任龍飛，郝治國，張保會，王小立

（1.西安交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，陜西 西安 710049；2.寧夏電力公司調(diào)度中心，寧夏 銀川 750001）

0 引言

電流互感器（TA）是繼電保護(hù)系統(tǒng)的重要組件，其準(zhǔn)確傳變一次電流是繼電保護(hù)能正確動作的首要前提。P級TA已應(yīng)用于電力系統(tǒng)近100年，其配置時僅按通過最大穩(wěn)態(tài)短路電流選擇，不考慮暫態(tài)飽和問題。過去電網(wǎng)結(jié)構(gòu)簡單，短路電流小，TA暫態(tài)飽和問題并不突出。隨著國民經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展，電網(wǎng)規(guī)?？焖僭鲩L，短路電流急劇增加，同時衰減時間常數(shù)變大，特別是微機(jī)保護(hù)的廣泛應(yīng)用，使TA二次側(cè)負(fù)載由阻抗型變?yōu)殡娮栊?，使得P級TA剩磁大幅增加，導(dǎo)致P級TA暫態(tài)飽和問題日益嚴(yán)重，由此引起的繼電保護(hù)不正確動作問題日益突出。

對于TA暫態(tài)飽和，差動保護(hù)中多使用比率制動減小其對保護(hù)的影響，但其靈敏度和抗TA飽和性能間存在矛盾。目前，TA飽和檢測技術(shù)比較成熟，常用方法包括二次諧波檢測[1]、時差法[2]、小波分析法[3]以及差分法[4]等，它們能在TA發(fā)生暫態(tài)飽和時，分辨出飽和段和非飽和段數(shù)據(jù)。差動保護(hù)為防止區(qū)外故障時由TA暫態(tài)飽和引起保護(hù)誤動作，也常采用在檢測到TA飽和后直接閉鎖保護(hù)的措施。但閉鎖保護(hù)是一種消極的抗飽和措施，并不能得到故障電流信息，并且對于區(qū)外區(qū)內(nèi)轉(zhuǎn)換型故障，可能會造成保護(hù)拒動。

目前，抗TA暫態(tài)飽和算法主要包括補(bǔ)償法[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[6]、最小二乘法[7]以及小矢量算法[8]等 。補(bǔ)償法利用勵磁電流補(bǔ)償畸變的二次電流獲得一次電流，其初始磁通及飽和磁通難以準(zhǔn)確測定，會影響其計(jì)算結(jié)果。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較好的非線性擬和能力，可用于還原一次電流，其所用樣本較多，穩(wěn)定性較差。最小二乘法使用二次電流非飽和段數(shù)據(jù)，以一階泰勒級數(shù)形式逼近故障電流，所用時間窗較長，在嚴(yán)重飽和情況下，非飽和段數(shù)據(jù)較短，計(jì)算結(jié)果偏差嚴(yán)重，并且其計(jì)算量較大。小矢量算法利用小矢量與全周傅里葉算法之間的關(guān)系計(jì)算故障電流幅值，計(jì)算結(jié)果受衰減直流分量及諧波干擾影響較大。

Prony算法是采用指數(shù)衰減型正弦量的線性組合來擬合等間隔采樣數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型。本文基于Prony算法原理，針對TA暫態(tài)飽和情況下面臨的短數(shù)據(jù)窗及保護(hù)快速性要求，對Prony算法進(jìn)行了相應(yīng)的改進(jìn)，改進(jìn)算法能在短時間窗內(nèi)，僅利用非飽和段數(shù)據(jù)，以較小計(jì)算量迅速提取故障電流有效信息。

1 Prony算法原理

傳統(tǒng)的傅里葉分析認(rèn)為信號由不衰減的正弦量線性組合而成，而Prony算法在模型假設(shè)中加入了衰減因子，即：

設(shè)其中有u個正弦量，v個直流分量，對正弦量應(yīng)用歐拉公式，每個正弦量對應(yīng)一對共軛的復(fù)衰減因子。離散化后將其寫成統(tǒng)一的指數(shù)函數(shù)形式：

式（2）是某一常系數(shù)線性差分方程式（3）的解。定義實(shí)際測量值和估測值之間的誤差為e（n），可認(rèn)為是白噪聲，代入式（3）中，則有：

由式（4）可見，估測值轉(zhuǎn)換為一個p階自回歸滑動平均（ARMA）模型。x（n）可看作是噪聲激勵某AR模型的輸出，該模型參數(shù)為待求量，求解該模型參數(shù)的原則是保證最優(yōu)逼近，即使得目標(biāo)函數(shù)

