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        化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的作用

        2014-09-21 16:35:37丁亞輝
        黑河教育 2014年9期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)素質(zhì)

        丁亞輝

        [內(nèi)容摘要]化歸是轉(zhuǎn)化和歸納的簡稱。化歸不僅是一種重要的解題思想,也是一種重要的策略。所謂的化歸思想方法,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進而達到解決的一種方法。

        [關(guān)鍵詞]化歸;數(shù)學(xué)素質(zhì);解題思想

        化歸是轉(zhuǎn)化和歸納的簡稱,最早由匈牙利數(shù)學(xué)家羅沙?彼特提出來的。羅沙?彼特曾經(jīng)問了這樣一個問題:“假如在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴,現(xiàn)在的任務(wù)是要燒水,你應(yīng)當(dāng)怎樣去做?”答案是:“在水壺中放上水,點燃煤氣,再把水壺放到煤氣灶上。”羅沙又問:“假如其它條件都不變,只是水壺中已有足夠的水,這時你應(yīng)該怎么做?”對此,人們往往回答說:“點燃煤氣,再把水壺放在煤氣灶上?!钡?,羅沙認為這不是最好的回答。因為,“只有物理學(xué)家才會這樣做,而數(shù)學(xué)家則會倒去水壺中的水,并且聲稱我已經(jīng)把后一個問題化歸為先前的問題了?!?/p>

        “把水倒掉!”的比喻有點夸張,但它的確表明了數(shù)學(xué)家思考與解決問題的一個特點:化歸,即將已知問題化成以前已經(jīng)會的問題。在化歸思想方法指導(dǎo)下,我們常常將不熟悉和難解決的問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易知的、易解的或已經(jīng)解決的問題;將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的、直觀的問題;將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題;將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的、特殊的問題;將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,使問題得以解決。

        化歸在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在,如未知向已知轉(zhuǎn)化,復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化,新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化,命題之間的轉(zhuǎn)化,數(shù)與形的轉(zhuǎn)化,空間向平面的轉(zhuǎn)化,高維向低維轉(zhuǎn)化,多元向一元轉(zhuǎn)化,高次向低次轉(zhuǎn)化,超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化,函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等,都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)?;瘹w的基本功能是:陌生的化成熟悉的,復(fù)雜的化成簡單的,抽象的化成直觀的,不會的化成會的。說到底,化歸的實質(zhì)就是以運動變化發(fā)展的觀點,以及事物之間相互聯(lián)系、相互制約的觀點看待問題,善于對所要解決的問題進行變換轉(zhuǎn)化,使問題得以解決。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有:高次的轉(zhuǎn)化為低次,多元的轉(zhuǎn)化為一元,空間的的轉(zhuǎn)換為平面,配方法,整體代人法以及化動為靜,由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想,這也是辯證唯物主義的基本觀點。

        例1 :雞兔同籠?;\中有頭40,有足140,問雞、兔各有幾只?

        分析:化歸的實質(zhì)是不斷變更問題,這里可以先對已知成分進行變形。每只雞有2只腳,每只兔有4只腳,這是問題中不言而喻的已知成分?,F(xiàn)在對問題中的已知成分進行變形:“一聲令下”,要求每只雞懸起一只腳(呈金雞獨立狀),又要求每只兔懸起兩只前腳(呈玉兔拜月狀)。那么,籠中仍有頭40,而腳只剩下70只了,并且,這時雞的頭數(shù)與足數(shù)相等,而兔的足數(shù)與兔的頭數(shù)不等。有一只兔,就多出一只腳,現(xiàn)在有頭40,有足70,這就說明有兔30只,有雞10只。

        化歸思想教學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中體現(xiàn)得較為寬廣。數(shù)學(xué)中可以實現(xiàn)化歸的方法很多,會解一元一次方程以后再解二元一次方程組的時候,只需消元把二元化為一元;掌握了三角形內(nèi)角和是180°以后,要求多邊形內(nèi)角和只需把多邊形分割成三角形就可以了;空間兩條異面直線所成的角,只須通過作平行線轉(zhuǎn)化成大家所熟悉的兩相交直線所成的角。又如復(fù)雜的三角函數(shù)的最值問題有時也可以通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)最值問題,再如還可以用三角法解決幾何量的最值問題。

        化歸不僅是一種重要的解題思想,也是一種最基本的策略。在生活中,我們面對一座郁郁蔥蔥長滿樹木的高山,通往山頂?shù)牡缆酚泻芏?,而我們熟悉的只有一條,這時候把你放在半山腰處,向上有幾條未知的道路,而向下有一條直通山底的道路,這時你的目標(biāo)是到達山頂,你應(yīng)該怎么辦?我們常常有很多種選擇,有的人為了省力、省時,向上走去,有些人可以到達山頂,也有些人到不了山頂。有的人為了保險,回到山底,從我們熟悉的道路到達山頂,化歸思想為我們提供了比較穩(wěn)妥的上山策略。

        銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維方法和研究方法就是數(shù)學(xué)素質(zhì)。數(shù)學(xué)作為各門科學(xué)的重要基礎(chǔ), 作為人類文明的重要支柱,在很多領(lǐng)域中起著關(guān)鍵性的作用。當(dāng)今社會, 運用數(shù)學(xué)已成為每一個公民應(yīng)具備的素質(zhì)。隨著社會信息反饋的不斷深入, 出現(xiàn)用概率統(tǒng)計方式播報的天氣預(yù)報、用圖表表示的工作速度、用正態(tài)分布圖表示的生產(chǎn)工藝水平等。作為數(shù)學(xué)教師, 既要熟悉數(shù)學(xué)內(nèi)部的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、知識之間的聯(lián)系, 以及數(shù)學(xué)知識的背景、地位、作用和蘊含的數(shù)學(xué)文化,也要精通數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論知識,加深對數(shù)學(xué)教材的認識,提高分析教材的能力。還應(yīng)該具備高一級的數(shù)學(xué)知識,了解與數(shù)學(xué)知識有關(guān)的擴展內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想和方法, 拓寬知識領(lǐng)域, 豐富自己的知識儲備, 有比較開闊的數(shù)學(xué)視野,這樣才能在教學(xué)中以發(fā)展的眼光設(shè)計自己的課堂教學(xué),避免犯科學(xué)性錯誤。

        化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)解題的重要思想方法,但并非萬能的方法,即并不是所有的問題都可以通過化歸而得到解決的。化歸思想的成功應(yīng)用是以“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”為前提的。數(shù)學(xué)教師不能只停留在化歸的分析,而必須有創(chuàng)新的精神,不斷地進行新的研究,在研究中獲得新的方法和理論。

        參考文獻:

        [1]張雄,李得虎.數(shù)學(xué)方法論與解題研究[M].高等教育出版社,2003,(08).

        [2]陳鼎興.數(shù)學(xué)思維與方法[M].東南大學(xué)出版社,2003,(10).

        [3]郜舒竹.數(shù)學(xué)教學(xué)基礎(chǔ)[M].教育科學(xué)出版社,2007,(03).

        (責(zé)任編輯 史玉英)

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