楊立芬

【摘 要】APOS案例教學(xué)法指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下經(jīng)過(guò)Action（操作或活動(dòng)階段）、Process（過(guò)程階段）、Object （對(duì)象階段）、Scheme（模型階段）四個(gè)階段對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探討的教學(xué)方法。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中使用APOS案例教學(xué)法，不僅分析了高等數(shù)學(xué)概念的邏輯結(jié)構(gòu)，又分析了學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的思維過(guò)程。這種方法有利于促使學(xué)生形成相對(duì)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)概念心理圖式，為學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】APOS理論；高等數(shù)學(xué)教學(xué)

目前，多數(shù)高職院校“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為目的”的原則，采取壓縮公共基礎(chǔ)課課時(shí)、增大專業(yè)課實(shí)習(xí)實(shí)訓(xùn)的措施。在這種情況下，多數(shù)高職教師在高數(shù)課堂上弱化基本概念的教學(xué)、偏面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，把高等數(shù)學(xué)的教學(xué)變成了講例題、做練習(xí)題、答考題的應(yīng)試教學(xué)模式?；靖拍畹慕虒W(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的根本，是提煉數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神的平臺(tái)。筆者認(rèn)為教師采用APOS案例教學(xué)法講授數(shù)學(xué)概念，能夠很好地解決了高職數(shù)學(xué)教師所面臨的問(wèn)題，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。

一、APOS理論概述

APOS理論是個(gè)體學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)理論，該理論闡述了：個(gè)體認(rèn)知數(shù)學(xué)概念的過(guò)程對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有指導(dǎo)性的作用?；顒?dòng)、過(guò)程、對(duì)象和圖式是個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知的四個(gè)階段，具體涵義如下：

“活動(dòng)”（action）是個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)“對(duì)象”進(jìn)行變形，這種變形在外部刺激的條件下，通過(guò)學(xué)習(xí)動(dòng)作指示來(lái)獲得，這種獲得有時(shí)顯而易見(jiàn)，有時(shí)來(lái)自記憶。當(dāng)重復(fù)并反省“活動(dòng)”時(shí)，個(gè)體能夠形成內(nèi)部構(gòu)造，此時(shí)“活動(dòng)”就內(nèi)化為“過(guò)程”（process），具體表現(xiàn)為個(gè)體能夠從逆向推到數(shù)學(xué)概念，同時(shí)構(gòu)造更復(fù)雜的“活動(dòng)”。個(gè)體將“過(guò)程”（process）看作整體，同時(shí)可以對(duì)概念進(jìn)行變形，這時(shí)“過(guò)程”就凝聚成“對(duì)象”（object），進(jìn)而個(gè)體頭腦中形成一個(gè)協(xié)調(diào)的網(wǎng)絡(luò)，即數(shù)學(xué)概念的“圖式”（skema）。這個(gè)協(xié)調(diào)的網(wǎng)絡(luò)在某種意義上能明確地或隱含地決定哪些現(xiàn)象是“圖式”的范圍。

二、APOS案例教學(xué)法

APOS理論對(duì)學(xué)生的概念理解作出了分層分析的基礎(chǔ)上，可以預(yù)測(cè)學(xué)生對(duì)概念作出的心理建構(gòu)。筆者在APOS理論的指導(dǎo)下，對(duì)案例教學(xué)法進(jìn)行了完善。

1.概念引入

在教學(xué)中，針對(duì)不同的數(shù)學(xué)概念以實(shí)際生活或?qū)I(yè)應(yīng)用為背景引入概念，讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感受概念的直觀背景，并通過(guò)組織整理、分析歸納接觸到的實(shí)例來(lái)直觀地幫助學(xué)生形成定義，在引入概念時(shí)要充分考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引例要遵循直觀性、可接受性原則。因此，引例的選取非常重要。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中要有些經(jīng)典引例，例如“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”、劉徽的“割圓術(shù)”、變速指點(diǎn)的瞬時(shí)速度、曲線的切線斜率、曲邊梯形的面積、變速質(zhì)點(diǎn)的位移。引例分析能使學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的背景，引導(dǎo)其對(duì)背景分析歸納，抽象共性，直觀地幫助學(xué)生形成定義，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象，為概念表述做準(zhǔn)備?？傊?，“活動(dòng)”階段，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和強(qiáng)烈的求知欲及創(chuàng)造力，還有利于激發(fā)學(xué)生去構(gòu)建新理論的信心和內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力。