取值最小（其中，N為采樣點(diǎn)數(shù)），此時的約束條件為目標(biāo)函數(shù)對AR模型各系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為0，即有：

其中，“*”表示取共軛。

定義：

則式（7）可寫為：

方程系數(shù)矩陣式（7）稱為樣本矩陣，求解此方程即可得到AR模型系數(shù)以及最小誤差能量估計(jì)值ε（p）。 從而有特征方程：

解此方程得到特征根 zi（i=1，2，…，p），將式（2）寫成矩陣形式有：

求出方程式（11）的最小二乘解可得各個分量的振幅 Ai、相位 θi、衰減因子 αi、頻率 fi為：

2 改進(jìn)Prony算法

TA發(fā)生暫態(tài)飽和時，二次電流波形中飽和數(shù)據(jù)段和非飽和數(shù)據(jù)段交替出現(xiàn)。非飽和段數(shù)據(jù)長度由鐵芯飽和程度決定，一般情況下，輕度飽和時非飽和數(shù)據(jù)段長度為10 ms左右，中度飽和時約5 ms，重度飽和時僅2.5 ms左右?；綪rony算法需要的計(jì)算時間窗較長且計(jì)算量較大，故不能直接用于TA暫態(tài)飽和情況下故障電流信息的提取。結(jié)合TA暫態(tài)飽和情況下非飽和數(shù)據(jù)段特征及工頻量動作特性要求，對Prony算法進(jìn)行相應(yīng)改進(jìn)。

2.1 給定工頻特征根

電力系統(tǒng)故障電流主要由衰減直流分量、工頻分量以及諧波分量組成。工頻量保護(hù)利用故障電流的工頻信息構(gòu)成保護(hù)判據(jù)，因此可給定50 Hz頻率對應(yīng)的 2 個特征根 z1=ej2π·50ΔT、z2=e-j2π·50ΔT，使得計(jì)算結(jié)果中必定含有工頻分量，提高算法在短時間窗下工頻量計(jì)算的準(zhǔn)確性。

由于 z1、z2為特征方程式（10）的 2 個根，則必有約束條件：

要使目標(biāo)函數(shù)式（6）最小，可設(shè)拉格朗日函數(shù)為：

拉格朗日函數(shù)對所有變量求偏導(dǎo)為0，即：

求解式（17），得到 AR 模型參數(shù)，再根據(jù)式（12），即可得到各分量參數(shù)值。

2.2 奇異值分解降階

Prony算法模型階數(shù)的確定對計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確度和計(jì)算量都有較大的影響。辨識未知信號階數(shù)主要與選取時間窗包含的采樣點(diǎn)數(shù)N有關(guān)，根據(jù)時間序列分析中的經(jīng)驗(yàn)公式估計(jì)階數(shù)上限值Lmax有[9]：

實(shí)際計(jì)算表明，要獲得比較精確的結(jié)果，計(jì)算階數(shù)通常接近Lmax，其值較大。實(shí)際上，故障電流能量主要集中于工頻分量、衰減直流分量及低次諧波中，其他分量幅值都極小。因此，可對樣本矩陣進(jìn)行奇異值分解（SVD），根據(jù)奇異值的分布估計(jì)信號中主要影響因素的階數(shù)。

SVD 定理：令矩陣 A?Cm×n，則存在酉矩陣 U?Cm×n、V?Cn×n使得式（19）成立。

其中，∑為n×n維對角陣，其主對角元素非負(fù)，且按從大到小順序排列。

對于Prony算法，可先根據(jù)階數(shù)上限經(jīng)驗(yàn)公式確定Lmax，并構(gòu)造樣本矩陣：

對樣本矩陣式（20）進(jìn)行SVD，奇異值數(shù)量級存在較大差異，可取對數(shù)進(jìn)行比較。有效階數(shù)對應(yīng)的奇異值對數(shù)值較大且連續(xù)變化；0附近會有1個或2個點(diǎn)數(shù)值發(fā)生突變，認(rèn)為是有效階數(shù)和噪聲的臨界分界點(diǎn)；而后奇異值對數(shù)值變化趨勢極平緩，且數(shù)值均很小，對應(yīng)信號中噪聲干擾等非主要成分。計(jì)算中，一般將臨界分界點(diǎn)化歸在有效階數(shù)中。

構(gòu)造一信號包含衰減直流分量、工頻分量以及2次、3次、5次諧波，其理論階數(shù)為9，采樣率為500點(diǎn)/周期，選擇5 ms數(shù)據(jù)窗。按照經(jīng)驗(yàn)公式選擇階數(shù)上限為45，計(jì)算樣本矩陣并進(jìn)行SVD，計(jì)算結(jié)果如圖1所示。

