李亞峻， 李 紅， 何 靜， 張春霞

(1. 天津科技大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津300222； 2. 吉林建筑工程學(xué)院電氣與電子信息工程學(xué)院，長(zhǎng)春130022)

1 引 言

伴隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)、信息技術(shù)和微電子學(xué)的飛速發(fā)展，數(shù)字信號(hào)處理的理論與技術(shù)日益成熟，其應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大，其在電子消費(fèi)產(chǎn)品、通信系統(tǒng)、生物醫(yī)學(xué)、地質(zhì)勘探等領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用[1-4].

經(jīng)典的數(shù)字信號(hào)處理采用時(shí)域和頻域兩類(lèi)方法分析和處理離散時(shí)間信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)的問(wèn)題.循環(huán)卷積是數(shù)字信號(hào)處理時(shí)域分析方法中的重要內(nèi)容.M點(diǎn)有限長(zhǎng)序列x(n)(0≤n≤M-1)與N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列h(n)(0≤n≤N-1)的L點(diǎn)循環(huán)卷積yc(n)(0≤n≤L-1)的定義為[6]

(1)

或者

(2)

其中L≥max(M,N)，M,N,L∈正整數(shù).RL(n)是矩形脈沖序列，在0≤n≤L-1范圍內(nèi)它的值均為1，在其他n時(shí)刻它的值均為0，由RL(n)可知yc(n)的取值范圍在0≤n≤L-1.h((n))L代表的是對(duì)h(n)以L為周期進(jìn)行周期延拓，所以它是周期為L(zhǎng)的周期序列.

循環(huán)卷積的時(shí)域求解方法可以分為兩類(lèi)：以m為變量的求解方法和以n為變量的求解方法.以式(1)為例，以m為變量的求解方法的步驟是：

(a) 將序列x(n)，h(n)變量代換為x(m)，h(m)之后補(bǔ)零，使二者的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，可用x(m)L，h(m)L表示.

(b) 將h(m)L周期延拓為周期序列h((m))L，翻褶為h((-m))L，取其在0≤m≤L-1范圍內(nèi)的值，得到h((-m))LRL(m).

(c) 將h((-m))LRL(m)循環(huán)右移到h((n0-m))LRL(m)，其中n0是0≤n≤L-1范圍內(nèi)的一個(gè)值.

(d) 將序列x(m)與序列h((n0-m))LRL(m)在0≤m≤L-1范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)位相乘后的值加起來(lái)，得到y(tǒng)c(n0).

(e) 將n從0到L-1依次取值，仿效(c)，(d)兩步，求出全部yc(n)的值.

以m為變量的求解方法又被細(xì)分為同心圓法[5，6]、圖解法[5，7，9，11]、列表法[5]、矩陣方程法[5，8，11，12]等.同心圓法是將x(m)與h((-m))LRL(m)的值按對(duì)應(yīng)位置寫(xiě)在兩個(gè)同心圓上，將后者循環(huán)移位(又被形象地稱(chēng)為圓周移位)后與前者對(duì)應(yīng)位相乘后相加；圖解法是畫(huà)出上述求解步驟中各序列的波形，圖解法與同心圓法的共同特點(diǎn)是直觀、形象，但是畫(huà)圖即耗時(shí)又占紙面，在實(shí)際計(jì)算中并不可??；列表法是圖解法的數(shù)字化形式；矩陣方程法構(gòu)造了L×L維矩陣和L維列向量.由于L≥max(M,N)，導(dǎo)致L×L維矩陣和L維列向量中存在冗余項(xiàng)，使矩陣方程變得復(fù)雜了.當(dāng)兩序列長(zhǎng)度差較大或者L比max(M,N)大得多時(shí)，這個(gè)問(wèn)題更加突出.

本文將提出矩陣方程法的改進(jìn)算法，消除矩陣方程中的冗余項(xiàng).

2 用矩陣方程法求解循環(huán)卷積

列寫(xiě)矩陣方程的關(guān)鍵是正確寫(xiě)出h((-m))LRL(m)的值，這里以圖例的形式找到它與h(m)L之間的關(guān)系.

