黃華平

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

1 引 言

Schwarz引理是解析函數(shù)的重要定理，它對(duì)共形映射的建立，特別是對(duì)著名的Riemann映照定理的論證，起了很大作用. 它揭示出經(jīng)典解析映照后，由原像區(qū)域到像區(qū)域之間的有趣變化，給出了由給定區(qū)域來(lái)確定對(duì)象區(qū)域的有效估計(jì).

在正文開始之前，先給出如下記號(hào).

記D(z0,r)={z:|z-z0|

下面首先闡述Schwarz引理：

設(shè)f(z)∈H(D(0,1)), |f(z)|≤1(z∈D(0,1), 且f(0)=0, 則

(i) |f(z)|≤|z|,z∈D(0,1);

(ii) |f′(0)|≤1;

(iii) 若對(duì)某點(diǎn)0≠z0∈D(0,1),(i)或(ii)取等號(hào)，則?λ∈?D(0,1), 使得f(z)=λz.

Schwarz引理在解析函數(shù)論，幾何函數(shù)論，多元復(fù)分析等諸多領(lǐng)域中都應(yīng)用很廣. 例如，用它來(lái)證明Liouville定理(即有界整函數(shù)必為常數(shù))非常方便. 如下：

設(shè)f(z)在z平面上解析，且|f(z)|≤M(M>0是一個(gè)常數(shù)). ?r>0, 作輔助函數(shù)

則g(w)滿足Schwarz引理的條件. 遂由Schwarz引理，|g(w)|≤|w|,w∈D(0,1). 故

上式令r→∞, 即得f(z)=f(0)恒為常數(shù).

上述用Schwarz引理證明Liouville定理避免了通常的采用Cauchy不等式的證法[1]，從而簡(jiǎn)潔明了. 近些年來(lái)，關(guān)于Schwarz引理的推廣，已經(jīng)涌現(xiàn)出了許多杰出的工作，并且還出現(xiàn)了大量的應(yīng)用[2-8].

本文主要給出了Schwarz引理一種最常見的推廣形式的新證法，然后給出了兩個(gè)定理闡述了此推廣形式的應(yīng)用.

2 主要結(jié)果

首先引入Schwarz引理一個(gè)最常見的推廣形式，這種推廣形式文獻(xiàn)[4-8]都有，并且也有證明，但證明過(guò)程或者不詳細(xì)或者不完整. 本文給出了一種比較完整的新證法. 見如下引理1. 其次給出了一個(gè)常用性質(zhì)，本文也以引理形式給出，見如下引理2，同時(shí)給出了證明. 另外，還給出了兩個(gè)結(jié)論說(shuō)明了其應(yīng)用.

引理1設(shè)f(z)∈H(D(0,r)), |f(z)|≤M(z∈D(0,r)), 且f(0)=0, 則

證令

則g(z)∈H(D(0,r)). 事實(shí)上，只需證g(z)在z=0處可導(dǎo)即可. 如下：

利用復(fù)變函數(shù)的L ′Hospital法則，有

故g(z)在z=0處可導(dǎo)，從而g(z)∈H(D(0,r)).

對(duì)g(z)在D(0,r-ε)={z∶|z|

上面引理顯然大大的推廣了Schwarz引理. 事實(shí)上，在引理1中取r=M=1即可. 下面的性質(zhì)經(jīng)常用到，本文以引理形式給出.

證(i) 設(shè)z=x+iy, 則Rez=x, 從而

(e-ycosx+1)2-(e-ycosx-1)2=4e-ycosx≥0.

進(jìn)而(e-ycosx+1)2≥(e-ycosx-1)2, 導(dǎo)出

(ii) 由于

(2.1)

故

(2.2)

并且

(2.3)

定理1設(shè)f(z)∈H(D(0,r)), 且f(0)=0. 若Ref(z)≤C(z∈D(0,r)),C>0為常數(shù)，則

證取M>0, 令

則g(z)∈H(D(0,r)), 且|g(z)|≤M(z∈D(0,r)). 事實(shí)上，因u=Ref(z)≤C(C>0), 所以2C-f(z)=(2C-u)-iv≠0. 否則有2C-u=0, 從而由2C=u≤C得到C≤0, 矛盾. 再由f(z)∈H(D(0,r))可得g(z)∈H(D(0,r)). 而由(2C-u)2≥u2得到

即得

定理2設(shè)f(z)∈H(D(0,r)), 且f(0)=0. 若|Ref(z)|≤C(z∈D(0,r)),C>0為常數(shù)，則

證令f(z)=u(x,y)+iv(x,y). 若|Ref(z)|=C(z∈D(0,r)), 則u=±C. 由于f(z)∈H(D(0,r)), 故由解析函數(shù)的Cauchy-Riemann方程易得v為常數(shù)，于是f(z)在D(0,r)內(nèi)恒為常數(shù). 又f(0)=0, 進(jìn)而f(z)≡0(z∈D(0,r)). 此時(shí)定理得證.

下設(shè)|Ref(z)|0, 令

則g(z)∈H(D(0,r)), 且|g(z)|≤M(z∈D(0,r)). 事實(shí)上，由于

由于g(0)=0, 故由引理1，

(2.4)

(2.5)

又由

利用(2.5)式，有

再次利用(2.5)式，有

于是證得(ii).

(2.6)

注意到

(2.7)

由(2.5), (2.6), (2.7)式可得

證得(iv).

而

因此由引理2 (ii)得到

即得

證得(iii).

注意，定理2中的(ii)實(shí)際上可由(iv)直接得出，這是因?yàn)閨Imf(z)|≤|f(z)|對(duì)任意復(fù)變函數(shù)f(z)都成立. 定理2從本質(zhì)上給出了開圓盤內(nèi)滿足假設(shè)條件的解析函數(shù)的實(shí)部，虛部以及模的估計(jì)式.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 鐘玉泉. 復(fù)變函數(shù)論 [M].3版. 北京: 高等教育出版社，2004.

[2] Walter Rudin.Real and complex analysis[M]. Third edition.Beijing: China Machine Press，2004.

[3] 鄧冠鐵. 復(fù)分析[M].北京: 北京師范大學(xué)出版社，2010.

[4] 馬晟，楊溪. 有關(guān)Schwarz引理的一個(gè)注記[J]. 黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，30(6)：17-18.

[5] 何重月. 對(duì)Schwarz引理的探討[J]. 婁底師專學(xué)報(bào)，1995，2：4-7.

[6] 鄒中柱. Schwarz引理在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 懷化師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1987，1：43-46.

[7] 黃裕民. Schwarz引理的一些推廣[J]. 零陵師專學(xué)報(bào)，1982，1：63-69.

[8] 邵敏娟. Schwarz引理的幾點(diǎn)推廣[J]. 蘇州鐵道師院自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1985，1：12-15.