吳宗臻，劉維寧，馬龍祥，王文斌

（1．北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044；2．鐵科院（北京）工程咨詢有限公司，北京 100081）

城市軌道交通的飛速發(fā)展在改善城市交通擁堵的同時(shí)，也引起了越來(lái)越嚴(yán)重的環(huán)境振動(dòng)問(wèn)題［1］。為了降低地鐵列車運(yùn)行對(duì)周圍環(huán)境的振動(dòng)影響，各類減振產(chǎn)品廣泛應(yīng)用于地鐵各線的減振區(qū)段。其中浮置式軌道具有固有頻率低，減振效果好，不影響輪軌工作性能等優(yōu)點(diǎn)，主要結(jié)構(gòu)型式有鋼彈簧浮置板軌道［2］、橡膠浮置板式軌道［3］（浮置式道床軌道）和梯式軌枕軌道［4］（浮置式軌枕軌道）等。我國(guó)現(xiàn)行《環(huán)境影響評(píng)價(jià)技術(shù)導(dǎo)則——城市軌道交通》［5］推薦采用統(tǒng)一的經(jīng)驗(yàn)鏈?zhǔn)焦阶鳛榄h(huán)境振動(dòng)預(yù)測(cè)計(jì)算方法，該方法簡(jiǎn)單快捷，普適性強(qiáng)，（但是精度較低且無(wú)法在頻域內(nèi)進(jìn)行定量預(yù)測(cè)。尤其對(duì)于采用浮置式軌道的環(huán)境振動(dòng)敏感區(qū)段，往往對(duì)振動(dòng)頻譜有特殊的要求，規(guī)范推薦的Z振級(jí)預(yù)測(cè)公式已經(jīng)不能滿足實(shí)際應(yīng)用要求。而且隨著城市軌道交通路網(wǎng)越來(lái)越密集，沿線的敏感目標(biāo)也會(huì)大量增加，現(xiàn)有的地鐵環(huán)境振動(dòng)的頻域內(nèi)解析和數(shù)值預(yù)測(cè)方法往往計(jì)算周期較長(zhǎng)，無(wú)法適用于同時(shí)精確高效的預(yù)測(cè)地鐵沿線多個(gè)敏感目標(biāo)的環(huán)境振動(dòng)［6］。因此，環(huán)境振動(dòng)評(píng)價(jià)亟須要一種滿足頻域預(yù)測(cè)精度要求且快速高效的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行輔助決策。

針對(duì)地鐵環(huán)境振動(dòng)多點(diǎn)同步快速預(yù)測(cè)問(wèn)題，提出了一種適用于區(qū)間地鐵引起環(huán)境振動(dòng)的頻域快速預(yù)測(cè)模型，將浮置式軌道環(huán)境振動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為通過(guò)浮置式軌道模型［7］求解作用于基底的頻域力群和通過(guò)地表振動(dòng)響應(yīng)的三維Green函數(shù)［8］求解土層頻響函數(shù)群，然后將兩者進(jìn)行頻域內(nèi)復(fù)數(shù)疊加運(yùn)算得出地表的振動(dòng)響應(yīng)。采用本模型預(yù)測(cè)了北京地鐵4號(hào)線浮置板區(qū)間地表振動(dòng)響應(yīng)，并與現(xiàn)場(chǎng)地表振動(dòng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了該模型的可行性和準(zhǔn)確性。本模型具有較高的預(yù)測(cè)精度和較快的計(jì)算速度，可用于預(yù)測(cè)地鐵建設(shè)設(shè)計(jì)階段的地鐵運(yùn)行引起的環(huán)境振動(dòng)的加速度時(shí)程，頻譜，1／3倍頻程與Z振級(jí)。

1 模型基本原理及預(yù)測(cè)流程

對(duì)于地鐵列車引起的振動(dòng)傳播系統(tǒng)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者通常將其視為線彈性系統(tǒng)，對(duì)于土層也多是將其簡(jiǎn)化為水平成層線彈性體［9－10］。實(shí)測(cè)表明，地鐵運(yùn)行引起的環(huán)境振動(dòng)的量級(jí)較小，土層處于彈性應(yīng)變階段［11］。因此，本模型將土層系統(tǒng)簡(jiǎn)化為水平成層彈性體。

