韋 峰，朱恒亮，曾 璇

(復旦大學專用集成電路與系統(tǒng)國家重點實驗室，上海201203)

當前集成電路制造工藝已經(jīng)進入納米時代，隨著工藝特征尺寸的進一步減小，隨機工藝偏差對器件可靠性的影響不容忽視.靜態(tài)隨機存儲器(Static Random Access Memory，SRAM)作為非揮發(fā)性存儲器中的一員，具有高速度、低功耗等優(yōu)點，在片上系統(tǒng)中占據(jù)主導地位，考慮到容量和功耗問題，SRAM一般采用最先進的制造工藝［1］.SRAM電路由數(shù)以億計的重復的位單元結構構成，為了讓整塊存儲器芯片正常工作，需要保證每個位單元都正常工作.所以，單個SRAM單元的可靠性對整個存儲芯片的性能至關重要.其中，隨機工藝偏差對SRAM單元的影響最大，它會嚴重惡化晶體管的關鍵性能參數(shù)，如閾值電壓Vth，導致失效率迅速增大.因此，深亞微米效應是降低存儲芯片不良率的重要因素，在芯片設計中，對電路性能的魯棒性分析建模有非常重要的意義.

近年來，一系列基于統(tǒng)計分析的方法被用于探索SRAM單元電路的驗證和相關的電路失效概率這一極端概率事件(Probability of Extreme Events)［2-6］.最傳統(tǒng)的方法是基于蒙特卡洛采樣(Monte Carlo，MC)的分析方法［3-4］，或者建立SRAM單元的性能分析模型來預測SRAM單元電路的失效率［2，5］，甚至兩種方法的結合［6］.由于SRAM單元電路失效概率是一個極端概率事件，失效區(qū)域無法直接獲得，簡單的蒙特卡洛實現(xiàn)需要大量的采樣點來捕捉足夠準確的信息.分析模型的不足之處在于精度以及模型對電路行為的刻畫能力.因此，絕大多數(shù)傳統(tǒng)方法無法快速準確地估計像SRAM單元電路失效這類極端概率事件.文獻［7］提出了旨在改進蒙特卡洛采樣效率的重要性采樣(Importance Sampling，IS)方法.在重要性采樣中，原始的概率密度函數(shù)(Probability Density Function，PDF)會向SRAM單元的極端失效區(qū)域偏移.該偏移后的分布更接近失效區(qū)域的實際分布情況，所以失效區(qū)域可以被更加有效地采樣.因此，在重要性采樣中，最優(yōu)偏移量是決定因素，該偏移量直接決定了重要性采樣的實際分布函數(shù)，并對快速預測和精度有直接影響.文獻［3-4］中，IS方法的實際最優(yōu)分布參數(shù)是通過最小化二范數(shù)的方法來獲得，它的變種橢球采樣則適用于高維問題.文獻［8］結合了數(shù)據(jù)挖掘和極值理論來過濾一些無效的采樣點，這種方法屏蔽了一些不在目標失效區(qū)域中的采樣點.該方法首先采用MC方法或IS方法進行初始化采樣，通過樣本學習，選取一個有合適閾值和安全邊界的支持向量機(Support Vector Machine，SVM)實現(xiàn)分類器;然后，用MC方法生成足夠多的采樣點，分類器對處于分布函數(shù)97%的尾部采樣點進行篩選，最后對未被分類器過濾的采樣點進行仿真，達到加速目的.

