鄭連存， 張 艷

(1.北京科技大學數(shù)理學院，北京100083； 2.北京建筑工程大學理學院，北京100044)

1 引 言

美國心理學家吉爾福特提出：發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的核心，它決定了一個人創(chuàng)造力的高低.

高等教育承擔著為國家培養(yǎng)具有創(chuàng)造思維的創(chuàng)新型人才的神圣使命，作為高等教育工作者，我們深深感受到培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重要責任.筆者認為在大學教學活動中，引導學生深入理解所學知識，培養(yǎng)學生獨立思考和創(chuàng)新能力應是教學工作者的最高追求.

筆者多年來一直工作在教學第一線，擔任多門本科生和研究生基礎課教學工作，教學中始終注意將自己多年從事科研工作的思想和體會融入到教學活動中，注意發(fā)散思維和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).筆者承擔《高等數(shù)學》和《工科數(shù)學分析》課程教學工作時，經(jīng)常以討論課的形式，將一些有啟發(fā)，有延拓性的題目首先交給學生去討論，探討不同解法及給出各種正確答案.題目做完后，引導學生分析題目的本質(zhì)及各種關聯(lián)問題并由學生自己拓展改編題目，引導學生沿著各種不同的途徑去思考，類比、聯(lián)想、猜想、發(fā)現(xiàn)和論證.下面從一個關于導數(shù)值的等式問題出發(fā)，來探討教師在課堂教學過程中如何根據(jù)教學內(nèi)容創(chuàng)設能激起學生新異感的問題情景, 善于能從一個問題出發(fā)，沿著各種不同的途徑去思考，使學生的思維不斷攀升到更高的階段，豐富教學內(nèi)容，擴大課堂信息量，激發(fā)學生學習興趣，發(fā)現(xiàn)多種關聯(lián)問題及尋求解決問題的途徑，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力.

2 一個關于導數(shù)值關系式的例題

人們經(jīng)常把創(chuàng)新想象得很高深、很神秘、很復雜，并因此阻礙了自己的創(chuàng)新.很多創(chuàng)新工作，甚至是非常偉大的創(chuàng)新，有時它的思路也很簡單，往往和某些已經(jīng)知問題相關聯(lián).

例設函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且f(0)=0,f(1)=1，證明在(0,1)內(nèi)存在兩點x1,x2使得

(1)

先由學生自己給出不同證明方法，這里僅列出一種證明方法如下：

故

按照常規(guī)教學方式，題目證明完，學生理解掌握，教學任務就完成了.但是實際上還有很多問題有待思考.該問題的本質(zhì)是什么？證明中的關鍵因素是什么？可以聯(lián)系到或衍生出什么不同問題？

3 發(fā)散思考：聯(lián)想、猜想、論證

保持原函數(shù)特征推廣

聯(lián)想1(加權系數(shù)變化拓展) 首先容易聯(lián)想到的一個簡單變形是原問題可以化為

(2)

聯(lián)想2(多個結點加權平均) 上面討論涉及到(0,1)區(qū)間內(nèi)兩個點導數(shù)值倒數(shù)的加權平均.進一步，很自然會聯(lián)想到在區(qū)間(0,1)內(nèi)多個點的加權平均，若考慮到多個點的加權會有什么結果？ 引導學生猜想、猜想、發(fā)現(xiàn)并證明如下命題.

(3)

提示 可以先考慮可以先考慮三個點情況，選取0

進一步思考和聯(lián)想：

(4)

聯(lián)想4(函數(shù)值變化拓展) 若將例題條件f(0)=0,f(1)=1 改為f(0)=0,f(1)=a會有什么結果？引導學生猜想、猜想、發(fā)現(xiàn)并證明如下命題.

命題4設函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且f(0)=0,f(1)=a(a>0)，證明在(0,1)內(nèi)存在兩點x1,x2使得

(5)

聯(lián)想5聯(lián)想到兩個函數(shù)值變化情況，若將例題條件f(0)=0,f(1)=1改為f(0)=a,f(1)=b，結果如何？引導學生猜想、發(fā)現(xiàn)并證明如下命題.

命題5設函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且f(0)=a,f(1)=b(b>a>0)，證明在(0,1)內(nèi)存在兩點x1,x2使得

(6)

同樣可以考慮區(qū)間[0,1]上多個點加權平均，當某些點函數(shù)值變化時的類似推廣，略.