對(duì)于線彈性的系統(tǒng)，任意兩點(diǎn)間的振動(dòng)傳遞規(guī)律是系統(tǒng)的固有特性，不同頻率處的振動(dòng)傳遞性質(zhì)不因振源輸入的不同而改變。地表振動(dòng)響應(yīng)Green函數(shù)描述了在半無(wú)限空間成層土體內(nèi)部的單位脈沖激勵(lì)作用下的地表振動(dòng)響應(yīng)，通過(guò)Green函數(shù)可以求得土體內(nèi)部某點(diǎn)作用一垂向單位脈沖荷載的地表測(cè)點(diǎn)處的振動(dòng)響應(yīng)，稱之為土層振動(dòng)頻響函數(shù)。本預(yù)測(cè)模型即將車軌模型作用于基底的頻域力與該點(diǎn)處頻率響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，從而利用線彈性系統(tǒng)振動(dòng)傳遞特性來(lái)的達(dá)到預(yù)測(cè)地表振動(dòng)的目的。

整個(gè)預(yù)測(cè)模型實(shí)現(xiàn)過(guò)程分為三個(gè)主要步驟：

第一步，本預(yù)測(cè)模型通過(guò)解析的方法求解出浮置式軌道系統(tǒng)作用于基底的頻域力群F＾n（ω），將列車運(yùn)行的復(fù)雜時(shí)空效應(yīng)轉(zhuǎn)化為固定系列點(diǎn)荷載輸入，如圖1所示。

圖1 軌道模型求解的基底頻域力群Fig．1 Forces on base calculated by track model

第二步，采用成層土體三維Green函數(shù)求解出基底頻域力群（ω）作用點(diǎn)處到地表預(yù)測(cè)點(diǎn)處的振動(dòng)頻響函數(shù)群 Hn（ω）。

第三步，將對(duì)應(yīng)位置處的頻域力和頻響函數(shù)進(jìn)行復(fù)數(shù)相乘運(yùn)算得到單個(gè)固定力輸入的地表預(yù)測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)（ω）×Hi（ω）。最后在頻域內(nèi)進(jìn)行復(fù)數(shù)疊加運(yùn)算得出頻域力群（ω）作用下地表預(yù)測(cè)點(diǎn)處的振動(dòng)響應(yīng)（ω），即為地鐵列車經(jīng)過(guò)浮置式軌道引起的地表響應(yīng)，如式（1）所示。

其中：n為計(jì)算的基底頻率力的數(shù)目，ω為圓頻率，符號(hào)“＾”代表頻域內(nèi)的物理量。

預(yù)測(cè)模型的基本流程如圖2所示。

圖2 預(yù)測(cè)模型流程圖Fig．2 Flow chart of prediction model

本模型將地鐵列車運(yùn)行的時(shí)空荷載輸入，變換到與時(shí)間無(wú)關(guān)的頻域內(nèi)進(jìn)行求解，整個(gè)計(jì)算過(guò)程都是在頻域內(nèi)進(jìn)行的復(fù)數(shù)運(yùn)算，頻域力、頻響函數(shù)以及最終預(yù)測(cè)結(jié)果都包含了幅值和相位全部信息。通過(guò)分解及轉(zhuǎn)化的思想可以快速的得到地鐵列車在浮置式軌道上運(yùn)行作用下的環(huán)境振動(dòng)響應(yīng)。

2 預(yù)測(cè)模型解析解

2．1 浮置式軌道模型基底力群的求解

為了準(zhǔn)確地求解出浮置式軌道系統(tǒng)作用于隧道基底的頻域力 F＾n（ω），需要構(gòu)建高精度的車軌耦合模型［7，12］（圖 3）。模型中，車輛采用 6節(jié)編組，每節(jié)車廂有4個(gè)輪對(duì)、2個(gè)轉(zhuǎn)向架、1個(gè)車體，都簡(jiǎn)化為剛體，一系、二系彈簧簡(jiǎn)化為彈簧阻尼元件。軌道系統(tǒng)為以一個(gè)浮置板長(zhǎng)為周期的無(wú)限長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，其中，將鋼軌簡(jiǎn)化為離散點(diǎn)支撐的無(wú)限長(zhǎng)歐拉梁，浮置板簡(jiǎn)化為離散點(diǎn)支撐的有限長(zhǎng)歐拉梁，扣件及隔振器簡(jiǎn)化為彈簧阻尼單元。

