劉生貴

(嘉應(yīng)學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 梅州 514015)

0 引言

文獻［1］中，Stancu D D 引入如下一類線性算子：

設(shè)0＜αn，f∈C［0，1］，

這里

顯然，當αn≡0 時，Stancu 算子即為熟知的Bernstein算子.Stancu 算子是非常重要的算子，它的逼近性質(zhì)吸引了眾多學(xué)者的研究和探索［2～3］.

近年來，線性算子的統(tǒng)計逼近被逐步引入逼近論領(lǐng)域［4～7］.把統(tǒng)計收斂的理念引入到逼近論領(lǐng)域大大促進了逼近論的發(fā)展，特別是Cesàro 型矩陣可求和方法有力彌補了各類線性算子(例如Hermite-Feiér 插直算子)收斂性質(zhì)上的不足，因為這些算子在那些簡單的不連續(xù)點上并不收斂［8～9］.A-統(tǒng)計收斂正線性算子的求和上顯得更為有效［5～7］.

設(shè){xn}n∈N是一個數(shù)字序列，如果對任給ε＞0，有

則稱{xn}n∈N統(tǒng)計收斂于數(shù)M，這里#B 表示集合B的基數(shù)［10～11］.{xn}n∈N統(tǒng)計收斂于數(shù)M，記為

設(shè)A=(ajn)是一個無限的可求和矩陣，記x=(xn)，如果對每一個收斂，則記關(guān)于x=(xn)的變換為Ax：=(Ax)j.我們說矩陣A 正則的，如果當limj→∞xj=M 時，有l(wèi)imj→∞(Ax)j=M［12］.例如，定義如下的Cesàro 矩陣C1=(cjn)

就是一個正則矩陣，設(shè)A 是非負可求的正則矩陣，F(xiàn)reedman 和Sember［13］引入了A-統(tǒng)計收斂.它是一種更為一般方法的統(tǒng)計收斂.我們說序列(xn)n∈NA-統(tǒng)計收斂到M，如果滿足對任給ε＞0，式子

成立.A-統(tǒng)計收斂到M，記為

若將A 用單位矩陣代替，則A-統(tǒng)計收斂就是普通意義的收斂，不難看出，如果取A=C1，則C1統(tǒng)計收斂就是上面所提到的統(tǒng)計收斂，即

對任給的非負的正則矩陣，每一個收斂列A 統(tǒng)計收斂于同一的值，但它的逆命題不成立.特別，Kolk［14］已經(jīng)證得，當非負正則矩陣A=(ajn)滿足條件limnmax{ain}=0 時，A-統(tǒng)計收斂強于普通意義的收斂.

本文定義一類推廣的Stancu 算子如下：設(shè)0≤αn，f∈C［0，1］，

這里

本文將研究該算子A—統(tǒng)計逼近的性質(zhì)，同時，借助光滑模，討論A—統(tǒng)計逼近收斂速度的估計.

1 算子的A-統(tǒng)計逼近

先給出主要結(jié)果所需的兩個引理.

引理1設(shè)n∈N 和0≤αn，f∈C［0，1］，有

這里ei=tifor i=0，1，2.

證明

由Vandermode 公式

得

引理2［15］設(shè)A=(ajn)是一個非負正則可求和矩陣，若從C［a，b］到C［a，b］線性算子序列Ln滿足

這里ei=ti，i=0，1，2.則對任意f∈C(a，b)，有

定理1設(shè)A=(ajn)是一個非負的正則可求和矩陣，序列{αn}滿足

則對所有的f∈C［0，1］，有

證明由式(1)，(2)，(3)，顯然有

對給定的ε＞0，定義如下集合：

由(3)式可知D?D1∪D2.對每一個j∈N，有

在(8)式中讓j→∞并應(yīng)用(4)式可得

由引理2，并應(yīng)用(5)，(6)，(9)式，可得定理結(jié)果.

2 A-統(tǒng)計逼近的收斂速度估計

我們將借助光滑模，計算算子A-統(tǒng)計收斂的收斂速度.

對于連續(xù)函數(shù)f，函數(shù)f 的光滑模ω(f，δ)定義為

又知，對于光滑模有l(wèi)imδ→0ω(f，δ)=0，由光滑模的性質(zhì)，有

定理2設(shè)n∈N，f∈C［0，1］，{αn}是滿足0＜αn的序列，則

證明由于算子是正線性算子，所以有

由(10)式，對任意δ＞0，有

由正線性算子的Canchv-Schwarz 不等式，可得

上式中取即可得定理結(jié)果.