鄭華盛

(南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西南昌330063)

眾所周知，微積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，積分運(yùn)算與微分運(yùn)算二者互為逆運(yùn)算. 但積分的計(jì)算要比微分的計(jì)算更為復(fù)雜，更為靈活，更具有技巧性.文獻(xiàn)[1]對(duì)不定積分的一些基本計(jì)算方法作了較為詳細(xì)地介紹.文獻(xiàn)[2]從微分的角度研究了不定積分的解法.本文主要從線性代數(shù)的角度研究如何求解不定積分，進(jìn)而探索新的積分方法，提出一種計(jì)算不定積分的代數(shù)方法，并成功地應(yīng)用于求解高等數(shù)學(xué)中幾類特殊函數(shù)的不定積分.

1 主要結(jié)論

先給出有關(guān)分塊矩陣逆的一個(gè)結(jié)論：

定理1設(shè)V為上全體可微函數(shù)所組成的一個(gè)線性空間，pi(x)∈V，(i=1, 2, …,n) ，p1(x) ,p2(x) ,…,pn(x)線性無(wú)關(guān)，

W=Span(p1(x),p2(x),…,pn(x))，f(x)∈W，

且微分運(yùn)算D關(guān)于W是封閉的，即?p(x)∈W，Dp(x)=p′(x)∈W，則

(i)D(p1(x),p2(x),…,pn(x))=(p1(x),p2(x),…,pn(x))A，其中A∈n×n；

(ii) 若Dp1(x),Dp2(x),…,Dpn(x) 線性無(wú)關(guān)，則A可逆；

(iii) 若A可逆，不妨設(shè)A-1=(bij)n×n，則

其中C為任意常數(shù).

證(i)由已知，有

Dp1(x)=p′1(x)=a11p1(x)+a21p2(x)+…+an1pn(x),

Dp2(x)=p′2(x)=a12p1(x)+a22p2(x)+…+an2pn(x),

……

Dpn(x)=p′n(x)=a1np1(x)+a2np2(x)+…+annpn(x).

即

D(p1(x),p2(x),…,pn(x))=(p1(x),p2(x),…,pn(x))A，

其中A=(aij)n×n.

(ii) 若Dp1(x),Dp2(x),…,Dpn(x) 線性無(wú)關(guān)，則由

λ1·Dp1(x)+λ2·Dp2(x)+…+λn·Dpn(x)=0，

得λ1=λ2=…=λn=0 ，即

只有零解，從而得A≠0，即A可逆.

(iii) 若A可逆，不妨設(shè)A-1=(bij)n×n，則在相差任意常數(shù)的情況下，微分變換D可逆，且其逆變換D-1滿足

D-1(p1(x),p2(x),…,pn(x))=(p1(x),p2(x),…,pn(x))A-1+C，

即

2 應(yīng)用實(shí)例

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，我們計(jì)算以下五種類型的不定積分.

解設(shè)f(x)=eαxcosβx, 則f′(x)=αeαxcosβx-βeαxsinβx，且由eαxcosβx及eαxsinβx求導(dǎo)后的表達(dá)式，可知選取基函數(shù)

p1(x)=eαxcosβx，p2(x)=eαxsinβx，

則有

D(p1(x),p2(x))=(p′1(x),p′2(x))=(p1(x),p2(x))A，

解設(shè)f(x)=cosαxsinβx, 則

f′(x)=-αsinαx·sinβx+βcosαx·sinβx，

且由sinαxsinβx及cosαxsinβx求導(dǎo)后的表達(dá)式，可知選取基函數(shù)

p1(x)=cosαxsinβx，p2(x)=sinαxcosβx，

p3(x)=sinαxsinβx，p4(x)=cosαxcosβx，

則有

D(p1(x),p2(x),p3(x),p4(x)) =(p′1(x),p′2(x),p′3(x),p′4(x))

=(p1(x),p2(x),p3(x),p4(x))A,

其中

而由引理1，得

其中s=α2-β2， 故由定理1得

解設(shè)f(x)=x2e3x, 則

f′(x)=2xe3x+3x2e3x，

且由xe3x及x2e3x求導(dǎo)后的表達(dá)式，可知選取基函數(shù)

p1(x)=x2e3x,p2(x)=xe3x,p3(x)=e3x，

則有

D(p1(x),p2(x),p3(x)) =(p′1(x),p′2(x),p′3(x))

=(p1(x),p2(x),p3(x))A，

注 (i)當(dāng)m較大時(shí)，A為稀疏矩陣，可將A分塊后由引理1求A-1，計(jì)算并不復(fù)雜；

解設(shè)f(x)=x3cos2x, 則f′(x)=3x2cos2x-2x3sin2x，且由x2cos2x與x3sin2x求導(dǎo)后的表達(dá)式，可知選取基函數(shù)

則有

D(p1(x),p2(x),…,p8(x))=(p1(x),p2(x),…,p8(x))A，

其中

而由引理1可先求B-1,D-1，再求A-1，得

故由定理1可得

解設(shè)f(x)=xeαxcosβx, 則

f′(x)= eαxcosβx+αxeαxcosβ-βxeαxsinβx，

且由eαxcosβx，xeαxcosβx及xeαxsinβx求導(dǎo)后的表達(dá)式，可知取基函數(shù)

p1(x)=xeαxcosβx,p2(x)=xeαxsinβx，

p3(x)=eαxcosβx,p4(x)=eαxsinβx，

則有

D(p1(x),p2(x),p3(x),p4(x))=(p1(x),p2(x),p3(x),p4(x))A，

其中

由引理1得

其中l(wèi)=α2+β2， 故由定理1得

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M]. 5版.北京：高等教育出版社，2005:182-221.

[2] 郭鵬云，云文在，田強(qiáng)，陳向華，宋志平. 不定積分解法研究[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2012,28(3)：149-153.

[3] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 線性代數(shù)[M].4版. 北京：高等教育出版社，2008:46-56；141-157.

[4] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系. 高等代數(shù)[M].北京：人民教育出版社，1978:177-189.