張 超，張勝修，蔡光斌，侯明哲

(1.第二炮兵工程大學控制工程系，710025西安;2.哈爾濱工業(yè)大學控制理論與制導技術研究中心，150001哈爾濱)

隨著航天器應用領域的不斷擴展，對小型低造價航天器的需求逐步提升，而小體積低造價意味著航天器控制能力有限且更易受干擾的影響，這就要求姿態(tài)控制系統(tǒng)在不斷增強魯棒性的同時考慮控制飽和的影響.目前，廣泛研究和應用于非線性航天器姿態(tài)控制的方法主要有動態(tài)逆［1-2］，滑模變結(jié)構(gòu)控制［3-4］和反步法［5-8］.因為反步法沒有時標分離的假設和抖振現(xiàn)象，且遞推過程基于具有嚴格收斂和穩(wěn)定性的Lyapunov函數(shù)，在增強控制魯棒性和自適應性方面，反步法的結(jié)構(gòu)也具備很大的靈活性［9］，所以本文選擇反步法設計基礎姿態(tài)控制器.

對于受多種不確定性因素影響的在軌航天器控制問題，可采用兩種自適應反步結(jié)構(gòu)以提高控制器的性能:一是基于調(diào)節(jié)函數(shù)的自適應反步(adaptive backstepping with tuning functions，TFAB)，該方法通過Lyapunov函數(shù)的遞歸推導來構(gòu)造不確定參數(shù)的自適應律，克服了過參數(shù)化估計問題，具有強穩(wěn)定性，但更新律結(jié)構(gòu)和控制律形式復雜，特別是參數(shù)估計不能保證真值收斂，且系統(tǒng)動態(tài)與參數(shù)更新律動態(tài)強耦合，不可預知的參數(shù)更新動態(tài)可能導致非期望的閉環(huán)瞬態(tài)響應，因而對于復雜系統(tǒng)，TFAB控制器參數(shù)調(diào)節(jié)困難［9-10］;二是基于估計的分塊自適應反步(modular adaptive backstepping)，分別設計魯棒控制律和非基于Lyapunov的估計器，如正交最小二乘估計器等［5-6，11］，估計器直接在線估計并補償不確定性的影響.但對于非線性系統(tǒng)，由于難以保證確定等價原則，所以需要引入非線性阻尼項以克服參數(shù)估計的時變特性，然而非線性阻尼導致了不期望的高增益控制，可能引起數(shù)值穩(wěn)定性問題，且閉環(huán)系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性相對于方法一來說也損失了強穩(wěn)定性.

最近，文獻［10，12-14］提出了一種新的基于系統(tǒng)浸入和流形不變(I＆I)的非線性自適應控制和狀態(tài)觀測器設計方法，對于參數(shù)嚴反饋系統(tǒng)該觀測器可用于對未知參數(shù)進行估計，并使參數(shù)估計誤差具有期望的一致穩(wěn)定動態(tài)，因而閉環(huán)系統(tǒng)具有控制與估計兩個穩(wěn)定系統(tǒng)級聯(lián)的分塊自適應控制結(jié)構(gòu)，相對前述傳統(tǒng)自適應反步法，其參數(shù)調(diào)節(jié)更容易，且不需要非線性阻尼項，極大的改善了自適應系統(tǒng)的性能.因而，本文基于I＆I設計非線性估計器對“總干擾”(外干擾和慣性參數(shù)攝動引起的干擾力矩)進行實時估計補償，以提高反步控制的魯棒性和精度.

由于航天器作動器物理飽和與系統(tǒng)狀態(tài)約束的存在會嚴重降低閉環(huán)系統(tǒng)的性能，所以在設計控制器時還必須考慮輸入受限問題［3，7，15］.本文采用指令濾波反步法［16］(command filtered backstepping，CFBS)設計反步控制器，通過指令濾波器來施加系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入的幅值及速率約束，并對跟蹤誤差進行修正以消除飽和約束對跟蹤誤差收斂性的影響，同時得到虛擬控制量導數(shù)以簡化設計過程.最后，將本文基于I＆I的分塊自適應約束反步控制器(I＆I based modular adaptive constrainted backstepping，IIACB)與非自適應的CFBS和基于調(diào)節(jié)函數(shù)的約束自適應反步控制器［17］(constrained adaptive backstepping，CABS)進行比較仿真，驗證了本文方法在小型航天器高精度姿態(tài)控制中的有效性.