以上介紹的基于MC方法的采樣算法需要進行大量的仿真計算，為了覆蓋完整的失效區(qū)域(使SRAM單元電路失效的相關參數(shù)構成的區(qū)間)，這類方法會產(chǎn)生大量無效采樣點(失效區(qū)域外的采樣點)，極大了影響了采樣算法的收斂性.本文針對SRAM單元電路失效率仿真的精確估計這一問題進行深入研究，借鑒了統(tǒng)計學習領域的相關知識，并與改進的高效IS算法相結合，提出了基于自適應增強(Adaptive Boosting，AdaBoost)學習分類的SRAM單元失效率仿真算法.AdaBoost分類學習是本文算法的核心，它廣泛應用于模式識別領域，本文將其應用在極端概率估計事件中，該方法利用學習算法將大量弱分類器組合構建出一個強分類器，對錯分類樣本敏感，適合于偏置樣本分類，分類器可以精確檢測出不必要的采樣點.該方法與基于SVM學習的方法相比，具有更易于實現(xiàn)、參數(shù)依賴性低、分類效果更優(yōu)等優(yōu)點.本文還提出了基于最小交叉熵(Minimum Cross-Entropy，MCE)的改進的IS算法，迭代的優(yōu)化分布函數(shù)的參數(shù)，不斷優(yōu)化的分布參數(shù)能使采樣過程更快接近實際最優(yōu)分布，收斂速度更快，大大降低了仿真時間.

1 問題定義

1.1 6-T單元結構及工作原理

SRAM單元結構晶體管級電路如圖1所示，它由6個管子組成，整個單元具有對稱性.M1～M4構成雙穩(wěn)態(tài)電路，用來鎖存一位數(shù)字信號，M5、M6是傳遞晶體管，它們在對存儲器進行讀寫操作時起到將存儲單元與外圍電路進行連接或斷開的作用.

1.2 讀寫穩(wěn)定性失效概率分析

對單元存取都需要先將字線(Word Line，WL)置為高電平.讀操作時，WL為高電平時傳遞晶體管導通，使存儲單元的信息傳遞到位線(Bit Line，BL)，單元信息的反信號傳遞到位線BLB(BL的反信號)，外圍電路通過BL和BLB讀取信息;寫操作時，SRAM單元陣列的外圍電路將電壓傳遞到BL和BLB上作為輸入，WL使能后，信息寫入存儲單元［2］.一般SRAM單元的讀操作最容易出現(xiàn)失效情況，而6-T單元一次典型的讀操作包含對位線的預充電以及通過傳遞晶體管讀取位信息兩個操作.當傳遞晶體管被打開時，其中一根位線通過傳遞晶體管和反相器下拉晶體管放電，BL和BLB間的電壓差經(jīng)過敏感放大器放大后輸出，讀失效定義為讀取單元信息時間超過臨界時間.

圖1 SRAM單元電路結構Fig.1 SRAM cell structure

2 研究背景

2.1 MC 方法

實際SRAM單元電路中的一些工藝偏差參數(shù)可以用一組獨立隨機變量ξi(i=1，2，…，m)表示，比如晶體管的閾值電壓和有效溝道長度.給定它的PDF為f(ξi).由于變量ξi的獨立性，它的聯(lián)合PDF可以表示為:

第 j個蒙特卡洛采樣點 ξj=，…)由每個獨立隨機變量分布聯(lián)合構成.

假設F(ξ)表示與工藝參數(shù)ξ相關的電路性能指標，例如SRAM單元的靜態(tài)噪聲容限，讀寫時間邊界.該指標需要通過專業(yè)仿真軟件如HSPICE對電路進行晶體管級的仿真獲得，由于采樣點數(shù)目巨大，仿真過程十分耗時.令F0為該性能指標的閾值，當出現(xiàn)F(ξ)＜F0時，電路定義為失效，是一個極端概率事件.我們定義一個指示函數(shù)來描述電路的工作情況:

因此，利用公式(2)，SRAM單元電路的失效概率可以表示為如下形式［5］:

PMC表示采用MC方法獲得的失效概率估計，一般來說，f(ξ)是給定的，可以通過實際測量得到，而指示函數(shù)I(ξ)是未知的，不能直接得到，需要對電路進行晶體管級精確仿真.MC方法需要對整個失效區(qū)域進行采樣，得到該區(qū)域中所有采樣點的指示函數(shù)I(ξ)，MC采樣方法理論上需要的采樣點數(shù)目將會在2.3節(jié)中給出分析.

