袁志杰

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

1 引 言

稱(chēng)對(duì)角元為+1或-1的n階對(duì)角矩陣為符號(hào)矩陣，記為J.

定義若存在n階符號(hào)矩陣J，使得QJQT=J，則稱(chēng)n階矩陣Q為J正交矩陣，或稱(chēng)為超正規(guī)矩陣.

2 主要結(jié)論

關(guān)于J正交矩陣，下列性質(zhì)是顯然的：

性質(zhì)1若Q為J正交矩陣，則JQ,QJ,JQJ也是J正交矩陣.

性質(zhì)2若Q為J正交矩陣，則Q非奇異，且Q-1=JQTJ.

性質(zhì)4若Q為J正交矩陣，則detQ=1.

性質(zhì)5若Q為J正交矩陣，則Q-1,Qn也是J正交矩陣.

性質(zhì)1與性質(zhì)2只需注意到J2=I即可得，性質(zhì)3首先證明QT也是J正交矩陣，順便糾正文獻(xiàn)[1]的筆誤(P149-P150).在QJQT=J的兩邊同時(shí)右乘JQ得

QJQT(JQ)=J(JQ)， 即QJ(QTJQ)=Q.

在該式兩邊同時(shí)左乘J-1Q-1，可得QTJQ=J-1=J，即QT也是J正交矩陣.至于后面的分塊矩陣，根據(jù)定義可證也是J正交矩陣(不同的是符號(hào)矩陣).對(duì)QJQT=J兩邊同取行列式便得性質(zhì)4.根據(jù)性質(zhì)2和性質(zhì)3，Q-1是J正交矩陣；而

QnJ(Qn)T=Qn-1(QJQT)(Qn-1)T=Qn-1J(Qn-1)T=…=QJQT=J，

故Qn也是J正交矩陣.

下面的定理給出了J正交矩陣的F范數(shù)的估計(jì)，即定理1.

(1)

故

從而

Q是正交矩陣；反之顯然.

推論1設(shè)Q是對(duì)稱(chēng)的J正交矩陣，則有

其中S=iJ的第i個(gè)對(duì)角元為-1.

其中S=iJ的第i個(gè)對(duì)角元為-1.

正交矩陣的特征值的模必為1，但J正交矩陣是否還具有該性質(zhì)呢？設(shè)λ是J正交矩陣Q的一個(gè)特征值，x是屬于λ的特征向量，即Qx=λx，由于QTJQ=J，在該式兩邊同時(shí)左乘xT和右乘x，得xTQTJQx=xTJx，即λ2xTJx=xTJx，因?yàn)閤TJx未必非零，故λ2=1未必成立，下面的定理給出了特征值的模為1的充分條件.

定理2若λ是n階J正交矩陣Q的k重特征根，且k>n-k，則|λ|=1.

證首先由于Q-1=JQTJ，故Q-1與Q有相同的特征值.設(shè)Q的特征值為

(2)

其中

λ≠μi(i=1,…,n-k)，

則Q-1的特征值為

(3)

(4)

由于(3)與 (4)為同一組數(shù)，可得

推論2若λ是n階J正交矩陣Q的n重特征根，則必有λ=1.

證因?yàn)橹靥卣鞲e的模必為1，而所有特征根之積的模為1，故結(jié)論成立.

對(duì)于對(duì)稱(chēng)的J正交矩陣，關(guān)于特征根的結(jié)論還有下面的定理3.

定理3設(shè)Q為n階對(duì)稱(chēng)J正交矩陣，且J≠I(mǎi)，則JQ必有特征根1與-1.

證當(dāng)Q=J時(shí)，結(jié)論顯然成立.假設(shè)Q≠J，由QJQ=J得(QJ)2=I，故QJ的特征根為1或-1.又存在正交陣R，使得

這里tii是QJ的特征根.若tii=1(i=1,…,n)，則由

可推知tij=0(i

推論3對(duì)于n階對(duì)稱(chēng)J正交矩陣Q=(qij)n×n，當(dāng)J≠I(mǎi)時(shí)，有

其中S=iJ的第i個(gè)對(duì)角元為-1.

由推論3的證明過(guò)程，可以得到2階與3階對(duì)稱(chēng)J正交矩陣Q的對(duì)角元之間的等式，即推論4.

推論4設(shè)J≠I(mǎi).若Q為2階對(duì)稱(chēng)J正交矩陣，則q11=q22；若Q為3階對(duì)稱(chēng)J正交矩陣，則q11-q22-q33=1.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.

[2] 袁暉坪.準(zhǔn)正交矩陣與準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)矩陣[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2004，21(4)：641-644.

[3] 佟文延.廣義正交矩陣[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1984，27(6)：801.