1 航天器MRP姿態(tài)模型

修正羅德里格參數(shù)(MRP)是通過投影法由四元數(shù)推出的描述姿態(tài)運動的三參數(shù)全局非奇異方法，能夠表示|θ|＜360°的特征軸轉(zhuǎn)動，參數(shù)較少，計算量?。?8］.

1.1 姿態(tài)運動學方程

假設航天器在圓軌道上運行，則軌道角速率n為常值，由MRP表示的姿態(tài)運動方程為

其中:σ =［σ1σ2σ3］T∈R3為MRP姿態(tài)參數(shù)向量(文中‖·‖表示向量的2范數(shù)或矩陣的誘導2范數(shù));N(σ)為MRP運動學矩陣;Ⅰ3×3是3×3單位矩陣;ω =［ω1ω2ω3］T∈R3為航天器相對于慣性系的角速度向量;ci(σ)，i=1，2，3是MRP方向余弦矩陣C(σ)的第i列向量，

C(σ)表示如下:

Sζ表示如下反對稱矩陣:

1.2 姿態(tài)動力學方程

剛體航天器向量形式的歐拉轉(zhuǎn)動方程為

其中:M=(Tg+Tc+Td)∈R3為航天器在本體坐標系上所受的總外力矩，Tg=3n2Sc3J0c3為非均勻重力場引起的重力梯度力矩，Tc為執(zhí)行器控制力矩，Td=TdI+TdEX為總干擾力矩，TdI及TdEX分別表示慣性參數(shù)攝動引起的干擾力矩部分和受到的環(huán)境外干擾力矩部分;J0∈R3×3為航天器對稱正定慣性張量矩陣的已知測量部分，則航天器標稱姿態(tài)動力學方程為

其中未知干擾力矩Td的系數(shù)項J-10是常值回歸項．

1.3 干擾力矩有界性

針對航天器姿態(tài)數(shù)學模型(1)和(3)，在全局范圍內(nèi)作如下假設:‖Td‖≤Mm，≤Mr成立，即時變的總干

假設1［19-20］存在正常數(shù) Mm和 Mr，使得擾力矩Td及其導數(shù)是有界的．

假設1表明干擾屬于有界慢時變形式，在實際航天背景下，航天器所受空間干擾項，包括了地球引力攝動、大氣阻力、太陽光壓以及日月三體引力等因素，這些因素取決于空間環(huán)境、軌道參數(shù)及星間相對狀態(tài)等，可以在具體應用背景下通過相應的模型獲得其大小［21］，雖然不同外干擾的大小差別很大，但是與航天器姿態(tài)控制力矩相比他們都非常小.文獻［22-23］指出:一般在控制器設計中可將其作為有界的未知項處理，并通常具有偏差項與周期項相加的形式.因此，本文對Td中常值慣性張量偏差引起的干擾力矩TdI及其導數(shù)有界性進行證明．

在證明之前，首先給出以下2范數(shù)的定義和性質(zhì):向量 v∈Rn的2范數(shù)定義為，‖v‖ =，矩陣A∈Rm×n的誘導2范數(shù)為，并且對于有界的矩陣A和向量v滿足如下性質(zhì):

其中γ為有限的正常數(shù)．

進一步對于向量的叉乘運算使用2范數(shù)可得

其中w∈Rn．

慣性張量模型由J=J0+ΔJ表示，其中J是實際慣性矩陣，J0和ΔJ分別表示已知測量部分和常值慣性張量偏差，進一步將實際慣性矩陣的逆用J0表示為J-1=J-10+ΔJ*，由式(3)可知，實際的航天器動力學模型應為

將上式中的不確定項分離并整理可得

可見，由慣性張量常值偏差ΔJ引起的干擾力矩TdI是時變的，可以用I＆I觀測器進行估計．由于J和J-1均為有限常值非奇異矩陣，取式(7)的2范數(shù)并利用范數(shù)性質(zhì)式(4)～(5)可得