圖1 奇異值分布圖Fig.1 Distribution of singular value

2.3 合理選擇計(jì)算采樣率

式（9）中，方程條件數(shù)和采樣率間存在U型曲線的關(guān)系[10]，即存在一個理論上的最優(yōu)采樣頻率，使得參數(shù)辨識精度最高，故計(jì)算用采樣頻率逼近最優(yōu)采樣頻率時可提高計(jì)算精度。定義表達(dá)式：

其中，fi（i=1，2，…，n）為信號中的各分量頻率；n 為待分析信號中頻率分量的個數(shù)；fs為采樣頻率。當(dāng)式（21）的二范數(shù)‖F(xiàn)/fs-B‖取最小時，對應(yīng)最優(yōu)采樣頻率fopt。表1給出了不同故障電流模型情況下計(jì)算得到的最優(yōu)采樣頻率，在不考慮時間窗長度限制時最優(yōu)采樣頻率都比較低。

表1 最優(yōu)采樣頻率Tab.1 Optimal sampling frequency

應(yīng)用于抗TA暫態(tài)飽和中時，所選時間窗長度為周期的1/4左右，并且考慮到Prony算法要求計(jì)算的采樣點(diǎn)數(shù)不能少于2倍階數(shù)值，故必須在兼顧時間窗長度和階數(shù)的情況下確定計(jì)算用采樣頻率，使其盡量接近最優(yōu)采樣頻率。計(jì)算時可將所選時間窗對應(yīng)采樣點(diǎn)數(shù)除以2倍的由SVD確定的階數(shù)值，將結(jié)果取整即為估計(jì)的分頻值。適當(dāng)降低采樣頻率后，可減少計(jì)算量并提高計(jì)算精確度，同時，噪聲干擾的影響也會減弱。

2.4 算法流程及應(yīng)用

利用TA暫態(tài)飽和時非飽和段數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)故障電流有效信息提取，改進(jìn)算法計(jì)算流程如下：

a.根據(jù)飽和檢測結(jié)果，選擇非飽和數(shù)據(jù)段；

b.確定階數(shù)上限，以上限階數(shù)計(jì)算樣本矩陣；

c.對樣本矩陣進(jìn)行SVD，估計(jì)有效階數(shù)值；

d.根據(jù)有效階數(shù)估計(jì)值，合理選擇計(jì)算采樣率，保證所選時間窗包含采樣點(diǎn)數(shù)大于2倍階數(shù)值；

e.計(jì)算各頻率分量參數(shù)。

傳統(tǒng)算法在TA發(fā)生暫態(tài)飽和后可能引起保護(hù)不正確動作，其本質(zhì)原因在于二次電流發(fā)生部分畸變。如對于差動保護(hù)，若兩側(cè)TA由于暫態(tài)飽和程度不同，或在最嚴(yán)重情況下僅一側(cè)TA發(fā)生飽和，在區(qū)外故障時亦會出現(xiàn)較大的差電流，引起保護(hù)誤動作；對于距離保護(hù)，不能準(zhǔn)確獲取工頻電流，則阻抗與故障距離的計(jì)算會出現(xiàn)較大偏差，可能會引起保護(hù)的不正確動作。改進(jìn)Prony算法僅利用故障發(fā)生后3～5 ms內(nèi)的非飽和段數(shù)據(jù)，獲取一次電流信息，故可以保證保護(hù)不受TA暫態(tài)飽和影響，提高保護(hù)動作性能的準(zhǔn)確性；其所用時間窗較短，但與半周傅里葉等傳統(tǒng)算法相比，計(jì)算量較大，過程所需時間較長。故障后TA未發(fā)生暫態(tài)飽和情況下，從故障啟動元件動作到保護(hù)做出判斷所需的時間較傳統(tǒng)算法長，故可將改進(jìn)Prony算法與傳統(tǒng)算法配合使用，基于改進(jìn)Prony算法的繼電保護(hù)抗TA暫態(tài)飽和方案如圖2所示。

3 算例分析

3.1 TA暫態(tài)飽和試驗(yàn)

為研究TA暫態(tài)飽和傳變特性，進(jìn)行了暫態(tài)飽和試驗(yàn)。試驗(yàn)對象選取P級TA，變比為 1 000∶1。試驗(yàn)中，一次電流穿芯而過，試驗(yàn)TA的二次側(cè)接入錄波儀，以便監(jiān)測其二次電流波形。錄波儀采樣率為25 kHz（500點(diǎn)/周期），一次系統(tǒng)設(shè)置連續(xù)故障。

