韓茂安

(上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，上海200234)

1 引 言

指數(shù)函數(shù)ax(其中a>0,a≠1,a∈)、對數(shù)函數(shù)logax(其中a>0,a≠1,x>0)與冪函數(shù)xα(其中α∈,x>0)是數(shù)學(xué)分析中三類基本的初等函數(shù), 它們在所述的定義域上都是嚴(yán)格單調(diào)的, 連續(xù)的, 并且滿足下列熟悉的性質(zhì):

ax+y=ax·ay,axy=axy,

(1)

logaxy=logax+logay, logaxα=αlogax,

(2)

(3)

這些性質(zhì)在中學(xué)數(shù)學(xué)的教材中出現(xiàn)過, 但沒有給出證明,甚至當(dāng)x與y均為有理數(shù)時(shí)也沒有證明(1)式.

筆者查閱了一批數(shù)學(xué)分析教材, 只發(fā)現(xiàn)式(1)在文[1]中作為定理出現(xiàn)(見[1]中第四章定理4.10), 但文[1]只證明了式(1)的第一式(我們發(fā)現(xiàn)式 (1)第二式的證明將用到[1]中第四章定理4.11, 這可能是[1]的作者未曾想到的), 文[2] (第一卷第一分冊)對式(1)的第一式也有證明, 但對第二式只提及x與y為有理數(shù)的情形. 式 (2)的第二式在文[1]中也出現(xiàn)過 (見[1]中第一章第4節(jié)式(2)), 其推導(dǎo)要用到式(1)的第二式, 而式 (2)的第一式以及式(3)在文[1,2]等許多數(shù)學(xué)分析教材中均沒有證明.

本文有如下兩個(gè)目的:

①用兩種不同的思路證明式(1), 我們發(fā)現(xiàn)其證明將用到指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性與有理冪函數(shù)的連續(xù)性, 這表明文[1]中第四章的定理4.10與4.11需要做一些調(diào)整;

②利用式(1)給出(2)與(3)等公式的嚴(yán)格證明.

以上兩點(diǎn)可以彌補(bǔ)數(shù)學(xué)分析教材的內(nèi)容缺失,建立數(shù)學(xué)分析教材與教學(xué)在基本初等函數(shù)的性質(zhì)方面的系統(tǒng)性和完整性, 也是筆者最近幾年主講數(shù)學(xué)分析的一點(diǎn)教學(xué)心得.

2 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)

首先, 我們回顧中學(xué)數(shù)學(xué)對指數(shù)函數(shù)ax(其中a>0,a≠1)的定義:

按照上面定義, 對任何有理數(shù)r,ar都有意義, 而且不難證明ar作為r的函數(shù)關(guān)于有理數(shù)r是嚴(yán)格單調(diào)的,且式(1)對任何有理數(shù)x與y成立(這是中學(xué)里學(xué)過的,也是不難推出的，但為了完整,我們在本文附錄中給出證明).

現(xiàn)設(shè)x為無理數(shù), 按文[1], 有如下定義(見[1]中第一章第3節(jié)定義2):

文[1]利用ar關(guān)于有理數(shù)r的單調(diào)性證明了下列性質(zhì)(見[1] 中第一章第4節(jié)例6):

性質(zhì)1指數(shù)函數(shù)ax(其中a>0,a≠1)在其定義域上是嚴(yán)格單調(diào)的, 且當(dāng)a>1(0

如所周知,對數(shù)函數(shù)logax定義為指數(shù)函數(shù)ax的反函數(shù), 由于嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)也是嚴(yán)格單調(diào)的, 故成立

性質(zhì)2對數(shù)函數(shù)logax(其中a>0,a≠1)在其定義域0,+∞上是嚴(yán)格單調(diào)的, 且當(dāng)a>1 (0

由反函數(shù)的性質(zhì), 可得下列兩個(gè)等式恒成立

alogax=x,x>0,
logaax=x,x∈.

(4)

由文[1]第四章定理4.10與定理4.11知下列性質(zhì)成立(我們給出兩種證法)

性質(zhì)3設(shè)a>0,a≠1, 則

(i)ax+y=ax·ay,x,y∈;

(ii)ax在上連續(xù).

證法一文 [1]定理4.10中利用ax的定義證明了結(jié)論(i), 而后在定理4.11中又利用結(jié)論 (i)及

證明了結(jié)論(ii). 這一思路的詳細(xì)過程這里不再重復(fù).

證法二與上述思路不同, 我們先利用性質(zhì)2證明結(jié)論(ii), 而后利用結(jié)論(ii)來證明結(jié)論(i). 設(shè)x0∈,下證

?ε>0,不等式ax-ax0<ε等價(jià)于

ax0-ε

(5)

不妨設(shè)ε

logaax0-ε1，

或

logaax0+ε

令

則δ>0, 且當(dāng)x-x0<δ時(shí)有ax-ax0<ε, 故ax在上連續(xù).

為證結(jié)論(i), 取兩個(gè)有理數(shù)列xn與yn, 使當(dāng)n→∞時(shí)xn→x,yn→y, 則由結(jié)論 (ii)及歸結(jié)原則知

在進(jìn)一步給出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)之前, 作為預(yù)備,先給出有理冪函數(shù)的一個(gè)性質(zhì).

