陳德華

(嘉應(yīng)學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 梅州 514015)

圓錐曲線的切線作法一直是人們有著極大興趣的課題，古往今來，人們借助于各種不同的條件，給出了圓錐曲線切線的多種作法［1～5］.本文首先探討圓錐曲線切線的一組性質(zhì)，然后借助于圓錐曲線的對稱軸，利用點(diǎn)的對稱性給出了圓錐曲線切線的一種作法.約定圓錐曲線的內(nèi)部是指平面上含焦點(diǎn)的區(qū)域，外部是指平面上不含焦點(diǎn)的區(qū)域.

首先討論橢圓的一條有趣性質(zhì).

性質(zhì)1如圖1，過橢圓外部的一點(diǎn)P，分別作對稱軸的平行線與對稱軸交于點(diǎn)Q，R，連QA，RB，分別作CA⊥AQ，DB⊥BR 與對稱軸交于點(diǎn)C，D，分別作點(diǎn)C，D 關(guān)于中心O 點(diǎn)的對稱點(diǎn)E，F(xiàn)，則點(diǎn)E，F(xiàn)在P 點(diǎn)關(guān)于橢圓的切點(diǎn)弦上.

證明設(shè)橢圓的方程為，P 點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0，y0)，則P 點(diǎn)關(guān)于橢圓的切點(diǎn)弦方程為b2+x0x+a2y0y=a2b2，又Q(x0，0)，A(0，a)，所以，KQA=于是AC 的方程為，則C，從而，顯然點(diǎn)E 在切點(diǎn)弦上.同理可證，點(diǎn)也在切點(diǎn)弦上.由此性質(zhì)，只需連接EF，就可作出P 點(diǎn)的切線關(guān)于橢圓的切點(diǎn)，從而得到點(diǎn)P 關(guān)于橢圓的切線，于是，有

作圖問題1：已知橢圓外一點(diǎn)P，求作點(diǎn)P 關(guān)于橢圓的切線.

第一步：利用［1］中介紹的方法，作出橢圓的對稱軸，中心O，長短半軸為半徑的圓與橢圓對稱軸的交點(diǎn)A，B；

第二步：過點(diǎn)P 分別作對稱軸的平行線與對稱軸交于點(diǎn)Q，R；

第三步：連QA，RB，分別作CA⊥AQ，DB⊥BR 與對稱軸交于點(diǎn)C，D；

第五步：連接EF，與橢圓交于M，N 兩點(diǎn)，則M，N就是為P 點(diǎn)的切線關(guān)于橢圓的切點(diǎn)，連接PM，PN，則直線PM，PN 就是點(diǎn)P 關(guān)于橢圓的切線，如圖1 所示.

圖1

注：當(dāng)點(diǎn)P 在橢圓上時，問題就轉(zhuǎn)化為確定切線上某點(diǎn).過P 作PQ 垂直對稱軸，垂足為Q；連接QA，作CA⊥AQ 與對稱軸交于點(diǎn)C；再作點(diǎn)C 關(guān)于中心O 點(diǎn)的對稱點(diǎn)E；連接PE，則直線PE 就是點(diǎn)P關(guān)于橢圓的切線，如圖2 所示.

圖2

下面給出雙曲線類似的性質(zhì).

性質(zhì)2如圖3，過雙曲線外部的一點(diǎn)P，分別作對稱軸的平行線與對稱軸交于點(diǎn)Q，R，連QA，RB，分別作CA⊥AQ，DB⊥BR 與對稱軸交于點(diǎn)C，D，作點(diǎn)C 關(guān)于中心O 點(diǎn)的對稱點(diǎn)E，則點(diǎn)E，D 在P點(diǎn)關(guān)于雙曲線的切點(diǎn)弦上.

證明類似性質(zhì)1 的證明可知，點(diǎn)E 在P 點(diǎn)關(guān)于雙曲線的切點(diǎn)弦上，下證點(diǎn)D 也在切點(diǎn)弦上.

設(shè)雙曲線的方程為，P 點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0，y0)，則P 點(diǎn)關(guān)于橢圓的切點(diǎn)弦方程為b2x0x-a2y0y=a2b2，又R(0，y0)，B(b，0)，所以于是BD 的方程為，則D(0，-，顯然點(diǎn)D 在切點(diǎn)弦上.

作圖問題2：已知雙曲線外一點(diǎn)P，求作點(diǎn)P 關(guān)于雙曲線的切線.