連續(xù)2次故障的二次側(cè)波形見圖3、4。P級TA在故障期間發(fā)生了比較明顯的暫態(tài)飽和現(xiàn)象，并且再次故障時的飽和情況更加嚴(yán)重。試驗(yàn)中通入一次電流為衰減直流分量和工頻分量的疊加，參數(shù)見表2。

圖3 首次故障電流波形Fig.3 Current waveforms during first fault

圖4 再次故障二次電流波形圖Fig.4 Current waveforms during second fault

表2 一次電流參數(shù)Tab.2 Parameters of primary current

首次故障時，非飽和段數(shù)據(jù)長度大于5 ms，選擇5 ms（125個采樣點(diǎn)）數(shù)據(jù)窗進(jìn)行計(jì)算。由式（19）選擇階數(shù)上限值為45，構(gòu)造樣本矩陣并進(jìn)行SVD，據(jù)圖5可估計(jì)有效階數(shù)為3，故進(jìn)行15分頻，5 ms時間窗對應(yīng)8個采樣點(diǎn)。

圖5 首次故障奇異值分布圖Fig.5 Distribution of singular value during first fault

短時間窗條件下，不能直接使用基本Prony算法計(jì)算，以下所列均為給定50 Hz特征根條件下不同階數(shù)和采樣率的計(jì)算結(jié)果對比。表3中，采樣率較高時，所選計(jì)算階數(shù)需遠(yuǎn)高于信號主要階數(shù)，才能得到比較精確的結(jié)果，這導(dǎo)致計(jì)算量劇增。進(jìn)行合理的分頻降階后，可得到準(zhǔn)確度相當(dāng)或更好的結(jié)果，大幅減少了計(jì)算量。

表3 首次故障電流計(jì)算結(jié)果Tab.3 Calculative results of fault current during first fault

由圖4可見，再次故障時飽和更加嚴(yán)重，第1個周期內(nèi)非飽和數(shù)據(jù)段縮短，選擇2.5 ms數(shù)據(jù)窗進(jìn)行計(jì)算，選擇階數(shù)上限為30，根據(jù)圖6可得有效階數(shù)約為3～5階，取5階；對原信號進(jìn)行5分頻，2.5 ms數(shù)據(jù)窗對應(yīng)12個采樣點(diǎn)。

圖6 再次故障奇異值分布圖Fig.6 Distribution of singular value during second fault

表4計(jì)算結(jié)果中，除衰減直流分量和工頻分量外，剩余的一個頻率分量幅值極小，不再列出。在TA嚴(yán)重飽和情況下，使用更短的數(shù)據(jù)窗進(jìn)行計(jì)算，亦能準(zhǔn)確提取故障電流中的工頻分量幅值。但由表4可見，使用二次電流計(jì)算時，5P30型TA幅值誤差大于5%，相位誤差也較大，這主要是由于P級TA在嚴(yán)重飽和情況下，在非飽和段亦會有一定傳變偏差。表4中最后一列，選取同一時間段一次電流數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，則可以得到準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。

表4 再次故障電流計(jì)算結(jié)果Tab.4 Calculative results of fault current during second fault

3.2 實(shí)際故障錄波

選取電力系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行過程中，線路發(fā)生BC相間短路時，變壓器差動保護(hù)C相TA錄波數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。TA二次側(cè)電流信號采樣率為3 kHz，所含噪聲干擾較大。非飽和段數(shù)據(jù)長度在10 ms左右，計(jì)算采用10 ms數(shù)據(jù)窗，對應(yīng)30個采樣點(diǎn)，選擇階數(shù)上限為15。

由圖7可估計(jì)信號有效階數(shù)為3階，故采用3分頻進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果和原始采樣率計(jì)算結(jié)果見表5，各擬合數(shù)據(jù)與原始信號對比見圖8。表5中，采用分頻降階處理后的結(jié)果與原始采樣頻率高階計(jì)算結(jié)果非常接近，特別是工頻量的幅值和相位以及衰減直流分量初值差異極小，衰減因子相差較大，但其對于波形的影響甚小，擬合結(jié)果與原始錄波數(shù)據(jù)在非飽和段吻合得很好。

圖7 錄波數(shù)據(jù)奇異值分布圖Fig.7 Singular value distribution of data record

表5 改進(jìn)Prony算法計(jì)算結(jié)果Tab.5 Calculative results of improved Prony algorithm

