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        J正交矩陣的一些性質(zhì)

        2014-09-17 01:52:52袁志杰
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2014年1期
        關(guān)鍵詞:對(duì)角特征值結(jié)論

        袁志杰

        (合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230009)

        1 引 言

        稱(chēng)對(duì)角元為+1或-1的n階對(duì)角矩陣為符號(hào)矩陣,記為J.

        定義若存在n階符號(hào)矩陣J,使得QJQT=J,則稱(chēng)n階矩陣Q為J正交矩陣,或稱(chēng)為超正規(guī)矩陣.

        2 主要結(jié)論

        關(guān)于J正交矩陣,下列性質(zhì)是顯然的:

        性質(zhì)1若Q為J正交矩陣,則JQ,QJ,JQJ也是J正交矩陣.

        性質(zhì)2若Q為J正交矩陣,則Q非奇異,且Q-1=JQTJ.

        性質(zhì)4若Q為J正交矩陣,則detQ=1.

        性質(zhì)5若Q為J正交矩陣,則Q-1,Qn也是J正交矩陣.

        性質(zhì)1與性質(zhì)2只需注意到J2=I即可得,性質(zhì)3首先證明QT也是J正交矩陣,順便糾正文獻(xiàn)[1]的筆誤(P149-P150).在QJQT=J的兩邊同時(shí)右乘JQ得

        QJQT(JQ)=J(JQ), 即QJ(QTJQ)=Q.

        在該式兩邊同時(shí)左乘J-1Q-1,可得QTJQ=J-1=J,即QT也是J正交矩陣.至于后面的分塊矩陣,根據(jù)定義可證也是J正交矩陣(不同的是符號(hào)矩陣).對(duì)QJQT=J兩邊同取行列式便得性質(zhì)4.根據(jù)性質(zhì)2和性質(zhì)3,Q-1是J正交矩陣;而

        QnJ(Qn)T=Qn-1(QJQT)(Qn-1)T=Qn-1J(Qn-1)T=…=QJQT=J,

        故Qn也是J正交矩陣.

        下面的定理給出了J正交矩陣的F范數(shù)的估計(jì),即定理1.

        (1)

        從而

        Q是正交矩陣;反之顯然.

        推論1設(shè)Q是對(duì)稱(chēng)的J正交矩陣,則有

        其中S=iJ的第i個(gè)對(duì)角元為-1.

        其中S=iJ的第i個(gè)對(duì)角元為-1.

        正交矩陣的特征值的模必為1,但J正交矩陣是否還具有該性質(zhì)呢?設(shè)λ是J正交矩陣Q的一個(gè)特征值,x是屬于λ的特征向量,即Qx=λx,由于QTJQ=J,在該式兩邊同時(shí)左乘xT和右乘x,得xTQTJQx=xTJx,即λ2xTJx=xTJx,因?yàn)閤TJx未必非零,故λ2=1未必成立,下面的定理給出了特征值的模為1的充分條件.

        定理2若λ是n階J正交矩陣Q的k重特征根,且k>n-k,則|λ|=1.

        證首先由于Q-1=JQTJ,故Q-1與Q有相同的特征值.設(shè)Q的特征值為

        (2)

        其中

        λ≠μi(i=1,…,n-k),

        則Q-1的特征值為

        (3)

        (4)

        由于(3)與 (4)為同一組數(shù),可得

        推論2若λ是n階J正交矩陣Q的n重特征根,則必有λ=1.

        證因?yàn)橹靥卣鞲e的模必為1,而所有特征根之積的模為1,故結(jié)論成立.

        對(duì)于對(duì)稱(chēng)的J正交矩陣,關(guān)于特征根的結(jié)論還有下面的定理3.

        定理3設(shè)Q為n階對(duì)稱(chēng)J正交矩陣,且J≠I(mǎi),則JQ必有特征根1與-1.

        證當(dāng)Q=J時(shí),結(jié)論顯然成立.假設(shè)Q≠J,由QJQ=J得(QJ)2=I,故QJ的特征根為1或-1.又存在正交陣R,使得

        這里tii是QJ的特征根.若tii=1(i=1,…,n),則由

        可推知tij=0(i

        推論3對(duì)于n階對(duì)稱(chēng)J正交矩陣Q=(qij)n×n,當(dāng)J≠I(mǎi)時(shí),有

        其中S=iJ的第i個(gè)對(duì)角元為-1.

        由推論3的證明過(guò)程,可以得到2階與3階對(duì)稱(chēng)J正交矩陣Q的對(duì)角元之間的等式,即推論4.

        推論4設(shè)J≠I(mǎi).若Q為2階對(duì)稱(chēng)J正交矩陣,則q11=q22;若Q為3階對(duì)稱(chēng)J正交矩陣,則q11-q22-q33=1.

        [參 考 文 獻(xiàn)]

        [1] 張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004.

        [2] 袁暉坪.準(zhǔn)正交矩陣與準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)矩陣[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2004,21(4):641-644.

        [3] 佟文延.廣義正交矩陣[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1984,27(6):801.

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