張 琦, 羅成新

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

帶有不可用區(qū)間中斷可恢復(fù)的平行機(jī)排序問題

張 琦, 羅成新

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

討論帶有不可用區(qū)間且工件中斷可恢復(fù)的兩臺(tái)平行機(jī)排序問題。其中一臺(tái)機(jī)器帶有不可用區(qū)間,在不可用區(qū)間內(nèi)不能加工工件。工件在加工時(shí)被不可用區(qū)間中斷后,可以在不可用區(qū)間之后繼續(xù)加工。目標(biāo)是最小化加權(quán)總完工時(shí)間。這個(gè)問題是一般定義下NP-難的,因此需要尋找滿足指定精確度的近似解。首先給出全多項(xiàng)式近似方案的定義,其次提出了一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的算法,最后利用劃分程序的方法得到了一個(gè)全多項(xiàng)式近似方案(FPTAS),該近似方案的時(shí)間復(fù)雜性為O(n5L5/ε4),其中:n為輸入工件的個(gè)數(shù);L為輸入規(guī)模;ε0為誤差精度。

平行機(jī)排序; 不可用區(qū)間; 中斷可恢復(fù); NP-難; 全多項(xiàng)式近似方案

0 引 言

對(duì)于經(jīng)典排序問題大多數(shù)做如下假設(shè):任何時(shí)間機(jī)器都是可以加工工件的。但是在實(shí)際生產(chǎn)過程這種假設(shè)條件不能總被滿足。例如:在機(jī)器發(fā)生故障或定期維修、保養(yǎng)的一時(shí)間段內(nèi)不能加工工件,即產(chǎn)生了不可用區(qū)間,通常將這類問題稱為機(jī)器具有可用性限制問題。如果一個(gè)工件在不可用區(qū)間之前不能完工,那么該工件可以在不可用區(qū)間之后繼續(xù)加工,稱該工件是中斷可恢復(fù)的。Lee[1]考慮了不同的機(jī)器有可用性限制的排序問題。Ji[2]研究的是工件帶有線性退化加工時(shí)間的平行機(jī)排序問題。此外,文獻(xiàn)[3-9]對(duì)相應(yīng)的問題分別得到了全多項(xiàng)式時(shí)間近似方案。文獻(xiàn)[10-14]研究的也是帶有不可用區(qū)間的排序問題。

1 問題描述

該問題是在2臺(tái)平行機(jī)上將工件集J={1,2,…,n}中的n個(gè)互不相關(guān)工件進(jìn)行排序,目標(biāo)是最小化加權(quán)總完工時(shí)間。每個(gè)工件i∈J的加工時(shí)間為pi。假設(shè)第1臺(tái)機(jī)器一直可用且第2臺(tái)機(jī)器在區(qū)間[T2,S2]內(nèi)不能加工工件,機(jī)器在每一時(shí)刻至多能加工一個(gè)工件。不失一般性,考慮所有的數(shù)據(jù)都是正整數(shù)。將工件先按WSPT規(guī)則排好(即ω1/p1≥ω2/p2≥…≥ωn/pn)。這里僅考慮所有工件不全都排在第1臺(tái)機(jī)器上且不能全都排在第2臺(tái)機(jī)器T2之前的情形。

2 全多項(xiàng)式近似方案

由引理1,本文的排序問題P2/r-a∑ωjCj的最優(yōu)解中,每臺(tái)機(jī)器上的工件都按ωj/pj非增的順序排列。將所有工件按ω1/p1≥ω2/p2≥…≥ωn/pn排列。引入變量xj(j=1,2,…,n),如果工件Jj在第1臺(tái)機(jī)器上加工,令xj=1;如果工件Jj在第2臺(tái)機(jī)器T2之前加工,令xj=2;如果工件Jj在第2臺(tái)機(jī)器S2之后加工,令xj=3。記X為所有向量x=(x1,x2,…,xn)所組成的向量集,其中xj={1,2,3},j=1,2,…,n。定義在集合X上的函數(shù)如下:

對(duì)于問題P2/r-a∑ωjCj給出一個(gè)FPTAS。

算法Aε

第1步 將工件按ω1/p1≥ω2/p2≥…≥ωn/pn順序排列。令Y0={(0,…,0)},j=1。

hj(x(a1,a2,a3,b))=min{hj(x):x∈Ya1,a2,a3,b}

置j=j+1,轉(zhuǎn)第2步。

定理1 問題P2/r-a∑ωjCj利用算法Aε,在O(n5L5/ε4)運(yùn)行時(shí)間內(nèi)找到一向量x′∈X使得h(x′)≤(1+ε)h(x*),其中x*是最優(yōu)解。

當(dāng)xj=1時(shí),

當(dāng)xj=2時(shí),

當(dāng)xj=3時(shí),

這樣導(dǎo)出

從式(1)和式(6)得

類似地有

令δk=δ+δk-1(1+δ),k=2,3,…,n-j+1。那么有

對(duì)j+2,…,n重復(fù)論證,有x′∈Yn,得到

又通過引理4有

因此

因此,通過算法Aε中的第3步,得到的x0滿足

hn(x0)≤hn(x′)≤(1+ε)hn(x*)

3 結(jié) 論

本文考慮的是一臺(tái)機(jī)器在某固定時(shí)間內(nèi)不可用且工件中斷可恢復(fù)的兩臺(tái)平行機(jī)排序問題,目標(biāo)是最小化加權(quán)總完工時(shí)間,對(duì)該問題給出了一個(gè)全多項(xiàng)式方案(FPTAS),其時(shí)間復(fù)雜性為O(n5L5/ε4)。

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Parallelmachineschedulingproblemwitharesumableavailabilityconstraint

ZHANGQi,LUOChengxin

(School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

This paper considers a scheduling problem of two parallel machines with a resumable availability constraint. The machine is unavailable betweenT2andS2. We call a job resumable if it cannot finish before the unavailable period of a machine and can continue after the machine is available again. The objective is to minimize the sum of weighted completion times. The problem is NP-hard in the ordinary sense. Therefore, we need to find an approximate solution that fulfills the required error bound. Firstly we propose the definition of the fully polynomial-time approximation scheme. Secondly we give a dynamic programming algorithm. Finally we obtain a fully polynomial-time approximation scheme (FPTAS) by procedure partition. Its running time isO(n5L5/ε4), wherenis the number of jobs,Lis the input size andεis the required error bound.

parallel machine scheduling; non-availability interval; resume; NP-hard; FPTAS

2014-03-16。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61070242)。

張 琦(1989-),女,遼寧沈陽(yáng)人,沈陽(yáng)師范大學(xué)碩士研究生;

: 羅成新(1958-),男,遼寧新賓人,沈陽(yáng)師范大學(xué)教授,博士,碩士研究生導(dǎo)師。

1673-5862(2014)04-0466-05

O223

: A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2014.04.003