其中γi為有限正常數(shù)．由于特征軸轉(zhuǎn)動|θ|＜360°，MRP滿足|σ|2＜ 1，因而向量ci(σ)，i=1，2，3有界，又因為在反步控制器設計中利用指令濾波器施加了控制輸入Tc與狀態(tài)ω的幅值飽和限制，所以Tc和ω均有界，因而從式(8)可知TdI有界．進一步TdI的時間導數(shù)為

對上式同樣取2范數(shù)可得

其中γi為有限正常數(shù)，由于指令濾波器同樣施加了速率限制，所以保證了和c的有界性．而由方向余弦矩陣(2)的泊松運動微分方程［18］

假設2 參考指令信號及其一階導數(shù)存在且有界.

在實際跟蹤控制系統(tǒng)中，參考指令信號通常均有界.將參考指令進行一階濾波形成新的參考指令，則可使得其一階導數(shù)存在且有界.

假設3 系統(tǒng)狀態(tài)(姿態(tài)角σ，角速度ω)完全可知．

由于本文研究狀態(tài)反饋控制律設計，所以提出該假設，實際工程中航天器姿態(tài)角和角速率也是可測的.

至此，本文控制器設計目標為:針對式(1)和(3)組成的6階非線性嚴格反饋MRP模型，設計控制律Tc，使得在系統(tǒng)不確定性和干擾條件下航天器姿態(tài)σ跟蹤光滑參考指令σr，閉環(huán)系統(tǒng)全局穩(wěn)定且當t→∞時跟蹤誤差zi(i=1，2)收斂于包含零的可任意小的鄰域內(nèi)．

2 I＆I自適應反步控制

2.1 反步控制器設計

考慮系統(tǒng)(1)和(3)，首先定義跟蹤誤差向量

其中:x2，c是實際內(nèi)環(huán)參考角速率，x2，c及其導數(shù)2，c可通過對= α1- χ2指令濾波后獲得(α1是設計的內(nèi)環(huán)虛擬控制律，χ2是由于濾波作用而定義的修正項)，對于文獻［16］的指令濾波器可采用如下離散形式:

跟蹤誤差式(10)、(11)的動態(tài)為

為消除飽和約束對跟蹤誤差的影響，進一步定義修正跟蹤誤差為

注1雖然式(15)中z1，z1，χ1都是MRP表示的角度，但當參考指令連續(xù)光滑時，z1較小，且合理設計指令濾波器可使χ1比z1更小，因而可不采用形如式(10)的MRP代數(shù)運算，直接相減進行合理近似.

帶飽和約束的指令濾波對跟蹤誤差z1、z2的效應由如下穩(wěn)定線性濾波進行估計，即修正項χ1、χ2滿足

至此，未經(jīng)濾波的初始控制律設計為

其中增益矩陣k1，k2＞0，通?？蛇x擇內(nèi)環(huán)增益k2大于外環(huán)增益是“總干擾”力矩估計值．實際執(zhí)行器飽和約束下的控制力矩Tc由通過(12)指令濾波獲得．

2.2 Ⅰ＆Ⅰ估計器設計

I＆I是利用定義的不變流形使得所有流形面上的解都收斂于平衡狀態(tài)，為此，I＆I使用閉環(huán)目標動態(tài)來合理設計自適應控制的估計律［14］.對于航天器姿態(tài)模型，干擾項僅存在于動力學方程(3)中，首先定義流形外的估計誤差為

代入動力學方程(3)，控制律(19)和修正項動態(tài)(17)，則d的動態(tài)為

消去式(21)的已知部分，則定義估計律為

這使得誤差系統(tǒng)式(20)具有如下動態(tài):

由于式(3)中回歸函數(shù)J-10是常值，所以由文獻［10］可知，β(ω)存在如下解:

其中γ＞0是估計增益，代入式(23)可得

至此，式(22)、(24)構(gòu)成 I＆I估計律，式(25)是估計誤差動態(tài)，且以下穩(wěn)定性引理成立.

引理 對于誤差系統(tǒng)式(23)和形如式(24)定義的光滑函數(shù)β(ω)，在假設1成立的條件下，估計誤差動態(tài)式(25)一致全局有界，其解漸進收斂于集合S，

可見，當Mr，J0一定時的上界可以通過選擇充分大的γ而任意小，即估計值d+β(ω)趨近于真值Td，并且注意到I＆I方法的特點，該結(jié)論的成立是獨立于控制律設計的.

