時統(tǒng)業(yè)， 吳 涵， 周國輝

(海軍指揮學(xué)院 信息系，江蘇 南京 211800)

1 引 言

設(shè)f∶[a，b]→是(a，b)上的四階連續(xù)可微函數(shù)，且則有

上述不等式稱為Simpson不等式[1].

設(shè)f∶I?→是I°上的可微函數(shù)，a，b∈I°，a

上述不等式稱為Ostrowski不等式[2].

文[3]給出Simpson不等式的如下改進(jìn)：

定理A[3]設(shè)f∶[a，b]→為連續(xù)函數(shù)，且f′∈L2(a，b)，則

(1)

文[4]給出不等式(1)的帶有一個參數(shù)的推廣. 文[5]將不等式(1)推廣到高階可微函數(shù)，文[6-7]對有界變差函數(shù)給出加權(quán)的Simpson型不等式.已有許多文獻(xiàn)給出Ostrowski不等式的推廣和改進(jìn)，這里僅推薦對作者啟發(fā)較大的文獻(xiàn)[3，8-10].

本文給出一個新的嚴(yán)格的加權(quán)Ostrowski型不等式，在特殊情況下，由本文的結(jié)果可得定理A的一個加權(quán)推廣.

引理1設(shè)f∶[a，b]→為連續(xù)函數(shù)，且f′∈L1(a，b)，g(t)是[a，b]上正的可積函數(shù)，則對任意x∈[a，(a+b)/2]，有

(2)

其中

證由分部積分法得

(3)

(4)

(5)

式(3)，(4)，(5)相加得式(2).

引理2[11](Grüss不等式的變式) 設(shè)h，g∶[a，b]→是兩個可積函數(shù)，存在常數(shù)φ和Φ使得對任意x∈[a，b]有φ≤g(x)≤Φ，則有

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)f∶[a，b]→為連續(xù)函數(shù)，且f′∈L2(a，b)，g(t)是[a，b]上正的可積函數(shù)，且關(guān)于t=(a+b)/2對稱，則對任意x∈[a，(a+b)/2]有

(6)

其中

對于給定的區(qū)間[a，b]和給定的滿足定理1條件的函數(shù)g(t)，常數(shù)I是最佳的，即不能被更小的常數(shù)代替.

證由h(t)的定義、分部積分法及g(t)的對稱性得

故有

(7)

由Cauchy積分不等式得

(8)

由h(t)的定義得

=I+Δ.

(9)

在式(9)的推導(dǎo)中使用了下面事實：

由式(2)，(7)，(8)，(9)得式(6).

下面證明對于給定的區(qū)間[a，b]和滿足定理1條件的函數(shù)g(t)，常數(shù)I是最佳的.假設(shè)常數(shù)C使得對于滿足定理1條件的任意函數(shù)f(t)和任意x∈[a，(a+b)/2]，都有

(10)

取函數(shù)

則f(t)在[a，b]連續(xù)且分段可導(dǎo). 利用g(t)的對稱性得

f(a)=f(b)=0，

(11)

(12)

易知

(13)

由f(t)的定義，經(jīng)過計算得

(14)

其中式(14)的推導(dǎo)使用了下面事實：

于是使用式(11-14)得

推論1.1設(shè)f∶[a，b]→為連續(xù)函數(shù)，且f′∈L2(a，b)，則對任意x∈[a，(a+b)/2]，有

(15)

證在定理1中取g(t)≡1，則計算可得

由式(6)得到式(15).下面證明常數(shù)1/108是最佳的.假設(shè)常數(shù)C使得不等式

(16)

對于任意滿足推論1條件的f(t)和任意x∈[a，(a+b)/2]都成立.取函數(shù)

則f(t)在[a，b]上連續(xù)，且分段可導(dǎo)，并且

又由定理1的證明可知式(16)的右端等于

所以式(16)也即

由此得C≥1/108，即常數(shù)1/108是最佳的.

推論1.2在定理1中，取x=(a+b)/2得

其中

常數(shù)I是最佳的，即不能被更小的常數(shù)代替.

特別地，當(dāng)g(t)≡1時I=(b-a)3/36，Γ=0，由推論2得到定理A.

推論1.3在定理1中取x=a得

其中

定理2設(shè)f∶[a，b]→為連續(xù)函數(shù)，且f′∈L2(a，b)，g(t)是[a，b]上正的可積函數(shù)，且關(guān)于t=c對稱，x∈[a，c]，φ(t)=g(τ)dτ，t∈[a，b].若存在常數(shù)γ和Γ使得對任意t∈[a，b]有γ≤f′(t)≤Γ，則有

(17)

證由引理2得

(18)

其中用到下面事實

不妨設(shè)

則有

(19)

(20)

當(dāng)x∈[a，μ]時，

(21)

當(dāng)x∈(μ，c]時，

(22)

綜合式(18-22)得式(17).

下面說明不等式(17)是嚴(yán)格的.事實上，當(dāng)x∈[a，μ]時，取函數(shù)

則f(t)滿足定理2條件，且式(17)的等號成立.當(dāng)x∈(μ，c]時，取函數(shù)

則f(t)滿足定理2條件，且式(17)的等號成立.

推論2.1設(shè)f∶[a，b]→為連續(xù)函數(shù)，且f′∈L2(a，b)，g(t)是[a，b]上正的可積函數(shù)，且關(guān)于t=(a+b)/2對稱.若存在常數(shù)γ和Γ使得對任意t∈[a，b]有γ≤f′(t)≤Γ，則有

(17)

式(17)在x=(2a+b)/3時取得最好結(jié)果：

證在定理2中取g(t)≡1得證.

推論2.2在定理2的條件下有

(17)

證在定理2中取x=c得證.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] Dragomir S S，Agarwal R P，Cerone P.On Simpson′s inequality and applications[J]. J.of Inequal.Appl.，2000, 5(6)：533-579.

[2] Ostrowski A.über die Absolutabweichung einer differentiierbaren Funktion von ihrem Integralmittelwert[J]. Comment. Math.Helv.，1938，10(1): 226-227.

[4] Liu Z.Note on a paper by N. Ujevi[J].Applied Mathematics Letters，2007,20(6)：659-663.

[5] Shi Y X， Liu Z. Some sharp Simpson type inequalities and applications[J].Applied Mathematics E-Notes，2009,9(7)：205-215.

[6] Tseng K L，Yang G S, Dragomir S S.On weighted Simpson type inequalities and applications[J].J.Math Inequal.，2007，1(1)：13-22.

[8] Tseng K L，Hwang S R，Dragomir S S.Generalizations of weighted Ostrowski type inequalities for mapping of bounded variation and their applications[J].Computers and Mathematics with Applications，2008, 55(8)：1785-1793.

[9] Tseng K L，Hwang S R，Yang G S，etal.Weighted Ostrowski integral inequality for mappings of bounded variation[J].Taiwanese Journal of Mathematics，2011，15(2)：573-585.

[10] Alomari M W.A companion of Dragomir′s generalization of Ostrowski′s inequality and applications in numerical integration[J].RGMIA Res.Rep.Coll., 2011(14), Article 50.

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