解如圖1所示，

(b) 將h(m)8以8為周期進(jìn)行周期延拓；

(c) 將h((m))8以m=0為對(duì)稱(chēng)中心翻褶為h((-m))8；

(d) 截取h((-m))8在0≤m≤7范圍(一個(gè)完整周期)內(nèi)的值，得到h((-m))8R8(m).

圖1 h((-m))8R8(m)與h(m)8的關(guān)系

仔細(xì)觀察圖1(d)與圖1(a)，可以發(fā)現(xiàn)h((-m))8R8(m)與h(m)8之間的關(guān)系是

h((-m))8R8(m)

(3)

推廣到更一般的情況，

h((-m))LRL(m)

(4)

也就是使h(m)L中的h(0)保持不變，h(1)至h(L-1)倒序排列.

將h((-m))LRL(m)循環(huán)右移一位，即把h((-m))LRL(m)最右端的值移到最左端，其他值向右移一位，可得h((1-m))LRL(m).依此類(lèi)推可得h((n-m))LRL(m)，0≤n≤L-1.

序列h((n-m))LRL(m)與x(m)(0≤m≤L-1)的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，將這兩個(gè)等長(zhǎng)的序列對(duì)應(yīng)位相乘后的值加起來(lái)，實(shí)現(xiàn)的正是矩陣乘法運(yùn)算，矩陣方程如下：

(5)

其中x(m)L以L維列向量的形式放在方陣的右側(cè)，h((-m))LRL(m)及其循環(huán)右移序列

h((n-m))LRL(m)(1≤n≤L-1)

構(gòu)成L×L維的方陣，h((-m))LRL(m)是方陣的第一行，其余各行依次通過(guò)對(duì)上一行循環(huán)右移一位得到.

3 矩陣方程法的改進(jìn)算法

由于x(n)只在0≤n≤M-1范圍內(nèi)有非零值，而L≥max(M,N)，所以式(5)最右側(cè)的列向量中的x(M)至x(L-1)均為零，它使得L×L維方陣中的后L-M列在矩陣運(yùn)算中并沒(méi)有起作用，即

(6)

(7)

簡(jiǎn)化后的矩陣方程的構(gòu)成規(guī)律是：矩陣方程中的列向量就是有限長(zhǎng)序列x(n)(0≤n≤M-1)；L×M維矩陣中的第一列就是h(n)L，其余各列依次為前一列循環(huán)下移一位的結(jié)果，矩陣的列數(shù)等于序列x(n)的長(zhǎng)度M，所以是L×M維的矩陣.

若用式(2)求解循環(huán)卷積，其簡(jiǎn)化的矩陣方程為

(8)

由于h(n)(0≤n≤N-1)的長(zhǎng)度為N，所以這里的矩陣是L×N維的，其第一列就是x(n)L，其余各列依次為前一列循環(huán)下移一位的結(jié)果.

建議將x(n)與h(n)中較短的序列作為列向量，將較長(zhǎng)的序列作為循環(huán)下移的對(duì)象構(gòu)成矩陣，以進(jìn)一步簡(jiǎn)化運(yùn)算.

4 實(shí)例驗(yàn)證

例2已知

求8點(diǎn)循環(huán)卷積yc(n)=x(n)⑧h(n).

解由于L=8，將x(n)，h(n)補(bǔ)零到8點(diǎn)長(zhǎng)，

分別用式(5)和式(7)的矩陣方程法求解，

所以

可見(jiàn)，前者含有冗余項(xiàng)，而后者不含冗余項(xiàng).

5 結(jié) 論

本文對(duì)以m為變量求解循環(huán)卷積的矩陣方程法進(jìn)行了分析，提出了改進(jìn)算法，給出了矩陣方程內(nèi)部各列的構(gòu)成規(guī)律，使矩陣中不再含有冗余項(xiàng)，從而簡(jiǎn)化了矩陣方程.通過(guò)實(shí)例對(duì)矩陣方程法及其改進(jìn)算法進(jìn)行了比較，可見(jiàn)改進(jìn)算法更加簡(jiǎn)便、有效.

[參 考 文 獻(xiàn)]

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