程海來
(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽合肥230009)
1893年Hadamard提出了如下著名不等式[1],即
定理1若f(x)為區(qū)間a,b上的凸函數(shù),則有
(1)
國內(nèi)外很多學(xué)者對此不等式做過研究和推廣,如[2-5]等,其中Fejer得到了如下結(jié)果(可見[2]).
(2)
本文在較弱條件下得到了(2)的加強(qiáng)形式,亦即有如下的
(3)
證先證明左邊不等式.由f(x)帶Lagrange余項的Taylor公式,
(4)
于是有
(5)
(6)
由帶積分余項的Taylor公式,
(7)
(7)式兩邊同乘以g(x)并對x從a到b積分,由對稱性可知,
故有
(8)
再由(7)知
(9)
于是
(10)
8-10,得
(11)
由于
而F(4)t≥0,(x-t)3-(b-t)3≤0,(b-t)3≥0,所以
從而由(11),有
(12)
由(6),(12)知不等式(3)成立.
若在a,b上f″(x)≥0,則f(x)為a,b上的凸函數(shù),在定理3的條件下,由(3)可知
故不等式(3)為(2)的加強(qiáng)形式.
特別在不等式(3)中取g(x)≡1,則有
推論設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有連續(xù)4階導(dǎo)數(shù)且f(4)(x)≥0,則有
(13)
若在a,b上f″(x)≥0(此時f(x)為a,b上的凸函數(shù)),易知不等式(13)為(1)的一個加強(qiáng).
[參 考 文 獻(xiàn)]
[1] Hadamard J.Etude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d’une fonction considérée par Riemann[J]. J Math. Pures Appl.58 (1893), 171.
[2] Fejér L. Uber die Fourierreihen, II[J]. Math. Naturwiss Anz. Ungar. Akad. Wiss,1906,21:369-390 (In Hungarian).
[3] Wang Zhong-li and Wang Xiang-hua. On an extention of Hadamard inequalities for convex functions[J]. Chin.Ann of Math,1982,3(5):567-570.
[4] 馮慈璜.關(guān)于關(guān)于凸函數(shù)的 Hadamard 不等式[J].數(shù)學(xué)年刊(中文版),1985,6 (A ):4,443-446.
[5] 于永新,劉證. 凸函數(shù)的幾個Hadamard型不等式[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識, 2005,35(1):201-207.