丁 輝，王咪咪

(滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 滁州 239000)

0 引言

誤差修正模型(ECM)既能描述不同時(shí)間序列變量之間的長(zhǎng)期均衡關(guān)系，又能反映出時(shí)間序列變量間的短期非均衡關(guān)系向長(zhǎng)期均衡關(guān)系修正的機(jī)制，是分析時(shí)間序列變量之間長(zhǎng)期和短期綜合影響的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。然而在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)實(shí)體中，由于市場(chǎng)上存在著交易費(fèi)用與經(jīng)濟(jì)政策的突變，導(dǎo)致時(shí)間序列變量之間的長(zhǎng)期均衡關(guān)系并不是一直都存在，發(fā)生了結(jié)構(gòu)機(jī)制上的突變。而針對(duì)結(jié)構(gòu)機(jī)制上的突變這種現(xiàn)象，Hamilton［1］提出了馬爾科夫機(jī)制轉(zhuǎn)換模型(MS模型)。該模型可以有效地描述經(jīng)濟(jì)變量在不同機(jī)制下的行為特征。因此將馬爾科夫轉(zhuǎn)換機(jī)制引入到誤差修正模型中，便形成了誤差修正機(jī)制轉(zhuǎn)換模型(簡(jiǎn)稱MSECM)。該模型既有效地描述了變量之間的長(zhǎng)期和短期綜合關(guān)系，又解決了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)實(shí)體中協(xié)整關(guān)系的機(jī)制改變難題，因此在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。

到目前為止，關(guān)于誤差修正機(jī)制轉(zhuǎn)換模型甚至馬爾科夫機(jī)制轉(zhuǎn)換模型的參數(shù)估計(jì)方法主要是極大似然估計(jì)法或者近似極大似然估計(jì)法［2］。極大似然估計(jì)方法屬于經(jīng)典估計(jì)方法，并沒有結(jié)合樣本數(shù)據(jù)的先驗(yàn)信息。而貝葉斯估計(jì)法相對(duì)于經(jīng)典估計(jì)，結(jié)合了數(shù)據(jù)的信息與參數(shù)的先驗(yàn)信息，而且還能對(duì)缺失數(shù)據(jù)、截尾數(shù)據(jù)等進(jìn)行簡(jiǎn)明化處理，因此相對(duì)與其他經(jīng)典估計(jì)具有無(wú)與倫比的優(yōu)勢(shì)。下面將使用貝葉斯估計(jì)法來(lái)估計(jì)誤差修正機(jī)制轉(zhuǎn)換模型中的未知參數(shù)。

1 誤差修正機(jī)制轉(zhuǎn)換模型及其相關(guān)概念

假設(shè){xt}、{yt} 是兩個(gè)一階單整時(shí)間序列，即xt～I(xiàn)(1)，yt～I(xiàn)(1)。并設(shè)x1，x2，…，xn;y1，y2，…，yn分別為這兩個(gè)序列的觀測(cè)值。誤差修正機(jī)制轉(zhuǎn)換模型的形式如下:

當(dāng)xt、yt之間存在協(xié)整關(guān)系時(shí)，則xt、yt滿足誤差修正模型，即:

其中ecm=yt-1-β2xt-1為誤差修正項(xiàng)，Δyt=yt-yt-1，Δxt=xt-xt-1，隨機(jī)誤差項(xiàng)εt是一個(gè)白噪聲過(guò)程，它們相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N(0，σ2)。

當(dāng)xt、yt之間不存在協(xié)整關(guān)系時(shí)，則xt、yt不存在長(zhǎng)期均衡關(guān)系，即β1=0，模型變?yōu)?/p>

為了簡(jiǎn)化誤差修正機(jī)制轉(zhuǎn)換模型的形式，引入機(jī)制變量st，當(dāng)st=1時(shí)表示xt、yt存在協(xié)整關(guān)系，當(dāng)st=0時(shí)表示xt、yt不存在協(xié)整關(guān)系，且機(jī)制變量st滿足:

于是誤差修正機(jī)制轉(zhuǎn)換模型的一般形式表達(dá)如下:

其中 εt～ N(0，σ2)。

2 誤差修正機(jī)制轉(zhuǎn)換模型的貝葉斯估計(jì)

2.1 模型簡(jiǎn)化

為了對(duì)該模型應(yīng)用貝葉斯估計(jì)，對(duì)該模型進(jìn)行進(jìn)一步的簡(jiǎn)化。令

則模型簡(jiǎn)化為:

2.2 參數(shù)的先驗(yàn)分布

為了消除信息不準(zhǔn)確時(shí)先驗(yàn)分布對(duì)貝葉斯估計(jì)帶來(lái)的估計(jì)影響，采取無(wú)信息先驗(yàn)分布［3］。

假設(shè)參數(shù)β服從均勻分布，即f(β)∝1;

參數(shù)σ2服從均勻分布，即f(σ2)∝1;

參數(shù)p11服從均勻分布U(0，1)，即f(p11)∝1;

參數(shù)p00服從均勻分布U(0，1)，即f(p00)∝1。

2.3 模型的似然函數(shù)

模型(4)的似然函數(shù)為

2.4 參數(shù)的后驗(yàn)分布

機(jī)制變量S的分量之間高度相關(guān)，因此若使用滿條件后驗(yàn)分布去實(shí)現(xiàn)機(jī)制變量S的估計(jì)是無(wú)效的［4］。為此，采用 Frühwirth-Schnatter［5］和 Carter、Kohn［6］提出的 FFBS 算法來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)制變量 S 的估計(jì)。