圖3 浮置式軌道車軌耦合模型Fig．3 Coupled train-track model of floating-type track

在求解模型的過(guò)程中，輪軌激振形式采用移動(dòng)荷載狀態(tài)激振（車輪在具有不平順的軌道結(jié)構(gòu)上向前移動(dòng)）［12］，而非傳統(tǒng)的定點(diǎn)荷載狀態(tài)激振（車輪不動(dòng)，輪軌表面不平順的激勵(lì)帶反向移動(dòng)）。

模型的基本求解思路如下：

（1）在采用移動(dòng)荷載狀態(tài)激振的前提下，將軌道不平順表示成系列三角函數(shù)的疊加，在單一頻率成分的不平順下，求解對(duì)應(yīng)頻率的輪對(duì)柔度矩陣及軌道結(jié)構(gòu)上輪軌接觸點(diǎn)的柔度矩陣，而后耦合車輛系統(tǒng)及軌道系統(tǒng)，求得相應(yīng)頻率成分的動(dòng)態(tài)輪軌激勵(lì)力。

（2）將考慮的所有頻率成分不平順引起的動(dòng)態(tài)輪軌激勵(lì)力計(jì)算出來(lái)并進(jìn)行疊加，將總輪軌力表示成一系列具有不同頻率成分的簡(jiǎn)諧力的疊加。

（3）求解移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下的浮置式軌道系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。

（4）將求解出的輪軌力（系列簡(jiǎn)諧力的疊加形式）帶入簡(jiǎn)諧荷載作用下的浮置式軌道模型的動(dòng)力響應(yīng)解答中，從而達(dá)到車輛響應(yīng)及軌道響應(yīng)的求解，進(jìn)而得到基底頻域力群。

文獻(xiàn)［12］給出了在移動(dòng)荷載狀態(tài)激振下的輪對(duì)相互影響系數(shù)的求解方法，這是求解車軌耦合模型的輪軌力的基礎(chǔ)。文獻(xiàn)［7］給出了一種考慮周期性結(jié)構(gòu)基本性質(zhì)的采用模態(tài)疊加技術(shù)的數(shù)值方法，可以精確快速的求解出浮置式軌道在移動(dòng)諧振荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)。

基于這些成果形成程序STFSTI，計(jì)算得到車軌模型動(dòng)力響應(yīng)及基底頻域力群F＾n（ω）（圖4）。具體的理論推導(dǎo)過(guò)程可以查閱相關(guān)參考文獻(xiàn)，此處不再贅述。

圖4 典型基底頻域力Fig．4 Typical force on base in frequency domain

2．2 土層頻響函數(shù)群的求解

將土層簡(jiǎn)化為水平成層的半無(wú)限空間彈性體，每個(gè)土層均為各向同性的連續(xù)彈性介質(zhì)（圖5）。土體Green函數(shù)［8］表征了在土體內(nèi)部某一坐標(biāo)方向上施加一個(gè)單位脈沖荷載，在任意一點(diǎn)處產(chǎn)生的振動(dòng)響應(yīng)。土層內(nèi)部脈沖激勵(lì)作用下的地表測(cè)點(diǎn)處的頻響函數(shù)群可以通過(guò)求解水平成層土體表面Green函數(shù)得到。

圖5 成層半空間土體模型Fig．5 Model of layered half-space soil

采用直接剛度法［13］求解土體Green函數(shù)的基本思路如下：

（1）通過(guò)積分變換把時(shí)間－空間域內(nèi)的波動(dòng)方程轉(zhuǎn)化到頻率－波數(shù)域，之后在頻率－波數(shù)域內(nèi)推導(dǎo)出每層土體交界面上的位移和面力。

（2）建立每層土體的剛度矩陣（這個(gè)剛度矩陣稱為單元?jiǎng)偠染仃嚕?，即通過(guò)剛度矩陣可以建立每層土體上下表面上的面力和位移之間的平衡方程。

（3）把各層土體的單元?jiǎng)偠染仃嚰偝梢粋€(gè)總剛度矩陣，并建立一個(gè)總的平衡方程，解這個(gè)平衡方程，可以得到各個(gè)土層交界面上的位移，最后通過(guò)形函數(shù)可以求得每個(gè)土層內(nèi)部的位移和面力。

（4）在土體內(nèi)部施加垂向脈沖激勵(lì)，將垂向脈沖荷載帶入總平衡方程，根據(jù)Green函數(shù)的定義，此時(shí)所求得的土層內(nèi)部的位移和面力即為土體的Green函數(shù)。地表的Green函數(shù)解答即為本文需要的土層頻響函數(shù)群 Hn（ω）。