第一步：利用［1］中介紹的方法，作出雙曲線的對稱軸，中心O，實虛半軸為半徑的圓與雙曲線對稱軸的交點(diǎn)A，B；

第二步：過點(diǎn)P 分別作對稱軸的平行線與對稱軸交于點(diǎn)Q，R；

第三步：連QA，RB，分別作CA⊥AQ，DB⊥BR與對稱軸交于點(diǎn)C，D；

第四步：作點(diǎn)C 關(guān)于中心O 點(diǎn)的對稱點(diǎn)E；第四步：連接ED，與雙曲線交于M，N 兩點(diǎn)，則M，N 就是P 點(diǎn)的切線關(guān)于雙曲線的切點(diǎn)，連接PM，PN，則直線PM，PN 就是P 點(diǎn)關(guān)于雙曲線的切線，如圖3所示.

圖3

注：當(dāng)點(diǎn)P 在雙曲線上時，問題就轉(zhuǎn)化為確定切線上某點(diǎn).過P 作PR 垂直對稱軸，垂足為R，連接RB，作DB⊥BR 與對稱軸交于點(diǎn)D，連接PD，則直線PD 就是點(diǎn)P 關(guān)于雙曲線的切線，如圖4 所示.

圖4

最后討論拋物線的一組性質(zhì).

性質(zhì)3過拋物線外部的一點(diǎn)P，引其對稱軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)A，作P 點(diǎn)關(guān)于A 點(diǎn)的對稱點(diǎn)P，再作QQ'垂直對稱軸，垂足為Q'，作Q'關(guān)于頂點(diǎn)O 的對稱點(diǎn)P'，連PP'，過Q 點(diǎn)作直線平行PP'與拋物線交于M，N 兩點(diǎn)，則點(diǎn)Q 是切點(diǎn)弦MN 的中點(diǎn).

證明設(shè)拋物線的方程為y2=2px，P 點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0，y0)，不妨取y0≠0(因為y0=0，P 點(diǎn)在對稱軸上，結(jié)論顯然成立)，則直線PQ 的方程為y=y0，于是，又PA=AQ，所以，從而，所以，kPP'=于是，過點(diǎn)Q 平行PP'的直線MN的參數(shù)方程可寫為

將上式代入拋物線的方程y2=2px，得(y0+pt)2=

設(shè)它的兩根為t1，t2，由韋達(dá)定理，有t1+t2=0，依參數(shù)t 的幾何意義，則Q 為線段MN 的中點(diǎn).又P點(diǎn)關(guān)于拋物線的切點(diǎn)弦方程為y0y=p(x+x0)，因為，所以MN 平行于切點(diǎn)弦.又M，N 在拋物線上，從而MN 就是P 點(diǎn)關(guān)于拋物線的切點(diǎn)弦.

性質(zhì)4過拋物線上任意兩點(diǎn)P，Q 的中點(diǎn)N引其對稱軸的平行直線l，則l 必經(jīng)過P，Q 的切線的交點(diǎn)M，且線段MN 被拋物線平分.

證明設(shè)拋物線的方程為y2=2px，P，Q 的坐標(biāo)分別為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則于是，可求得MN 與拋物線的交點(diǎn)R 的坐標(biāo)又切線MP，MQ 的方程分別為y1y=p(x+x1)，y2y=p(x+x2)，所以

容易驗證，點(diǎn)R 是線段MN 的中點(diǎn)，所以MN 被拋物線平分.

下面利用這兩條性質(zhì)，給出拋物線切線的一種作法.

作圖問題3：已知拋物線外一點(diǎn)P，求作點(diǎn)P 關(guān)于拋物線的切線.

此問題的關(guān)鍵是作出點(diǎn)P 的切線關(guān)于拋物線的切點(diǎn).

第一步：利用［1］中介紹的方法，作出拋物線的對稱軸，記頂點(diǎn)為O；

第二步：過點(diǎn)P 引其對稱軸的平行線與拋物線交于A 點(diǎn)，作P 點(diǎn)關(guān)于A 點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q；

第三步：作QQ'垂直對稱軸，垂足為Q'，作Q'點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)O 點(diǎn)的對稱點(diǎn)P'；

第四步：連接PP'，過點(diǎn)Q 作PP'的平行線交拋物線于M，N 兩點(diǎn)；第五步：由性質(zhì)3，則M，N 就是P點(diǎn)的切線關(guān)于拋物線上的切點(diǎn)，連接PM、PN，則直線PM，PN 就是P 點(diǎn)關(guān)于拋物線的切線，如圖5 所示.

注：如果點(diǎn)P 在拋物線上，問題就轉(zhuǎn)化為確定切線上某點(diǎn).過P 作PQ 垂直對稱軸，垂足為Q，作Q 點(diǎn)關(guān)于拋物線的頂點(diǎn)O 點(diǎn)的對稱點(diǎn)P'，由性質(zhì)4，則點(diǎn)P'在過P 點(diǎn)的切線上，連PP'，則直線PP'就是過P 點(diǎn)關(guān)于拋物線的切線，如圖6 所示.

圖6