張海燕， 甘犬財， 許新琨

(解放軍電子工程學院 數(shù)學教研室，合肥 230037)

1 引 言

2 廣義調(diào)和級數(shù)

雖然廣義調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的，但是，它卻有著十分重要的性質(zhì).

類似地，我們可以證明下列定理.

根據(jù)定理2,容易證明下列廣義調(diào)和級數(shù)的性質(zhì).

性質(zhì)1當n→∞時，

其中α為n→∞時的無窮小.

性質(zhì)2當n充分大時,

上式說明廣義調(diào)和級數(shù)的等價無窮大為lnn.

3 廣義歐拉常數(shù)的性質(zhì)

我們知道歐拉常數(shù)C(0)=0.57721566….對于常數(shù)c(0

性質(zhì)4完全和公式

推論2奇數(shù)和公式

偶數(shù)和公式

推論3配對和公式

其中α與β為n→∞時的無窮小.所以

性質(zhì)5廣義歐拉常數(shù)與黎曼和的關系：

所以

(ii) 對于0

所以

性質(zhì)6(近似夾公式) 設0

所以

同理

4 廣義歐拉常數(shù)的求法

S(x)=xS1(x)-S2(x).

(i) 當ξ=2m+1,η=1時,

因此

同理η=2時,

(ii) 當ξ=2m,η=1時,

同理η=2時,

5 級數(shù)的和

s=A1C(c1)+A2C(c2)+…+ArC(cr).

解根據(jù)廣義調(diào)和級數(shù)性質(zhì)，及廣義歐拉常數(shù)完全和公式推論1，有

其中γ為n→∞時的無窮小. 所以

[參 考 文 獻]

[1] 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].6版.北京:高等教育出版社,2008.

[2] 劉玉璉.數(shù)學分析(下冊)[M].北京:高等教育出版社,1988.

[3] 韓超.廣義調(diào)和級數(shù)的推廣[J].大學數(shù)學,2009,25(3):187-189.

[4] 黃力民,高等數(shù)學問題與思考[M],武漢:華中理工大學出版社,1995.