)果Tab.2 Prediction of concrete strength

由表2可以看出，實(shí)驗(yàn)中仿真計(jì)算結(jié)果的輸出值與實(shí)測(cè)值最大相對(duì)誤差為0.143 3%。通過MATLAB命令窗口顯示可以得到平均相對(duì)誤差為0.046 0%，因此，進(jìn)一步說明正則化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)強(qiáng)度可以達(dá)到較高的精度。

5 結(jié)論

混凝土強(qiáng)度預(yù)測(cè)是一個(gè)多元化、涉及面廣、綜合性強(qiáng)的非線性問題，文中將正則化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于混凝土強(qiáng)度的預(yù)測(cè)，建立了混凝土強(qiáng)度隨水泥強(qiáng)度、水泥用量、水灰比、骨灰比、用水量、砂率、最大粒徑、砂細(xì)度和坍落度變化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該模型能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)混凝土強(qiáng)度指標(biāo)，并且結(jié)果穩(wěn)定，也為混凝土強(qiáng)度的快速準(zhǔn)確預(yù)測(cè)提供了一種快捷和經(jīng)濟(jì)的方法，具有良好的工程實(shí)用價(jià)值和較高的推廣可能。

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Prediction of concrete strength based on regular RBF neural network

LI Gang，LV Guo-fang
（College of Energy and Electrical Engineering,Hohai University,Nanjing 211100 China）

According to the current situation that forecasting the 28-day concrete strength is too long and in low accuracy,it has built the prediction model of concrete strength based on regular RBF neural network and has carried out the simulated experiment by MATLAB 7.13.The experimental results show that it considers various factors affecting the concrete strength,can realize nonlinear relations,has high precision of prediction and the training speed is fast.It can also save a lot of time,manpower,material and financial resources,has broad application prospects in the field of concrete strength prediction.

neural network;concrete strength;prediction;simulation

TN06

A

1674-6236（2014）13-0052-03

2013-10-09 稿件編號(hào)：201310032

李 鋼（1989—），男，江蘇江陰人，碩士研究生。研究方向：計(jì)算機(jī)測(cè)控技術(shù)。