劉 俊

(合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院，安徽 合肥 230009)

1 引 言

在最近幾十年里，市場研究者發(fā)現(xiàn)，某些產(chǎn)品的需求受其貨架展示量的影響，商品展現(xiàn)常常能刺激顧客的購買欲望[1].文獻[2]最早將需求受庫存影響這一現(xiàn)象引入到庫存模型中.文獻[3]在需求依賴于當前庫存水平的情況下，研究了產(chǎn)品短缺量部分延期供給及具有時變的變質(zhì)率的庫存模型.文獻[4]考慮了需求依賴庫存水平下具有非線性庫存費用的EOQ模型.文獻[5]進一步擴展了文獻[4]，允許短缺發(fā)生并且短缺量部分延期供給.文獻[6]研究了需求受庫存水平影響，且缺貨時存在延遲訂貨的短生命周期物品的庫存管理問題.文獻[7]進一步將商品的庫存分為展示區(qū)和倉庫儲存區(qū)，并且假設需求依賴于展示區(qū)商品的庫存量.上述文獻僅考慮了需求依賴于庫存水平情形下，銷售商處的庫存控制問題.然而隨著經(jīng)濟的發(fā)展，企業(yè)的競爭已不再是單個企業(yè)的競爭，而是企業(yè)所在的供應鏈之間的競爭，這使得供應鏈協(xié)調(diào)問題受到了廣泛關(guān)注.文獻[8]在需求依賴于當前庫存水平的假設下，研究了單一生產(chǎn)商向單一銷售商提供數(shù)量折扣的供應鏈完美協(xié)調(diào).文獻[9]針對需求依賴于初始庫存水平的供應鏈商業(yè)信用期問題，提出了利潤補償機制以對供應鏈內(nèi)增加的利潤進行重新分配，實現(xiàn)供應鏈的協(xié)調(diào).文獻[10]在需求依賴于當前庫存水平并且銷售商庫存容量有限的假設下，研究了供應商通過信用支付策略協(xié)調(diào)供應鏈的問題.文獻[8]、[9]、[10]均研究了需求依賴于庫存水平的供應鏈協(xié)調(diào)問題，但它們都沒有考慮產(chǎn)品的運輸費用.而實際上，運輸費用是客觀存在的，且在供應鏈的成本中占有很大的比例.文獻[11]考慮了產(chǎn)品的運輸成本，研究了單個生產(chǎn)商和單個銷售商通過共同補給期和分擔運輸成本策略來進行供應鏈協(xié)調(diào)的問題，但其假定市場需求為彈性需求，而未考慮需求依賴于當前庫存水平的情形.本文在文獻[8]的基礎上擬綜合考慮需求依賴于庫存水平及分擔運輸成本策略來進行供應鏈的協(xié)調(diào)研究.

本文假定需求依賴于當前庫存水平，產(chǎn)品運輸費用與訂貨量相關(guān)，研究了采用分攤運費策略的供應鏈協(xié)調(diào)問題.首先在Stackelberg博弈的框架下，得出了供需雙方在分散式系統(tǒng)下，無法實現(xiàn)供應鏈完美協(xié)調(diào)，然后為生產(chǎn)商設計了一個分擔運輸費用的協(xié)調(diào)策略.研究結(jié)果表明該協(xié)調(diào)策略不僅能提高供需雙方的利潤，而且使得供應鏈達到了完美協(xié)調(diào).

2 基本假定與記號

(i)假設生產(chǎn)商為整個供應鏈的主導方，他了解銷售商的各項費用和市場需求，且不考慮生產(chǎn)商處的庫存費用；

(ii)銷售商一個周期內(nèi)只進行一次訂貨且不允許缺貨，其市場需求率依賴于當前庫存水平，即D(t)=αI(t)β，其中α>0，0<β<1，I(t)為銷售商在t時刻的庫存水平；

(iii)t時刻的庫存費h(t)=λ+hI(t)，其中λ為單位時間的庫存費用，h表示單位時間單位產(chǎn)品的庫存費用；

(iv)Ar表示銷售商每次訂貨的固定訂貨費用,Am表示生產(chǎn)商每次生產(chǎn)的準備費用,c表示生產(chǎn)商生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本,p表示銷售商單位產(chǎn)品的銷售價格,x表示銷售商單位產(chǎn)品的運輸費用,w是生產(chǎn)商給予銷售商的單位產(chǎn)品的批發(fā)價格，為決策變量，并假設其不超過c+x；

(vi)銷售商接受協(xié)調(diào)策略的條件是：策略后利潤比策略前高出某個百分比，L表示銷售商可獲得的最少利潤增量的百分比.

