曹 燕， 呂小芬

(湖州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 浙江 湖州 313000)

1 引 言

設(shè)D是C中的單位圓盤,D上全純函數(shù)的全體記作H(D). 定義空間

設(shè)φ是[0,1)上的正規(guī)權(quán)函數(shù). 給定φ和0

定義混合?？臻gHp,q,φ是指H(D)中滿足‖f‖p,q,φ<∞的函數(shù)f的全體. 這里

對任意f∈H(D), 胡[1]指出

(1.1)

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)φ是正規(guī)權(quán), 0

(i)Lg∶H1,∞→Hp,q,φ是有界的;

(ii)Lg∶H1,∞→Hp,q,φ是緊的;

(iii)g∈Hp,q,(1-r2)φ.

進(jìn)一步地, ‖Lg‖H1,∞→Hp,q,φ?‖g‖p,q,(1-r2)φ

證(ii)? (i) 顯然成立.

(i)? (iii). 令f(z)=z,則f∈H1,∞且G(z)-G(0)=Lgf(z)∈Hp,q,φ, 其中G是g的一個原函數(shù). 由(1.1) 知g∈Hp,q,(1-r2)φ, 且

‖g‖p,q,(1-r2)φ?‖G(z)-G(0)‖p,q,φ=‖Lgf‖p,q,φ≤C‖Lg‖H1,∞→Hp,q,φ.

(2.1)

對f∈H1,∞, 由于Lgf(0)=0, 結(jié)合(1.1) ,有

→0 (j→∞).

從而可知,Lg∶H1,∞→Hp,q,φ是緊的. 進(jìn)一步, 對任一f∈H1,∞, 由(1.1) 可知

結(jié)合(2.1) 我們有‖Lg‖H1,∞→Hp,q,φ?‖g‖p,q,(1-r2)φ.

定理2設(shè)φ是正規(guī)權(quán),g∈H(D), 則下列條件等價:

(i)Lg(H1,∞)?Bφ,0;

(ii)Lg∶H1,∞→Bφ,0是有界算子;

(iii)Lg∶H1,∞→Bφ是緊算子;

(iv)Lg∶H1,∞→Bφ,0是緊算子;

(v)G∈Bφ,0, 其中G為g的一個原函數(shù).

證(ii)?(i)和(iv)?(iii)顯然成立. (ii)? (v). 類似于定理1, 令f(z)=z, 則G∈Bφ,0且

(2.2)

(v)?(ii). 對任意f∈H1,∞

(2.3)

因此h(0)=0且對任意z∈D, 當(dāng)j→∞時,

所以f′(z)g(z)=h′(z). 因此,

綜上所述,Lg∶H1,∞→Bφ,0是一個閉算子. 由閉圖像定理得,Lg∶H1,∞→Bφ,0有界.

兩者矛盾. 所以G∈Bφ,0.

其中C 與ε無關(guān). 從而可知Lg∶H1,∞→Bφ,0是緊算子.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] Hu Zhangjian. Extended Cesaro operators on mixed norm spaces[J]. Proc. Amer. Math. Soc., 2003, 131: 2171-2179.

[ 2 ] Pommerenke Ch. Schlichte funktionen und analytische funktionen von beschrankter mittlerer oszi-lation[J]. Comment Math. Helv., 1977, 52: 591-602.

[ 3 ] Aleman A and Siskakis A G. An integral operator onHp[J]. Complex Variables, 1995, 28：149-158.

[ 4 ] Aleman A, Siskakis A G.Integration operators on Bergman spaces[J]. Indiana University Math.J., 1997, 46: 337-356.

[ 5 ] Aleman A, Cima J. An integral operator onHpand Hardy’s inequality[J]. J. Anal. Math., 2001, 85: 157-176.

[ 6 ] 王漱石, 胡璋劍. Bloch 型空間上的廣義Cesaro 算子[J]. 數(shù)學(xué)年刊, A 輯, 2005, 26(5): 613-624.

[ 7 ] Li Songxiao, Stevic S. Riemann-Stieltjes operators between different weighted Bergman spaces[J]. Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin, 2008, 15(4): 677-686.

[ 8 ] Li Songxiao, Stevic S, Riemann-Stieltjes operators from H1 space toα-Bloch spaces[J]. Integral Transforms Spec. Funct., 2008, 19: 767-776.

[ 9 ] Sharma A K, Sharma S D. Riemann-Stieltjes operators between weighted Bloch and weighted Bergman spaces[J]. Int. J. Contemp. Math. Sci., 2007, 2: 759-772.