2.概括表述

概念、方法的概括，是一種邏輯方法，即用已知數(shù)學(xué)知識(shí)、方法明確另一個(gè)概念、方法內(nèi)涵。在教學(xué)中要貫徹發(fā)現(xiàn)法的教學(xué)原則，充分發(fā)揮學(xué)生的主題能動(dòng)性，為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)再造心智活動(dòng)過(guò)程。美國(guó)微積分教學(xué)的“四原則”為概念、方法的表述提供了借鑒，即在數(shù)學(xué)對(duì)象闡明過(guò)程中要盡量使用圖像、數(shù)值、符號(hào)和語(yǔ)言。用多元表征方式展現(xiàn)概念、方法，不僅符合學(xué)生個(gè)體認(rèn)知規(guī)律，又有利于其理解。比如在對(duì)極限概念的表述過(guò)程中不僅要用自然的定性描述語(yǔ)言，也要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，同時(shí)還要用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行描述，最好再用數(shù)值化列表作圖逼近的方法，具體形象地體現(xiàn)自變量趨于一個(gè)值時(shí)，函數(shù)值逼近某一具體值得趨近過(guò)程。培養(yǎng)學(xué)生用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述概念，對(duì)概念表述時(shí)特別注重精確性。

3.分析解剖

當(dāng)概念進(jìn)入對(duì)象狀態(tài)時(shí)，便呈現(xiàn)出一種靜態(tài)結(jié)構(gòu)關(guān)系，有利于從整體把握其性質(zhì)?！皩?duì)象”狀態(tài)是通過(guò)前面的活動(dòng)和抽象，個(gè)體認(rèn)識(shí)了概念的本質(zhì)，并賦予概念定義和符號(hào)，令其達(dá)到精致，從而成為一個(gè)具體的對(duì)象，在以后的學(xué)習(xí)中用此具體對(duì)象開展新的活動(dòng)。在此過(guò)程中，對(duì)象轉(zhuǎn)變?yōu)榧磳⒈徊僮鞯摹皩?shí)體”。所以，在教學(xué)實(shí)踐中要特別注重對(duì)數(shù)學(xué)概念表達(dá)形式中的精煉語(yǔ)言和所使用的符號(hào)的涵義分析解剖。分析概念所適用的條件和范圍時(shí)，要從多角度和多方位來(lái)考慮。在教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)概念的含義作更深入的分析解剖，具體表現(xiàn)在對(duì)其內(nèi)涵、外延的進(jìn)一步說(shuō)明，比如與其他概念的聯(lián)系與比較等，努力揭示抽象概念的“本原”意義，闡明隱藏在形式符號(hào)后的數(shù)學(xué)思想方法。一個(gè)完整的數(shù)學(xué)概念真正成型，必須要正確把握概念的內(nèi)涵和外延。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維過(guò)程中概念的矛盾運(yùn)動(dòng)和發(fā)展變化，揭示出數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)教師就是幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱藏在“冰冷的形式”背后的“火熱的思考”。例如講解多元函數(shù)微積分時(shí)要把該知識(shí)與一元函數(shù)微積分相應(yīng)的概念進(jìn)行歸納比較，突顯出其內(nèi)在關(guān)聯(lián)與區(qū)別。事實(shí)上，在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中貫穿對(duì)數(shù)學(xué)概念的分析解剖，能夠促使個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念的強(qiáng)化補(bǔ)充，建立內(nèi)在統(tǒng)一的概念網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)有利于學(xué)生形成并發(fā)展主題的數(shù)學(xué)思維能力。

4.形成穩(wěn)定的心理圖式

此時(shí)的數(shù)學(xué)概念已經(jīng)在頭腦中形成總和心理圖式，該圖式含有具體實(shí)例、抽象過(guò)程、完整定義乃至和其他概念的區(qū)別與聯(lián)系。教學(xué)中要在概念的應(yīng)用中加深對(duì)所學(xué)概念的理解和把握，從而形成數(shù)學(xué)意識(shí)以及分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力。要努力揭示概念的客觀背景和在解決實(shí)際問(wèn)題中的意義，盡可能給出幾何解釋、物理解釋和其他聯(lián)系實(shí)際意義的解釋。既要闡釋概念的實(shí)際應(yīng)用又要闡釋數(shù)學(xué)應(yīng)用，舉一些和實(shí)際生活相關(guān)的例子，也要把所講概念運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)活動(dòng)，“模型”階段才能不斷完善。在學(xué)習(xí)過(guò)程中教師應(yīng)該深刻地揭示數(shù)學(xué)概念的矛盾運(yùn)動(dòng)和辯證發(fā)展，長(zhǎng)期反復(fù)，循序漸進(jìn)，螺旋上升直至建立和形成較穩(wěn)定的數(shù)學(xué)概念心理圖式，個(gè)體在心理圖式形成的過(guò)程中逐漸具備運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用APOS案例教學(xué)，不僅有利于教師有效組織課堂教學(xué)，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（作者單位：石家莊財(cái)經(jīng)職業(yè)學(xué)院）