令 Xt=(x1，x2，…，xt)'，Yt=(y1，y2，…，yt)'，則由貝葉斯定理可知

FFBS具體算法:首先計(jì)算pn(0)，并從均勻分布U(0，1)中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，若該隨機(jī)數(shù)小于pn(0)，則sn=0，否則sn=1;然后根據(jù)(7)式得到的概率，按照完全相同的方法從后往前依次抽取sn-1，sn-2，…，s1，即得到機(jī)制變量S的抽樣。

機(jī)制變量S求出后，則有β，σ2的聯(lián)合后驗(yàn)分布為

對(duì)(8)式關(guān)于β積分，得σ2的后驗(yàn)分布為

對(duì)(8)式關(guān)于σ2積分，得β的后驗(yàn)分布

其中mij(i=0，1;j=0，1)表示機(jī)制變量st從機(jī)制i變化到機(jī)制j的次數(shù)。

對(duì)(9)式關(guān)于p00積分，得p11的后驗(yàn)分布

即參數(shù)p11服從Beta分布，p11～beta(m11+1，m10+1)。

對(duì)(9)式關(guān)于p11積分，得p00的后驗(yàn)分布

即參數(shù)p00服從Beta分布，p00～beta(m00+1，m01+1)。

至此，模型中各個(gè)參數(shù)的后驗(yàn)分布均已求出，因此可以使用基于Gibbs抽樣的貝葉斯估計(jì)技術(shù)［7］對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)?，F(xiàn)將該模型貝葉斯估計(jì)的算法說(shuō)明如下:

Step1:給定 β，σ2的初值 β(0)，σ2(0)，令i=1。

Step 2:使用FFBS抽樣算法抽取狀態(tài)變量S(i)。

Step 5:從beta(m11+1，m10+1)抽取參數(shù)

Step 6:從beta(m00+1，m01+1)抽取參數(shù)

Step 7:令i=i+1，回到步驟3。

將Step 2至Step 7運(yùn)行T次，直至參數(shù)估計(jì)的馬氏鏈?zhǔn)諗繛橹梗⑶覍?shù)估計(jì)的前M次取值舍去，用以消除參數(shù)初值對(duì)估計(jì)造成的影響。

3 統(tǒng)計(jì)模擬

為了測(cè)試誤差修正機(jī)制轉(zhuǎn)換模型的貝葉斯估計(jì)方法的性能，設(shè)定模型如下:

其中 εt～N(0，0.01)，p00=0.93，p11=0.96。

使用統(tǒng)計(jì)軟件隨機(jī)生成了500組上述模型的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，接著對(duì)該時(shí)間序列數(shù)據(jù)應(yīng)用上述貝葉斯估計(jì)方法進(jìn)行估計(jì)，一共迭代10000次，接著刪除前面的2000次數(shù)值，用以消除初值對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響，得到各個(gè)參數(shù)估計(jì)的圖(由于篇幅限制，這里僅給出S、α0、β0的參數(shù)估計(jì)圖)。

由圖1、圖2可以看出機(jī)制變量S的真實(shí)值與S的估計(jì)值除去幾個(gè)個(gè)別值之外估計(jì)非常準(zhǔn)確，估計(jì)效果較好。

由圖3、圖4可以看出可以α0、β0及其他參數(shù)的參數(shù)估計(jì)值均已收斂，接著進(jìn)一步求出各個(gè)參數(shù)估計(jì)結(jié)果，如表1所示:

圖1 機(jī)制變量S的真實(shí)值

圖2 機(jī)制變量S的估計(jì)值

圖3 變量α0的估計(jì)值

圖4 變量β0的估計(jì)值

表1 誤差修正機(jī)制轉(zhuǎn)換模型的參數(shù)估計(jì)

由表1可以看出，使用的貝葉斯估計(jì)法可以穩(wěn)健的估計(jì)出誤差修正機(jī)制轉(zhuǎn)換模型的參數(shù)，該貝葉斯估計(jì)方法是可靠的。

4 結(jié)論

誤差修正機(jī)制轉(zhuǎn)換模型是金融時(shí)間序列模型中應(yīng)用較為廣泛的一類。不同于經(jīng)典的極大似然估計(jì)方法，通過(guò)無(wú)信息先驗(yàn)分布的設(shè)定，借助于FFBS算法和貝葉斯定理求出各個(gè)未知參數(shù)的后驗(yàn)分布，并且使用基于Gibbs抽樣的貝葉斯估計(jì)技術(shù)實(shí)現(xiàn)了參數(shù)估計(jì)，由統(tǒng)計(jì)模擬的效果來(lái)看，該方法估計(jì)效果較好，對(duì)于今后機(jī)制轉(zhuǎn)換模型的深入討論提供了重要的參考工具。

［1］Hamilton.A New Approach to the Economic Analysis of Nonstationary Time Series and the Business Cycle［J］.Econometrica，1989，57(2):357-384.

［2］原子霞，楊政.馬爾科夫協(xié)整回歸模型的動(dòng)態(tài)濾波估計(jì)［J］.控制理論與應(yīng)用，2013，30(3):360-364.

［3］鄒鯤，廖桂生，李軍.等.基于Bayes框架的復(fù)合高斯雜波下穩(wěn)健檢測(cè)［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2013(7):1555-1561.

［4］G.E.B.Archer and D.M.Titterington.Parameter Estimation for Hidden Markov Chains［J］.Journal of Statistical Planning and inference，2002，108(1):365-390.

［5］Frühwirth-Schnatter.Data augmentation and dynamic linear models［J］.Journal of Time Series Analysis，1994，15(2):183-202.

［6］Carter，Chris，Robert Kohn.On Gibbs sampling for state space models［J］.Biometrika，1994，81(3):541-553.

［7］茆詩(shī)松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.2版.北京:高等教育出版社，2006.