圖8 改進(jìn)Prony算法擬合結(jié)果Fig.8 Fitting results of improved Prony algorithm

3.3 轉(zhuǎn)換型故障仿真算例

利用PSCAD搭建330 kV雙電源系統(tǒng)，接線如圖9所示，一側(cè)采用3/2接線方式。仿真主要研究線路 L2的差動保護(hù)，其中 M側(cè)電流 Im1、Im2分別由TA1和 TA2得到，N側(cè)電流In由 TA3得到。TA1和TA3在仿真中采用理想TA模型，故障過程中不發(fā)生暫態(tài)飽和現(xiàn)象。TA2在仿真中采用自帶JA模型，通過合理設(shè)置各項(xiàng)參數(shù)來模擬P級TA在故障過程中發(fā)生的暫態(tài)飽和現(xiàn)象。一次系統(tǒng)設(shè)置區(qū)外轉(zhuǎn)區(qū)內(nèi)型單相接地故障，區(qū)外故障持續(xù)100 ms，區(qū)內(nèi)故障持續(xù)100 ms，故障間隔時間110 ms。故障電流波形如圖10所示。

圖9 線路差動保護(hù)示意圖Fig.9 Schematic diagram of line differential protection

圖10 故障電流波形Fig.10 Waveforms of fault current

基于工頻量的線路差動保護(hù)常采用比率制動，其制動電流Ires、動作電流 Id以及保護(hù)判據(jù)由式（22）—（24）給出：

其中，ICD為門檻值，其值較小，本算例中取為1A；K為制動系數(shù)，取值范圍為0.4～0.6，本算例中取0.6。直接使用傅里葉算法提取工頻量進(jìn)行計(jì)算，會出現(xiàn)較大偏差，區(qū)外故障期間動作特性如圖11所示，可見線路差動保護(hù)落在動作區(qū)，會發(fā)生誤動作。若為了防止由TA暫態(tài)飽和引起的區(qū)外故障保護(hù)誤動作，在檢測到TA發(fā)生暫態(tài)飽和后閉鎖保護(hù)，則在接下來的區(qū)內(nèi)故障期間，線路L2保護(hù)會發(fā)生拒動。

圖11 區(qū)外故障傅里葉算法結(jié)果Fig.11 Calculative result of Fourier algorithm for out-zone fault

使用改進(jìn)Prony算法進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)樣本矩陣SVD結(jié)果估測有效階數(shù)為7階，區(qū)外故障選擇5 ms數(shù)據(jù)窗，區(qū)內(nèi)故障選擇3.5 ms數(shù)據(jù)窗，計(jì)算結(jié)果見表6。區(qū)外故障期間，動作電流接近0，根據(jù)式（24）可知，保護(hù)不會發(fā)生誤動作；區(qū)內(nèi)故障期間，動作電流顯著大于制動電流，根據(jù)式（24）可知保護(hù)不會發(fā)生拒動。故使用改進(jìn)Prony算法可防止由TA暫態(tài)飽和引起的區(qū)外故障誤動作以及為防止區(qū)外故障保護(hù)誤動作采取閉鎖保護(hù)措施時，可能引起的區(qū)內(nèi)故障保護(hù)拒動。

表6 改進(jìn)Prony算法計(jì)算結(jié)果Tab.6 Calculative results of improved Prony algorithm

4 結(jié)語

文章介紹了Prony算法基本原理，針對TA暫態(tài)飽和時面臨的短數(shù)據(jù)窗以及繼電保護(hù)快速性要求等問題，提出了改進(jìn)Prony算法。改進(jìn)方法包括給定50 Hz工頻量對應(yīng)特征根、SVD降階、合理選擇采樣頻率。改進(jìn)算法可利用二次電流中非飽和數(shù)據(jù)段在較短數(shù)據(jù)窗內(nèi)迅速獲取故障電流有效信息。利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)及故障錄波數(shù)據(jù)，在不同程度TA暫態(tài)飽和情況下，分別選取10 ms、5 ms以及2.5 ms時間窗使用改進(jìn)Prony算法進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果證明改進(jìn)算法可不受TA暫態(tài)飽和影響，準(zhǔn)確獲取故障電流有效信息；通過仿真算例，驗(yàn)證了改進(jìn)算法在轉(zhuǎn)換型故障期間，可保證線路保護(hù)正確動作。本文提出的改進(jìn)Prony算法可為防止由TA暫態(tài)飽和引起的繼電保護(hù)不正確動作提供一種新的思路。