2.2 IS 方法

雖然MC方法是一個可靠的方法并且被各領域作為一種標準仿真方法廣泛應用，該方法仍具有一些致命缺陷.MC方法的缺點就是收斂速度過慢，不適用于處理SRAM電路失效概率估計這類極端概率事件.如圖2所示，為了方便可視化，以二維參數(shù)為例，SRAM電路失效區(qū)域用紅色標出，采用MC方法采樣，給定中心點的分布進行采樣，虛線表示采樣半徑.由于SRAM單元電路失效是典型的極端概率事件，失效區(qū)域只占極小的比例，為了能夠覆蓋失效區(qū)域，MC方法需要龐大的采樣點仿真計算.因此，文獻［3］提出了重要性采樣方法，將采樣中心偏移到失效區(qū)域，該方法能在極小的精度損失情況下，極大地提高采樣效率，是一種方差減少的快速采樣方法.

重要性采樣算法通過選取一個不同的概率密度分布g(ξ)替換原始的概率密度分布f(ξ).在新的概率密度分布g(ξ)下，大量的采樣點集中我們更關心的失效區(qū)域內(nèi)，此時，失效概率估計可以表示為:

其中，ω(ξ)為權重函數(shù)，代表新的分布函數(shù)下的采樣點在原始分布下權重函數(shù).理論上，重要性采樣的最優(yōu)分布只需要一個采樣點即可以提供電路失效概率的精確估計.該最優(yōu)分布形式如下:

然而，由于I(ξ)未知，并且PIS正是我們最終需要計算的概率估計，gideal(ξ)無法通過上式直接獲得.因此，我們需要構造另一個概率密度分布來盡可能替代理想分布gideal(ξ).這可以通過最小交叉熵的方法構造近似最優(yōu)概率密度分布h(ξ)來解決.

2.3 優(yōu)值系數(shù)

對于基于MC方法的這一類采樣算法，優(yōu)值(Figure of Merit，F(xiàn)oM)是判定概率估計是否收斂的一個重要標準［4］.它的計算公式如下:

P是事件概率，VAR是概率估計P的方差.公式(7)和(8)給出了MC和IS的方差計算公式:

要獲得90%精度(ε=0.1)和90%置信度(δ=0.1)，大概需要100/PMC數(shù)量級的采樣點.如果SRAM單元電路的失效概率為1×10－5量級，MC方法至少需要107量級的采樣點.

圖2 失效區(qū)域分布Fig.2 The distribution of failure region

圖3 SRAM失效概率估計算法框架Fig.3 The framework of failure rate estimation

3 基于AdaBoost分類的擬重要性采樣算法

本節(jié)引入基于AdaBoost學習方法的SRAM單元電路失效概率仿真算法.整個仿真系統(tǒng)框架如圖3所示，對于SRAM單元電路失效概率估計而言，關鍵是確定理想實際失效區(qū)域分布相對于原始分布的偏移量，為了尋找理想實際分布，本文提出了基于最小交叉熵的方法.同時，為了避免對大量無效采樣點進行精確電路仿真，本文引入了AdaBoost學習方法對樣本進行分類預測，篩選出失效區(qū)域中的采樣點，大大節(jié)省了不必要的采樣點仿真計算.

3.1 最小交叉熵方法

公式(5)已經(jīng)給出了采用IS方法獲得理想的分布函數(shù)gideal(ξ)，但由于指示函數(shù)I(ξ)未知，理想的偏移均值無法獲得.本節(jié)通過最小交叉熵方法逼近最優(yōu)偏移均值.該方法被廣泛用于各種統(tǒng)計推斷和機器學習問題中，MCE方法本質(zhì)上是最小化一個分布與另一個分布的Kullback-Leibler距離，假設h(ξ)為理想分布gideal(ξ)實際近似分布，表示成數(shù)學公式［10］如下:

Egideal表示理想分布函數(shù)期望，為了使實際分布h(ξ)最接近最優(yōu)分布gideal(ξ)，需要求公式(10)的最小值，文獻［13］給出了最小化公式(10)的數(shù)值優(yōu)化表達式:

對于SRAM單元電路失效概率估計事件，由于Eξ無法直接獲取，需要通過采樣計算，公式(11)屬于數(shù)值優(yōu)化問題，計算代價太大，所以MCE方法無法直接應用.用μ表示SRAM單元電路工藝參數(shù)的均值，σ表示其對應的方差，h(ξ)為高斯分布N(μ，σ)，ξ=［μ，σ］.結合公式(4)，代入公式(11)得到關于 SRAM 單元電路失效概率的最優(yōu)分布參數(shù)公式:

公式(12)的數(shù)值優(yōu)化問題可以通過分析方法解決，公式(12)的最優(yōu)解可以通過MCE公式求導得到:

文獻［13］運用公式(13)中第一個公式來獲得最優(yōu)分布的實際近似最優(yōu)偏移量，但文獻［13］僅進行了一次計算，實際運用中無法獲得準確的近似最優(yōu)分布參數(shù).同時，文獻［13］忽略了方差與偏移量的相關性，沒有給出最優(yōu)方差逼近的計算公式，本文推導的公式(13)充分結合了μ和σ的相互影響，同時結合3.3節(jié)中提出的收斂判定標準，更加準確地、系統(tǒng)地給出了最優(yōu)分布的逼近方法.

3.2 AdaBoost分類器

AdaBoost算法是一種機器學習方法，由Freund和Schapore提出［9］.算法1描述了AdaBoost的工作原理，AdaBoost方法是一種迭代算法，在每一輪中加入一個新的弱分類器，直到達到某個預定的足夠小的錯誤率.每一個訓練樣本都被賦予一個權重，表明它被某個分類器選入訓練集的概率.如果某個樣本已經(jīng)被準確地分類，那么在構造下一個訓練集中，它被選中的概率就降低;相反，如果某個樣本點沒有被準確地分類，那么它的權重就得到提高.通過這樣的方式，AdaBoost方法能“聚焦于”那些較難分(更富信息)的樣本上.

在具體實現(xiàn)上，最初令每個樣本的權重都相等，對于第K次迭代操作，我們就根據(jù)這些權重來選取樣本點，進而訓練分類器Ck.然后根據(jù)這個分類器，來提高被錯誤分類的樣本的權重，并降低被正確分類的樣本的權重.然后，權重更新過的樣本集被用于訓練下一個分類器Ck+1.整個訓練過程如此迭代進行下去［11］.

算法1:AdaBoost 分類學習算法

3.3 整體算法框架

重要性采樣框架內(nèi)最重要的環(huán)節(jié)是確定實際分布相對于原始分布的偏移量，構建偏向失效區(qū)域的新的最優(yōu)實際分布，如圖2所示，即搜索最優(yōu)分布gideal(ξ)的一個近似分布.

3.3.1 初始化分布選取

采樣仿真問題首先要決定引入多少個參量作為輸入來對工藝偏差建模.對于SRAM單元電路模型，CMOS晶體管的工藝偏差參數(shù)主要是閾值電壓Vth和有效溝道長度Leff.而在這些參數(shù)中，Vth占主導地位.實際運用中，Vth偏差模型被定義為典型的高斯隨機變量.

選定參變量之后，需要確定一個初始化分布迭代的逼近重要性采樣的最優(yōu)分布.一個好的初始化分布能產(chǎn)生更多的電路失效采樣點，加速失效概率估計算法的收斂.因此，本文提出了一種啟發(fā)式方法可以使原始分布快速偏移到一個更容易產(chǎn)生失效事件的初始點.首先用MC方法均勻采樣一些點(大概500～1 000)，保證樣本空間可以被均勻覆蓋.然后，對這些樣本進行晶體管級的電路仿真，篩選出給定性能約束下的電路失效的樣本.對篩選出的失效樣本集合運用最小2-范數(shù)求解初始化偏移量lini:

li為失效區(qū)域樣本點參量值，為失效區(qū)域樣本集合的均值.公式(14)給出了初始化的中心點偏移量，使PDF更加接近失效區(qū)域的PDF.第二階段需要結合公式(13)，數(shù)值迭代求解最優(yōu)平均偏移量.