3 預(yù)測(cè)模型的實(shí)測(cè)驗(yàn)證

3．1 現(xiàn)場(chǎng)振動(dòng)加速度實(shí)測(cè)

為了驗(yàn)證本預(yù)測(cè)模型的適用性，選取北京地鐵鋼彈簧浮置板區(qū)間進(jìn)行振源加速度測(cè)試，在鋼軌、道床及隧道壁上布置傳感器，測(cè)點(diǎn)布置如圖6所示。

圖6 隧道內(nèi)加速度傳感器布置圖Fig．6 Lacations of sensors in tunnel

另外選取北京地鐵4號(hào)線北大東門區(qū)間的鋼彈簧浮置板區(qū)段進(jìn)行地表振動(dòng)加速度測(cè)試，地表測(cè)點(diǎn)的位置為距離地鐵隧道中心線水平距離30 m處，隧道、土層及地表測(cè)點(diǎn)位置關(guān)系如圖7所示。

圖7 隧道及土層關(guān)系圖Fig．7 Distribution of tunnel and soil

振動(dòng)測(cè)試采用INV3018C型24位高精度數(shù)據(jù)采集儀以及 Lance系列高精度壓電式加速度傳感器。INV3018C型24位高精度數(shù)據(jù)采集儀采用24位ΔΣ方式的AD轉(zhuǎn)換器，結(jié)合了最新FPGA和DSP技術(shù)，可8個(gè)通道并行處理，單個(gè)通道最高采樣頻率51．2 kHz，動(dòng)態(tài)范圍120 dB。數(shù)據(jù)采集及分析軟件為DASP V10。

3．2 浮置板軌道振動(dòng)加速度驗(yàn)證

將前文構(gòu)建的浮置式軌道模型編制Matlab程序進(jìn)行計(jì)算，參數(shù)采用鋼彈簧浮置板軌道（FST）實(shí)際參數(shù)，如表1所示。

圖8～圖9為浮置板上的振動(dòng)加速度頻譜和1／3倍頻程譜的實(shí)測(cè)值與計(jì)算值的對(duì)比?？梢钥闯?，計(jì)算值與實(shí)測(cè)值量值相當(dāng)，變化趨勢(shì)相同。結(jié)果表明浮置式軌道模型構(gòu)建及求解過(guò)程科學(xué)合理，采用其求解出的頻域力群是準(zhǔn)確可信的。

表1 軌道參數(shù)Tab．1 Track parameters

圖8 浮置板振動(dòng)加速度頻譜幅值實(shí)測(cè)與計(jì)算值對(duì)比Fig．8 Comparison of acceleration frequency spectrum of FST

圖9 浮置板振動(dòng)加速度1／3倍頻程實(shí)測(cè)與計(jì)算值對(duì)比Fig．9 Comparison of acceleration one-third octave spectrum of FST

3．3 地表振動(dòng)加速度驗(yàn)證

采用本文提出的預(yù)測(cè)模型編制程序進(jìn)行地表振動(dòng)響應(yīng)預(yù)測(cè)，土層參數(shù)采用北京地鐵4號(hào)線北大東門區(qū)間實(shí)際地勘參數(shù)，如表2所示。

表2 土層參數(shù)Tab．2 soil parameters

圖10為輸入實(shí)際地勘土層參數(shù)的三維Green函數(shù)計(jì)算得到的頻響函數(shù)群中，距離脈沖水平距離40 m和100 m處的典型頻譜幅值?？梢钥闯?，土層地表頻響函數(shù)隨著頻率的增加呈現(xiàn)“波浪形”變化趨勢(shì)，而且100 m處的響應(yīng)在全頻帶都比40 m處的響應(yīng)量值有很大的降低。這說(shuō)明隨著距離脈沖位置水平距離的增加，土體對(duì)頻域內(nèi)振動(dòng)的傳播具有很強(qiáng)的衰減效果。

圖11～圖12為地表振動(dòng)加速度頻譜和1／3倍頻程譜的實(shí)測(cè)值與計(jì)算值的對(duì)比?？梢缘贸觯?/p>

（1）模型預(yù)測(cè)和實(shí)測(cè)地表振動(dòng)加速度的頻譜波形相近，量級(jí)相當(dāng)，振動(dòng)主頻都在8～10 Hz的鋼彈簧浮置板的固有頻率附近，而且兩者的頻域振動(dòng)幅值相當(dāng)。在35～50 Hz頻段現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)頻譜有除了8 Hz自振頻段峰值外的第二個(gè)小峰值群，計(jì)算值在此頻段偏小。