3 模型建立與求解

根據(jù)假設，銷售商在一個訂貨周期內(nèi)庫存水平變化的微分方程可表示為

dI(t)/dt=αI(t)β， 0≤t≤T.

由邊界條件I(0)=Q，得

I(t)=[Q1-β-α(1-β)t]1/(1-β).

(1)

故銷售商每個訂貨周期的長度為

T=Q1-β/[α(1-β)].

(2)

3.1 一體化供應鏈系統(tǒng)

為了得到一個基準，首先考慮生產(chǎn)商有自己的零售部，即一體化情形.該聯(lián)合公司的利潤等于銷售收入減去生產(chǎn)成本、固定訂貨費用、生產(chǎn)準備費用、運輸費用和庫存保管費，則其平均利潤函數(shù)為

(3)

將(1), (2)式代入(3)式，得

(4)

當Q∈(0,+∞)時，有

β(p-c-x)Q+(1-β)(Ar+Am)-hQ2-β/[α(2-β)]=0.

(5)

3.2 分散式系統(tǒng)

在分散式系統(tǒng)下，供需雙方將進行Stackelberg博弈.銷售商對于任何給定的批發(fā)價格w，均以自身利潤最大化為目標來設置訂貨量，而生產(chǎn)商作為博弈主導方最終會確定最優(yōu)批發(fā)價格w*，以使自己的平均利潤最大.銷售商的利潤等于其銷售收入減去批發(fā)成本、訂貨費用、運輸費用和庫存保管費，銷售商的平均利潤為

(6)

(7)

(8)

生產(chǎn)商需要確定最優(yōu)的批發(fā)價格w以最大化自己的平均利潤，由于TPm(w)的最優(yōu)解一定滿足方程dTPm(w)/dw=0.對(8)式求導，得

(9)

而由(7)式知，

(10)

結(jié)合(7), (10)式將(9)式化簡，得

(11)

令dTPm(w)/dw=0，得

(12)

將(12)式代入(7)式可得

(13)

為判斷w*是否為TPm(w)的最大值點，對(11)式求導可得

3.3 分攤運費的協(xié)調(diào)策略

假設生產(chǎn)商向銷售商提供如下形式的分攤運輸費用的“菜單”：

其中,K為銷售商訂貨量是原有最優(yōu)訂貨量的倍數(shù)，K>1，0

根據(jù)假定，要使銷售商接受此協(xié)調(diào)策略，必須保證其利潤增量的百分比至少為L.此時生產(chǎn)商的利潤等于其銷售收入減去生產(chǎn)成本、生產(chǎn)準備費用和分擔的運輸費用，所以生產(chǎn)商的平均利潤函數(shù)為

(14)

銷售商的平均利潤函數(shù)為

(15)

因此，生產(chǎn)商要確定K和r的最優(yōu)值使得自身利潤最大的決策可以表示成如下約束優(yōu)化問題

(16)

(17)

其中K>1，0

而生產(chǎn)商只會滿足銷售商的最低要求，即

(18)

將(15)式代入(18)式可得

(19)

將(19)式代入(14)，得

當K>0時，有

(20)

令

顯然f(K)是關(guān)于K的遞減函數(shù)，同時由于f(+∞)<0，以及

從而f(K)在(1,+∞)內(nèi)有唯一的根K*，這即是K的最優(yōu)值，將K*代入(19)式可得r的最優(yōu)值r*.又因為在此協(xié)調(diào)策略下生產(chǎn)商的利潤也必須不受損失，即

可以得到L的最大值L*為

當L∈(0,L*)時，對(19)式作等價變形，有

(21)

結(jié)合(21)式以及w-c-x<0，可以推出當L∈(0,L*)時必有0

f(u)=β(p-c-x)uβ-1+(1-β)(Ar+Am)uβ-2-h/α(2-β)=0.