3.3.2 失效概率估計

公式(6)給出了FoM值的計算公式，一旦FoM值達到閾值，可以認為失效概率估計Pfail趨于收斂.不同于現(xiàn)有方法，本文在每一次迭代過程中利用公式(13)優(yōu)化分布參數(shù)，降低FoM的值.IS方法的FoM值的數(shù)學表達式如下:

在沒有任何數(shù)值約束條件下，F(xiàn)oM的最小值為0.因此，最直接的辦法就是在每一次迭代中讓公式(15)中的分子盡可能地接近0，加快仿真收斂速度.原問題轉化為:

由于上述方差表達式中的第二項的倒數(shù)并不能保證非負，該方差表達式并不是一個凸規(guī)劃問題.文獻［12］指出，當且僅當公式(15)的第二項為非負時，上述可導函數(shù)為凸函數(shù).計算公式(15)的導函數(shù)的極值點，得到的均值和方差的數(shù)學表達式同公式(13).

基于重要性采樣的SRAM單元電路失效概率估計可以通過上述計算流程得到.在每一步的迭代中，近似分布估計的平均值和標準偏差都會變化，并逐漸向最優(yōu)分布的平均值和標準方差逼近.但由于標準方差σ的計算嚴重依賴于平均值μ的計算，有可能導致算法沒有收斂或者收斂于偏離全局最優(yōu)的一個局部最優(yōu)解.因此需要在初始化中，盡可能地選出接近失效區(qū)域的初始點.算法2給出了基于綜合上述各種方法的SRAM單元失效概率估計算法的整體框架.

算法2:SRAM 單元電路失效概率分析算法

(續(xù)表)

4 結果

本文提出的SRAM單元電路失效概率估計算法采用C++/MATLAB混合編程實現(xiàn)，結合了HSPICE電路仿真工具和32 nm的PTM工藝預測模型.如圖1所示，SRAM單元讀操作受晶體管M3和M4的閾值電壓變化影響最大，本文中算法實現(xiàn)針對Vth1和Vth2建模，亦可以擴展到高維情況，限于篇幅原因，本文不擴展探討.SRAM單元中指定MOS管的閾值電壓的原始分布如下:所有分布假設為標準正態(tài)分布，標準分布的均值為0.466 V.閾值電壓的標準差為均值絕對值的10%，即0.046 6.電源電壓Vdd=0.9 V.位線讀取信息的敏感電壓差為0.07 V，本實驗中，SRAM單元的失效概率為6.67×10－4.

4.1 分類效果分析

本文提出的算法主要基于AdaBoost分類算法實現(xiàn)，該算法其實是一個簡單的弱分類算法提升過程，這個過程通過不斷地訓練，可以提高對數(shù)據(jù)的分類能力.圖4為AdaBoost分類器的訓練過程，從圖中可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，分類效果越來越精確，樣本分布逐漸接近實際失效區(qū)域分布.但是，SRAM單元電路失效事件是極端小概率事件，訓練學習樣本是偏置的.SRAM電路正常工作樣本(反例)要遠遠多于電路失效樣本(正例)，正例分類錯誤的代價相對較高，直接采用AdaBoost分類方法預測精度比較低.本文提出了針對非均衡問題調(diào)節(jié)分類器的方法，就是對分類器的訓練數(shù)據(jù)進行改造.通過對反例樣本進行欠抽樣或者樣例刪除處理，選擇那些離決策邊界較遠的樣例進行刪除，另一種數(shù)據(jù)處理方法就是基于代價函數(shù)來調(diào)整錯誤權重向量D.考慮到小類別中只允許更少的錯誤，可以基于代價函數(shù)來調(diào)整錯誤權重向量D.本文采用欠抽樣方法，改進的AdaBoost分類效果如圖5所示，初始樣本集合大小為1.0×105.從圖中可以看出，原始失效樣本的數(shù)目極少，只有418個，對原始數(shù)據(jù)進行分類學習，再以原始樣本集驗證分類器性能，仍有1/3的點無法正確分類，而對處理后的學習樣本進行學習，只有不到1/10的點被錯誤分類.處理前后分類精度從67%提高到90%.

