王 偉， 張吉林， 嚴(yán)志丹

(塔里木大學(xué)信息工程學(xué)院， 新疆阿拉爾843300)

1 引 言

一個(gè)n元實(shí)二次型

定義1子式

稱為矩陣A=(aij)n×n的i階順序主子式. 為方便起見，補(bǔ)充規(guī)定0階順序主子式P0=1.

設(shè)a0,a1,…,al是非零實(shí)數(shù)的序列，它的變號(hào)數(shù)v(a0,a1,…,al)定義為集合{aiai+1∶0≤i≤l-1}中的負(fù)數(shù)個(gè)數(shù). 二次型的正(負(fù))定判別法可以重新表述為：n元實(shí)二次型f=X′AX正(負(fù))定當(dāng)且僅當(dāng)P0=1,P1,…,Pn全不為零且其變號(hào)數(shù)為0(n).恰當(dāng)?shù)囟x含零序列的變號(hào)數(shù)，下面的定理推廣了這一結(jié)果.

定理1[1]設(shè)n元實(shí)二次型f=X′AX秩為r. 如果A的r階順序主子式Pr≠0，那么f的負(fù)慣性指數(shù)等于序列P0,P1,…,Pr的變號(hào)數(shù)v(P0,P1,…,Pr)，其中

(i) 如果PiPi+2≠0且Pi+1=0，規(guī)定v(Pi,0,Pi+2)=1；(Gundelfinger法則)

(ii) 如果PiPi+3≠0且Pi+1=Pi+2=0，當(dāng)PiPi+3>0規(guī)定v(Pi,0,0,Pi+3)=2；當(dāng)PiPi+3<0規(guī)定v(Pi,0,0,Pi+3)=1；(Frobenius法則)

(iii) 如果PiPi+4≠0且Pi+1=Pi+2=Pi+3=0，當(dāng)PiPi+4>0規(guī)定v(Pi,0,0,0,Pi+4)=2；當(dāng)PiPi+4<0，v(Pi,0,0,0,Pi+4)不能確定；

(iv) 如果存在k≥4滿足PiPi+k+1≠0且Pi+1=Pi+2=…=Pi+k=0，那么v(Pi,0,…,0,Pi+k+1)不能確定.

注 當(dāng)P0,P1,…,Pr任意相鄰兩項(xiàng)不全為零時(shí)，定理1的證明可見[2-4].

例1設(shè)秩為8的實(shí)對(duì)稱矩陣A的0～8階順序主子式依次為 1，-2，0，0，0，-4，0，0，3. 根據(jù)定理1，知v(1,-2)=1,v(-2,0,0,0,-4)=2,v(-4,0,0,3)=1，故序列P0,P1,…,P8的變號(hào)數(shù)v=v(1,-2)+v(-2,0,0,0,-4)+v(-4,0,0,3)=4. 從而A的負(fù)慣性指數(shù)為4.

本文給出定理1的簡(jiǎn)單證明，對(duì)于定理1中所指出的不能確定情形，給出了符合所給順序主子式序列的二次型的所有可能類型.

2 特殊的順序主子式符號(hào)序列

命題1設(shè)n≥2，則

證當(dāng)n=2時(shí)，由Σn的定義，易知

可以類似地證明(ii).

利用命題1，注意到n=1時(shí)的明顯性，容易得到表1.

表1 具有1至n-1階零順序主子式的n階可逆實(shí)對(duì)稱矩陣負(fù)慣性指數(shù)與行列式符號(hào)的關(guān)系

解不難算出|A|=1>0,P1=P2=P3=0.查表1，可知q(A)=2(對(duì)應(yīng)于定理1中變號(hào)數(shù)第3條規(guī)定的前半部分).

3 一般的順序主子式符號(hào)序列

我們把主對(duì)角線上全是1的上三角矩陣稱為單位上三角矩陣[5].

引理1[5]設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，T為單位上三角矩陣，而B=T′AT，則A與B對(duì)應(yīng)的順序主子式有相同的值.

命題2設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為r，其非零順序主子式分別為Pi0=1,Pi1,Pi2,…,Pis，0=i0

證對(duì)s用歸納法. 當(dāng)s=0時(shí)，r=0，A為零矩陣，命題顯然成立.

假設(shè)命題對(duì)s-1是成立的. 令

顯然B1滿足命題結(jié)論的要求.

將A分塊成

由條件知B1=Pi1≠0. 令

易知D1的秩R(D1)=r-R(B1)=r-i1.

由歸納假設(shè)，知存在n-i1階單位上三角矩陣T2，使得

其中Bk(2≤k≤s)是可逆矩陣，階數(shù)為(ik-i1)-(ik-1-i1)=ik-ik-1，

且當(dāng)ik-ik-1≥2時(shí)Bk的1至ik-ik-1-1階順序主子式全為零.

4 結(jié) 論

由于準(zhǔn)對(duì)角矩陣的負(fù)慣性指數(shù)等于每個(gè)對(duì)角塊的負(fù)慣性指數(shù)之和，由命題1，2可得定理1. 實(shí)際上，利用表1的最后三行，對(duì)于定理1中“不能確定”的情形，可以給出所有可能的負(fù)慣性指數(shù).

例3設(shè)非奇異的10階對(duì)稱矩陣A的順序主子式P0,P1,…,P10的符號(hào)序列為+，-，0,0,0,0,-,-,0,0,+，求其可能的負(fù)慣性指數(shù).

解注意到A的非零主子式的階數(shù)依次為0，1，6，7，10，由命題2知，存在單位上三角矩陣T，使得

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] Browne E T. On the signature of a quadratic form[J]. Annals Math. 1928，30 (1/4):517-525.

[2] Franklin P. A theorem of Frobenius on quadratic forms[J]. Bull. Amer. Math. Soc，1927,33(4): 447-452.

[3] 王世芳，周開瑞. 實(shí)二次型的順序主子式與符號(hào)差[J]. 四川師院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1983(3):86-94.

[4] 劉長(zhǎng)安,劉效麗. 實(shí)二次型的符號(hào)差[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1992(11)：33-36.

[5] 楊子胥. 高等代數(shù)習(xí)題解(修訂版 下冊(cè))[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004：32.