（2）模型計(jì)算值和實(shí)測(cè)值的1／3倍頻程譜曲線基本重合，振動(dòng)量級(jí)、變化趨勢(shì)一致。在40 Hz頻帶計(jì)算值稍低，這與頻譜分析結(jié)果相符。

（3）Z振級(jí)計(jì)算結(jié)果為：地表實(shí)測(cè)Z振級(jí)54．0 dB，預(yù)測(cè)模型計(jì)算Z振級(jí)為56．1 dB，預(yù)測(cè)結(jié)果偏于安全且誤差較小。

圖10 地表振動(dòng)加速度頻響函數(shù)幅值Fig．10 Acceleration frequency response functions of ground points

圖11 地表振動(dòng)加速度頻譜幅值實(shí)測(cè)與計(jì)算值對(duì)比Fig．11 Comparison of ground acceleration frequency spectrum

圖12 地表振動(dòng)加速度1／3倍頻程實(shí)測(cè)與計(jì)算值對(duì)比Fig．12 Comparison of ground acceleration one－third octave spectrum

由于本預(yù)測(cè)方法旨在頻域內(nèi)解決地鐵環(huán)境振動(dòng)評(píng)價(jià)中的多點(diǎn)同時(shí)、快速準(zhǔn)確預(yù)測(cè)問(wèn)題，為了可以采用解析的方法求解土層頻響函數(shù)從而提高計(jì)算速度，本預(yù)測(cè)模型采用Green函數(shù)法求解土層頻響函數(shù)群。因?yàn)镚reen函數(shù)法是針對(duì)水平成層彈性體振動(dòng)響應(yīng)的純解析模型，無(wú)法引入隧道結(jié)構(gòu)進(jìn)行解析求解，因此本模型在求解土層頻響函數(shù)時(shí)進(jìn)行了簡(jiǎn)化，忽略掉了隧道結(jié)構(gòu)的影響。由本模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)的對(duì)比分析可以看出，在簡(jiǎn)化了隧道結(jié)構(gòu)對(duì)振動(dòng)的影響下，振動(dòng)預(yù)測(cè)結(jié)果是較為精確的。說(shuō)明本模型做出的這個(gè)簡(jiǎn)化是合理的，取得了地鐵環(huán)境振動(dòng)預(yù)測(cè)中計(jì)算速度和預(yù)測(cè)精度的平衡。

4 結(jié) 論

在土層振動(dòng)傳遞固有特性的基礎(chǔ)上，針對(duì)地鐵建設(shè)設(shè)計(jì)階段的多點(diǎn)快速預(yù)測(cè)要求，提出了一種浮置式軌道引起地表振動(dòng)響應(yīng)的頻域解析預(yù)測(cè)模型，利用求解浮置式軌道作用于基底的頻域力群和土層振動(dòng)頻響函數(shù)群的方法來(lái)預(yù)測(cè)地鐵浮置式軌道引起的地表振動(dòng)響應(yīng)。

本模型通過(guò)優(yōu)化的解析解編程實(shí)現(xiàn)，采用符合實(shí)際動(dòng)力特性的浮置式軌道模型與考慮實(shí)際土層中振動(dòng)傳播特性的三維Green函數(shù)求解頻響函數(shù)，保證了模型預(yù)測(cè)的精度，且相比其他動(dòng)力仿真模型具有極快的計(jì)算速度，可在設(shè)計(jì)階段同時(shí)針對(duì)有高等級(jí)特殊減振需求的多個(gè)敏感點(diǎn)地鐵區(qū)間開(kāi)展浮置式軌道選型工作。

采用本模型預(yù)測(cè)了北京地鐵4號(hào)線浮置板區(qū)間地表振動(dòng)響應(yīng)，并與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，表明本模型具有預(yù)測(cè)速度快、預(yù)測(cè)精度高、預(yù)測(cè)頻帶寬等特點(diǎn)，可有效預(yù)測(cè)浮置式軌道區(qū)間的地鐵列車運(yùn)行引起的地表振動(dòng)響應(yīng)，從而合理選擇減振軌道型式。本模型具有重大的工程應(yīng)用和社會(huì)價(jià)值，是現(xiàn)有環(huán)評(píng)預(yù)測(cè)方法的有效補(bǔ)充。

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