顯然df(u)/du<0.又由于

f(0)=+∞>0，f(+∞)=-h/α(2-β)<0，

4 算例和靈敏性分析

為說明本模型的求解過程及其現(xiàn)實應用，現(xiàn)給出一個具體算例.供應鏈系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)如下：

α=40,β=0.3,p=40,c=20,x=12,Am=80,Ar=20，h=0.5,λ=60.

下面分析單位產(chǎn)品的運輸費用x對供需雙方的影響，見表1所列.

表1 單位產(chǎn)品的運輸費用x對最優(yōu)解的影響

由表1可得出以下結(jié)論：

(i) 隨著x的增加，w*,k*和r*均逐漸減小.這是因為x增大意味著運輸費用的提高，生產(chǎn)商為了提高銷售商的訂購積極性，w*,k*就要隨之減小，同時生產(chǎn)商為獲取高利潤，必然降低分擔運輸費用的比例r*，故模型是符合實際情況的；

(iii) 經(jīng)過分擔運輸費用策略的協(xié)調(diào)后，供需雙方的利潤都增加了，說明該協(xié)調(diào)策略是可行的，合理的.

5 結(jié)束語

本文在需求率依賴于當前庫存水平條件下，研究了由單一銷售商和單一生產(chǎn)商組成的兩層非一體化供應鏈的協(xié)調(diào)問題.與已有需求受庫存水平影響下的供應鏈協(xié)調(diào)模型不同，本模型考慮產(chǎn)品的運輸費用為訂貨量的函數(shù)，產(chǎn)品庫存費包含兩部分費用，并提出了分擔運輸費用的協(xié)調(diào)策略.研究結(jié)果表明該協(xié)調(diào)策略能使得供應鏈達到完美協(xié)調(diào).模型可進一步研究易腐品的協(xié)調(diào)、多銷售商、多層供應鏈等情形.

[參 考 文 獻]

[1] Levin P I, McLaughlin C P, Lamon R P, et al. Productions/Operations Management: Contemporary Policy for Managing Operating Systems [M]. New York: McGraw-Hill, 1972： 373.

[2] Gupta R, Vrat P. Inventory model for stock-dependent consumption rate [J]. Opsearch, 1986, 23(1): 19-24.

[3] Sarkar B, Sarkar S. An improved inventory model with partial backlogging, time varying deterioration and stock-dependent demand[J]. Economic Modelling, 2013,30(1): 924-932.

[4] Pando V, García-Laguna J, San-José L A. Optimal policy for profit maximizing in an EOQ model under non-linear holding cost and stock-dependent demand rate [J]. International Journal of Systems Science, 2012, 43(11): 2160-2171.

[5] Yang Chih Te. An inventory model with both stock-dependent demand rate and stock-dependent holding cost rate[J].International Journal of Production Economics,2014,155(1):214-221.

[6] 田立平，孫群. 需求受庫存水平影響的短生命周期物品延遲訂貨的庫存管理[J].數(shù)學的實踐與認識,2014,44(5): 128-133.

[7] 段永瑞，楊瑾，霍佳震. 需求依賴于展示區(qū)庫存水平的易腐品訂購和轉(zhuǎn)運策略[J].運籌與管理,2014,23(4):51-57.

[8] 閔杰,周永務. 庫存水平影響需求變化的供應鏈協(xié)調(diào)[J].復旦學報:自然科學版,2007,46(4): 523-533.

[9] 賈濤，徐渝. 需求依賴于庫存量的供應鏈商業(yè)信用期問題研究[J].運籌與管理，2009，18(3):8-14.

[10] Zhong G Y, Zhou Y W, Improving the supply chain’s performance through trade credit under inventory-dependent demand and limited storage capacity[J]. International Journal of Production Economics,2013,143(2)：364-370.

[11] 李琳,周永務. 彈性需求下帶有分攤運費的供應鏈協(xié)調(diào)策略[J].計算機集成制造系統(tǒng),2007,13(1): 171-177.