構造復合函數(shù)推廣

若將例題的思想拓展到復合函數(shù)，會有什么結果？假設已知函數(shù)u=F(y)，y=f(x)，復合函數(shù)u=F(f(x))滿足在某個閉區(qū)間上連續(xù)，在相應的開區(qū)間內(nèi)可導，且F(0)=0,F(1)=1.將u=F(y)帶入公式(3)或(4)，可以得到關于f(x)的許多新問題.

聯(lián)想6令F(x)=ln[f(x)]，引導學生猜想、發(fā)現(xiàn)并證明如下命題.

命題6設函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導的正值函數(shù)，f(0)=1,f(1)=e，k1,k2,…,kn為n個正數(shù)，證明在(0,1)內(nèi)存在n個不同的點x1,x2,…,xn，使得

(7)

(8)

命題6及命題7的證明令F(x)=lnf(x)，則當x∈[0,1]時，函數(shù)F(x)滿足區(qū)間[0,1]上可導，且F(0)=0,F(1)=1，F(xiàn)(x)滿足原問題的條件,由公式(3)或(4)，立即得到證明.

類似地，可以做很多其它形式的推廣，如F(x)=ef(x),exf(x),e-xf(x), cos(f(x))，…，這里從略.

(9)

更一般地，有

命題9(復合函數(shù)拓展) 在(0,1)內(nèi)存在n個不同的點x1,x2,…,xn，使得

(10)

命題10(復合函數(shù)拓展) 在(0,1)內(nèi)存在n個不同的點x1,x2,…,xn，使得

(11)

亦可以引入下面的復合函數(shù)拓展：

假設已知函數(shù)x=φ(t)，t∈[0,1]；y=f[φ(t)]是關于x=φ(t)的復合函數(shù)，φ′(t)在[0,1]上連續(xù)且不為0，當t由0連續(xù)變?yōu)?時，y由0連續(xù)變?yōu)閍.y=f[φ(t)]滿足區(qū)間[0,1]上可導，且f(0)=0,f(1)=a.這時可以將y=f[φ(t)]帶入公式(3)或(4)，立即可以得到關于f(x)的許多新問題.這里從略.

還可以將如上問題推廣到二元函數(shù)或多元函數(shù)，需要用到雅克比行列式等知識.這里從略.

4 結束語

21世紀的競爭實質(zhì)上是知識創(chuàng)新和技術創(chuàng)新的競爭，歸根到底是具有創(chuàng)新能力的高素質(zhì)人才的競爭.一個人的創(chuàng)新能力特別是創(chuàng)新思維能力的強弱將決定他未來的發(fā)展前途，一個民族的創(chuàng)新能力決定著其在國際競爭中的地位和作用.創(chuàng)新能力不是與生俱來的，而是通過學習、訓練產(chǎn)生和提高的.高等學校是高素質(zhì)人才的培養(yǎng)基地，高等學校教育教學改革是一項長期持久的系統(tǒng)工程.高等數(shù)學是大學中最重要的基礎課程, 對于后續(xù)課程的學習和學生創(chuàng)新思維的培養(yǎng), 具有重要而深遠的意義.要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，教師必須在教學中引導學生掌握科學思維方法，用聯(lián)系的、發(fā)展的、全面的觀點看待事物和思考問題，激發(fā)學生求新求異的心理，提高學生善于發(fā)現(xiàn)和把握改變現(xiàn)狀的契機和機遇，探索解決問題的多種方法，為國家輸送更多具有競爭力的高素質(zhì)人才.

[參 考 文 獻]

[1] 鄭連存.從曲線積分的教學談對知識的追蹤溯源—培養(yǎng)學生科學的思維方法[J]. 高等理科教育,2005(3): 38-40.

[2] 陳兆斗,鄭連存,王輝,李為東.大學生數(shù)學競賽習題精講[M].北京：清華大學出版社，2010:34-45.

[3] 斐禮文. 數(shù)學分析中的典型問題與方法[M]. 北京：高等教育出版社，2003:186-207.

[4] 鄭連存，張艷，聯(lián)想-猜想-論證，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力[J]. 教育學文摘，2013，325(1):148-151.

[5] 徐利治，王興華. 數(shù)學分析的方法及例題選講(修訂版)[M]. 北京：高等教育出版社，1983:116-182.