3 閉環(huán)穩(wěn)定性證明

首先，分析閉環(huán)系統(tǒng)修正跟蹤誤差式(15)的動態(tài)，由式(13)可知:

進一步代入式(16)、(18)可得

同理，由式(14)、(17)、(19)可得

至此，選取閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)如下:

其沿估計誤差動態(tài)式(25)，修正跟蹤誤差動態(tài)式(29)、(30)的時間導數(shù)為

由式(27)可知

其中Λ =ΛT＞0，且如果滿足如下條件:

則式(31)為

為使得增益γ滿足條件(32)，且無需顯式計算Λ，將式(32)兩不等式結(jié)合可得

最終，小型航天器IIACB分塊姿態(tài)控制結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示.

圖1 I＆I分塊自適應約束反步姿態(tài)控制框圖

4 仿真結(jié)果與分析

針對航天器姿態(tài)機動，本文分別基于文獻［16］帶飽和約束的非自適應 CFBS，文獻［17］中自適應的CABS以及本文的IIACB進行仿真比較.

CFBS控制器與IIACB的控制器部分相同，而由于干擾力矩的時變性質(zhì)，CABS控制器的內(nèi)環(huán)控制律需要增加非線性阻尼項來克服估計誤差，以使得閉環(huán)系統(tǒng)輸入 -狀態(tài)穩(wěn)定［24-25］，其中κ =κT＞0為魯棒增益，而其調(diào)節(jié)函數(shù)估計律由修正跟蹤誤差z2驅(qū)動，如式(35)，增加光滑投影算子［26］Proj(·)用于保證估計誤差有界，Γ＞0為自適應增益，

其中:δ＞0為小的常值;M是超球面集半徑;τ表示估計律．

航天器軌道角速度n=1.078×10-3rad/s，慣性張量J=J0+ΔJ，Jii表示 J的第 i個對角元素［1］．

Td為航天器本體軸上的外干擾力矩［1］，且

航天器參考姿態(tài)分為重定向和掃描機動兩部分.初始姿態(tài)σ0=［000］T，目標姿態(tài)為

為說明飽和約束的影響，首先，航天器從初始姿態(tài)σ0重定向到目標姿態(tài)σ1，過渡過程采用角速率1.5(°)/s并經(jīng)一階低通濾波的斜坡參考信號，其次，在目標姿態(tài)σ1與σ2之間進行周期T=110 s，峰峰振幅40°的正弦掃描機動.仿真步長0.01 s.為平等比較，CFBS，IIACB內(nèi)環(huán)控制律同樣加入非線性阻尼，并選擇三種控制器具有相同的控制增益，

由于I＆I估計器是根據(jù)閉環(huán)動態(tài)設計，并使得閉環(huán)系統(tǒng)為兩穩(wěn)定系統(tǒng)的級聯(lián)分塊結(jié)構(gòu)，所以相比于CABS，I＆I自適應設計參數(shù)調(diào)節(jié)更容易，增大觀測器增益γ不僅使估計更快，而且能改善閉環(huán)動態(tài)性能(實際仿真誤差還受限于由數(shù)值穩(wěn)定性決定的時間步長).由估計誤差上界式(26)和參數(shù)條件式(34)可知，γ的選擇與名義航天器模型慣性矩陣J0及控制增益k2的大小有關，所以選擇I＆I估計器參數(shù)為γ=50．

對于調(diào)節(jié)函數(shù)估計律式(35)，雖然僅要求增益Γ為正，但如引言對TFAB的論述，閉環(huán)瞬態(tài)性能受估計誤差影響，所以Γ選擇過小則系統(tǒng)性能降低，選擇過大則系統(tǒng)出現(xiàn)震蕩，經(jīng)反復調(diào)整，調(diào)節(jié)函數(shù)估計增益為Γ=diag{6，6，6}·J0．

根據(jù)執(zhí)行器物理約束及航天器所載儀器對其狀態(tài)的限制［27］，指令濾波器參數(shù)為:內(nèi)環(huán)x2，c限幅1(°)/s，速率限制0.2(°)/s2，控制力矩Tc限幅0.05 N·m，速率限制5(N·m)/s.由于約束自適應反步法(CABS)使用指令濾波器施加了控制力矩的約束限制，避免了閉環(huán)系統(tǒng)在約束條件下不穩(wěn)定，所以可以適當放寬選擇投影算子的參數(shù)M=0.1 N·m和δ=0.001 N·m，使得估計律能夠更準確的估計干擾力矩的大小，以提高閉環(huán)的干擾抑制性能.