性質(zhì)4設(shè)r為有理數(shù), 且r≠0, 則冪函數(shù)xr在0,+∞上是嚴(yán)格單調(diào)的, 并且是連續(xù)的.

性質(zhì)5設(shè)a>0,a≠1, 則對任意實(shí)數(shù)x與y, 有axy=axy.

證法一這一證法需要用到指數(shù)函數(shù)定義、性質(zhì)1、性質(zhì)3中指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性及性質(zhì)4.

今以a>1為例證之. 又不妨設(shè)xy≠0.由axy的定義, ?ε>0,存在有理數(shù)r≤xy,使axy-ε0<0時(shí)r2≤yr2≥y以及r≤r1r2.于是

ar≤ar1r2=ar1r2≤axr2≤axy.

上式用到函數(shù)ax與xr2的單調(diào)性, 故有

axy-ε

由ε的任意性知axy≤axy.

下分x>0與x<0兩種情況分別討論.

若x>0, 則由axy的定義, ?ε>0,存在有理數(shù)r≤y,使

axy-ε

由于冪函數(shù)xr與指數(shù)函數(shù)ax均連續(xù), 故

從而

axy-ε

由ε的任意性知axy≤axy.

若x<0, 則axy作為y的函數(shù)是連續(xù)的, 故?y∈R,?ε>0,存在有理數(shù)r≥y, 使

故也有axy≤axy.

證法二上述證法比較繁瑣, 這里再提供一個(gè)較巧妙和簡單的證明, 只用到指數(shù)函數(shù)和有理冪函數(shù)的連續(xù)性.

取兩個(gè)有理數(shù)列rn與sn, 使當(dāng)n→∞時(shí),rn→x,sn→y, 則由性質(zhì)3(ii)和性質(zhì)4知

性質(zhì)6設(shè)a>0,a≠1, 則

(i) logaxy=logax+logay,x>0,y>0;

(ii)logaxα=αlogax,x>0;

(iv)logax在x>0上連續(xù).

證由性質(zhì)3(i)與式(4)知

alogax+logay=alogax·alogay=xy,

兩邊取對數(shù)即得結(jié)論(i).

由性質(zhì)5與式(4)知

xα=alogaxα=aαlogax,

兩邊取對數(shù)即得結(jié)論(ii).

仍由性質(zhì)5與式(4)知

alogablogbx=alogablogbx=blogbx=x,

兩邊取對數(shù)可得

logablogbx=logax.

即得結(jié)論(iii).

由性質(zhì)1與性質(zhì)3(ii)知對數(shù)函數(shù)作為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是連續(xù)的, 即得結(jié)論(iv).

上述性質(zhì)的結(jié)論(iii)就是中學(xué)里講過但沒有證明過的換底公式. 由上述性質(zhì)的結(jié)論(i)與(ii)可知, 對x>0,y>0有

3 冪函數(shù)的定義與性質(zhì)

利用指數(shù)函數(shù)的定義, 即知下述冪函數(shù)的定義:

證由性質(zhì)5知

xα=eαlnx,

故由性質(zhì)1與性質(zhì)2知當(dāng)α>0<0時(shí)xα為嚴(yán)格遞增(嚴(yán)格遞減)的, 且由性質(zhì)3(ii)與性質(zhì)6(iii)及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性知xα在x>0上是連續(xù)的.

性質(zhì)8對任意正實(shí)數(shù)x與y, 成立

(i)xyα=xαyα;

證由性質(zhì)5、性質(zhì)3(i)、性質(zhì)6(i)可得

xαyα=eαlnxeαlny=eαlnx+lny=eαlnxy=xyα.

進(jìn)一步由性質(zhì)5和上式又得

即得結(jié)論.

4 附錄A

于是由解的唯一性知

(A.1)

從而有

(A.2)

如果r<0, 則利用ar=(a-1)-r來定義ar. 可證, 若n為正整數(shù), 則

(A.3)

事實(shí)上,由定義知

即得(A.3)第一式. 進(jìn)一步利用該式及(A.1)可得

以及

進(jìn)一步利用(A.2)與性質(zhì)4可證

命題1設(shè)a>0,a≠1, 則

(i) 對任何有理數(shù)r1與r2, 成立ar1+r2=ar1·ar2,ar1r2=ar1r2;

(ii) 有理冪指數(shù)函數(shù)ar關(guān)于有理數(shù)r是嚴(yán)格單調(diào)的.

同樣,由(A.2)可知

于是(ar1)r2=ar1r2.即得結(jié)論(i).

(ii) 由 (i)知(ar)-1=(a-1)r,故不妨設(shè)a>1,由(i)知,若r1與r2為兩個(gè)有理數(shù)，且r10.于是只需證ar0>1.為此,考慮有理冪函數(shù)f(x)=xr0,由性質(zhì)4知該函數(shù)是嚴(yán)格增加的,故對a>1有f(a)>f1,即ar0>1.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊)[M]. 4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2] 菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程[M].葉彥謙，等譯.北京：高等教育出版社，2010.