圖4 AdaBoost分類器訓練過程Fig.4 The training process of AdaBoost classifier

圖5 學習樣本集改進前后的錯分率Fig.5 The miss hit rate of learning samples

文獻［8］中提出了基于SVM分類學習的方法，SVM是當前最優(yōu)秀的非線性分類器之一.表1比較了本文提出的AdaBoost分類方法與SVM分類器的性能對比.從表中可以看出，隨著采樣點個數(shù)的增加，AdaBoost方法預測準確度要比SVM高很多，穩(wěn)定后SVM分類器的分類精度保持在75%，AdaBoost分類器的分類精度穩(wěn)定在91%左右.為了保證實驗公正性，兩種方法采用相同的學習樣本.

4.2 算法的收斂性分析和精度比較

如前所述，優(yōu)值系數(shù)FoM是決定概率估計收斂與否的標準.試驗中，我們設定FoM的閾值為0.1，即收斂后的概率估計值具有90%的精度和90%的可信度.SRAM單元讀操作失效概率估計的各種方法的測試結果如圖6所示.上圖為傳統(tǒng)的MC方法和IS方法概率估計，下圖為序列重要性采樣(SIS)，基于SVM分類學習的重要性采樣(SVM-IS)以及基于AdaBoost分類學習方法的改進型重要性算法(Ada-QIS)的概率估計.這些方法最終的失效概率都非常接近，一般以MC方法收斂后的測量值作為標準值，因此本文的方法具有很高的精度.在實驗中，MC方法需要106以上量級的采樣點才能達到收斂，而SVM-IS方法及Ada-QIS方法的采樣點數(shù)量級在103左右.除此之外，相比于其他方法，本文提出的方法迭代了很少次數(shù)就達到收斂，即基于交叉熵的IS方法能夠迅速尋找到最優(yōu)實際分布的最佳近似分布.另外，通過觀察這一類IS算法，可以發(fā)現(xiàn)重要性采樣對樣本分布非常敏感，并直接影響到估計的精度和效率.實際采樣中，很多采樣點是在失效區(qū)域外的，SVM分類器和AdaBoost分類器的引入大大減少了由這些點導致的不必要的仿真計算.本文提出的基于AdaBoost分類的擬重要性采樣算法，不僅通過分類器過濾了很多無用的采樣點，同時迭代地降低樣本方差，從兩方面使采樣算法收斂加速，因此其效果要比當前最先進的基于SVM分類過濾的算法要快1倍以上，而相比于標準的MC方法要快103的數(shù)量級，隨著失效概率的降低，這種優(yōu)勢將更加明顯.同時，由于SRAM單元電路最耗時間的部分就是對電路的精確仿真，因此，采樣點的個數(shù)間接表示了該算法的運行時間.

表1 分類器性能比較Tab.1 The performance of the two classifiers

圖6 SRAM單元電路失效概率估計算法比較Fig.6 Comparison of multiple algorithms for the failure rate estimation of SRAM cell

5 總結

本文提出的基于AdaBoost學習的改進的重要性采樣算法，以AdaBoost分類器過濾大量無效的采樣點，集中對失效區(qū)域進行采樣;同時，結合了實際分布中均值和方差的依賴關系，基于交叉熵的重要性采樣給出更加精確地最有分布逼近公式，并且給出了合理的收斂判定標準，形成了一套完整的系統(tǒng)解決方案.本文提出的算法改善了原來基于MC方法的一類算法普遍存在的精度差、收斂慢等問題.

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