仿真結(jié)果如圖2～6所示，其中，IIACB姿態(tài)跟蹤如圖2(a)和圖3(a)所示，圖2(b)和圖3(b)給出了CFBS，CABS和IIACB的跟蹤誤差比較，θe=4arctan(‖σe‖)為式(37)所示特征軸轉(zhuǎn)角θ的跟蹤誤差，‖ωe‖為角速率跟蹤誤差的2范數(shù)．

圖2 MRP姿態(tài)角跟蹤

圖3 姿態(tài)角速度跟蹤

圖4 IIACB 控制力矩變化

圖5 Ⅰ＆Ⅰ估計器干擾力矩估計

可以看出在給定輸入狀態(tài)約束下，盡管航天器跟蹤設計的參考姿態(tài)出現(xiàn)了角速率和控制力矩飽和，由于引入了指令濾波和修正跟蹤誤差，3種控制器均能實現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤，但非自適應的CFBS對慣性參數(shù)攝動和周期性干擾的抑制能力較弱，并且受外加常值干擾的影響，θe和‖ωe‖均產(chǎn)生了穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差，自適應控制器 IIACB和CABS跟蹤效果更好，但相比之下CABS內(nèi)外環(huán)跟蹤誤差較大，而IIACB的跟蹤更精確，性能主要受飽和約束影響.

上述定性分析的結(jié)論，可以使用均方根RMS(root mean square)進一步定量比較三種控制器的姿態(tài)跟蹤誤差和干擾估計誤差，如表1所示.

表1 控制器性能比較

從圖4控制力矩變化可知，IIACB控制律對干擾的抑制并不以較大的控制量為代價，定義航天器能量消耗的量度如下［18］(單位J):

其中ωi和Tci分別表示角速率ω和控制力矩Tc的第 i個分量，則 PCFBS=0.280 3，PCABS=0.277 6，PIIACB=0.276 1，IIACB能量消耗更小.

從圖5I＆I觀測器對干擾力矩的估計可以看出(圖5(a)中Tdi表示干擾力矩Td的第i個分量)，其能迅速準確地跟蹤“總干擾”的變化，所以干擾補償更有效，而CABS的調(diào)節(jié)函數(shù)估計律由Lyapunov函數(shù)得出，以保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定為前提，估計性能不可預知，其干擾力矩估計d如圖6所示，可以看出的分量和耦合，整體估計效果較差，兩者估計誤差d2范數(shù)的均方根比較見表1．

5 結(jié)論

1)本文針對小型剛體航天器在模型不確定性、外部擾動和飽和約束情況下的姿態(tài)跟蹤問題，利用反步法和I＆I理論，在MRP描述的數(shù)學模型基礎上，設計了分塊自適應約束反步姿態(tài)跟蹤控制器;利用Lyapunov理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)輸入狀態(tài)穩(wěn)定和估計誤差的收斂性.

2)由于I＆I估計器具有獨立于控制律設計的穩(wěn)定性，使得反步控制器和I＆I觀測器組成分塊自適應控制結(jié)構(gòu)，相比傳統(tǒng)自適應反步法，其調(diào)節(jié)更容易且閉環(huán)瞬態(tài)性能不受估計律動態(tài)的影響.

3)在反步控制中引入了指令濾波器，很好地解決了狀態(tài)執(zhí)行機構(gòu)飽和約束條件下的姿態(tài)機動問題和傳統(tǒng)反步法虛擬控制導數(shù)的計算膨脹問題.

4)比較仿真表明，由于I＆I估計器的穩(wěn)定性質(zhì)和對干擾的準確在線估計補償作用，姿態(tài)控制的魯棒性和精度顯著提高.

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