林玉蕊， 陳績(jī)馨

(福建農(nóng)林大學(xué)計(jì)算機(jī)信息學(xué)院，福州350002)

1 引 言

逆M-矩陣是指其逆為M-矩陣的一類(lèi)非負(fù)矩陣.這類(lèi)矩陣有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的很大關(guān)注.由于判定一般非負(fù)矩陣是否為逆M-矩陣非常困難，人們就著手研究一些特殊形式的非負(fù)矩陣[1-7].本文給出一個(gè)判定循環(huán)逆M-矩陣的簡(jiǎn)便方法.

2 預(yù)備知識(shí)

定義2.1設(shè)A=(aij)∈n×n滿足aij≥0 (i,j=1,2,…,n)，則稱(chēng)A為非負(fù)矩陣，記為A≥0.

定義2.2設(shè)A=(aij)∈n×n.若aij≤0 (i≠j;i,j=1,2,…,n)，則稱(chēng)A為Z-矩陣，記為A∈Zn×n.

定義2.3設(shè)A∈n×n,A=sI-B，實(shí)數(shù)s>0且B≥0.如果ρ(B)

定義2.4若A≥0，且A-1存在，A-1∈Zn×n，則稱(chēng)A是逆M-矩陣.

定義2.5設(shè)A=(aij)∈n×n，B=(bij)∈n×n，如果aij=0當(dāng)且僅當(dāng)bij=0(1≤i,j≤n),則稱(chēng)A與B有相同的零位模式.

定義2.6形如

的矩陣C稱(chēng)為循環(huán)矩陣，記作C=Circ[c0,c1,…,cn-1].

3 矩陣與圖

設(shè)〈n〉={1,2,…,n}，有向圖G=(N,E)由N個(gè)頂點(diǎn)1,2,…,n構(gòu)成的頂點(diǎn)集N及有向邊集E={(i,j)|i,j∈N}構(gòu)成.

有向圖G=(N,E)的路徑是一個(gè)頂點(diǎn)序列v1,v2,…,vk,vk+1,vi∈N且(vi,vi+1)∈E，i=1,2,…,k，除了可能v1=vk+1外，其余的頂點(diǎn)均不相同.如果在路徑中v1=vk+1，則稱(chēng)該路徑為一個(gè)圈，記為{v1,v2,…,vk+1(=v1)}，它的長(zhǎng)度為k.如果對(duì)G=(N,E)的任意兩個(gè)頂點(diǎn)vi,vj，在G中存在一條從vi到vj的路徑，則稱(chēng)該有向圖G是連通的，否則稱(chēng)G是不連通的.易知，長(zhǎng)度為n的圈是連通的.

一個(gè)有向圖G=(VG,EG)的子圖是有向圖H=(VH,EH)，其中VH?VG，EH?EG且當(dāng)u,v∈VH時(shí)(u,v)∈EH.

矩陣A=(aij)∈n×n的有向圖記為D(A)=(N,E)，其中頂點(diǎn)集是N=〈n〉且邊集是E={(i,j)|aij≠0}.

給一個(gè)矩陣的圖的頂點(diǎn)重新標(biāo)號(hào)就相應(yīng)于對(duì)矩陣作一個(gè)置換相似變換.因?yàn)槟鍹-矩陣在置換相似下是閉的，我們可以給一個(gè)逆M-矩陣的有向圖以所需的標(biāo)記.我們知道：矩陣A是不可約的充分必要條件是D(A)的有向圖D(A)是連通的或者D(A)包含一個(gè)連通的子圖.

為了研究循環(huán)逆M-矩陣的性質(zhì)，下面引入一個(gè)新的有向圖和一些記號(hào).設(shè)gcd(n,k)是兩個(gè)正整數(shù)n,k的最大公約數(shù)，即設(shè)

(3.1)

定義3.1如果一個(gè)有向圖的頂點(diǎn)集是〈n〉且它的邊集是

根據(jù)定義，我們有

4 循環(huán)逆M-矩陣的判定

引理4.1[8]如果n階實(shí)矩陣A是不可約的逆M-矩陣，則A是正矩陣.

注 如果A是逆M-矩陣，則A,A2,…,Ak，…有相同的零位模式，這時(shí)稱(chēng)A是冪不變的零位模式.

引理4.3[8]設(shè)n階非負(fù)矩陣A=(aij)有全為正的主對(duì)角元，則存在非負(fù)對(duì)角矩陣D使得A+D是逆M-矩陣的充分必要條件是A2與A有相同的零位模式.

引理4.4[9]設(shè)A是一個(gè)分塊逆M-矩陣：

且Aii(i=1,2,…,r)是正主陣.如果Aij≠O，i≠j, 則Aij>0.

(4.1)

引理4.6[10-12]如果A=Circ[c0,c1,…,cn-1]≠c0I是一個(gè)逆M-矩陣且存在一個(gè)正整數(shù)k使得ck>0,d=gcd(k,n)=1，則A是正的.

引理4.7設(shè)A是n×n循環(huán)矩陣Circ[c0,c1,…,cn-1]且n不是一個(gè)素?cái)?shù)，則存在一個(gè)正整數(shù)k(k≥2)，使得A置換相似一個(gè)帶有循環(huán)塊矩陣的塊Toeplitz陣

(4.2)

這里所有的Bi都是循環(huán)矩陣,

(4.3)

這里s=n-d+j.此外，若A是一個(gè)逆M-矩陣，k是使得ck≠0的最小整數(shù)，則B0是一個(gè)正逆M-矩陣.

由引理4.2易得下面推論：

推論4.1設(shè)A=Circ[c0,c1,…,cn-1]是逆M-矩陣，n有真因子n=pq(p≥2,q≥2)，則循環(huán)矩陣

Circ[c0,cp,…,c(q-1)p], Circ[c0,cq,…,c(p-1)q]

是逆M-矩陣.

下面給出本文最主要的結(jié)果：

定理4.1設(shè)A=Circ[c0,c1,…,cn-1]≥0，A非正且A≠c0I.若存在一個(gè)正整數(shù)k，k是n的真因子，使得

(4.4)

且循環(huán)矩陣

C=Circ[c0,c1,…,c(t-1)k]

(4.5)

是正逆M-矩陣，則A是逆M-矩陣.

證由假設(shè)條件，顯然n不是一個(gè)素?cái)?shù)，所以由引理4.2，A置換相似于(4.2)的塊Toeplite矩陣B，其中每塊是(4.3)中的循環(huán)矩陣.由條件(4.4)成立，則(4.2)中的B是對(duì)角矩陣diag(B0,B0,…,B0).因?yàn)锳置換相似于B，而B(niǎo)0是逆M-矩陣，所以A是一個(gè)逆M-矩陣.

該結(jié)論表明：只有當(dāng)正的C的下標(biāo)是一個(gè)算術(shù)序列時(shí)，非負(fù)循環(huán)矩陣A=Circ[c0,c1,…,cn-1]≠c0I才有可能是一個(gè)逆M-矩陣.它可方便地判斷一個(gè)非負(fù)但非正的循環(huán)矩陣是逆M-矩陣.

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