賈俊梅

(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院工科數(shù)學(xué)部，呼和浩特010051)

1 引 言

隨著隨機(jī)微分方程越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于物理、金融、生物和經(jīng)濟(jì)等各個(gè)領(lǐng)域中,對(duì)隨機(jī)微分方程解的本身及其解形態(tài)的研究就顯得十分重要. 但是大多數(shù)情況下,與常微分方程情形類似，其解析解不易求出. 當(dāng)無(wú)法給出方程解的解析表達(dá)式時(shí)，也可通過(guò)考察解過(guò)程的各階矩的性質(zhì)從而把握解的形態(tài). 例如,Ding Xiao-hua等研究了不同數(shù)值方法求解隨機(jī)微分方程的均方收斂性[1-5]，本文建立了改進(jìn)的歐拉格式求解隨機(jī)微分方程的強(qiáng)收斂性定理.

2 改進(jìn)歐拉格式

考慮Ito型隨機(jī)微分方程(SDE)

dx(t)=f(x(t),t)dt+g(x(t),t)dw(t),x(0)=x0，t∈[0,T],

(1)

其中f(x(t),t),g(x(t),t)分別稱為偏移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù),且滿足Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件. 即對(duì)于任意的x,y∈,t∈[0,T]，存在常數(shù)K1>0,K2>0使得

f(x,t)-f(y,t)2∨g(x,t)-g(y,t)2≤K1x-y2,

(2)

f(x,t)2∨g(x,t)2≤K2(1+|x|2).

(3)

給定的步長(zhǎng)h>0,用改進(jìn)的歐拉格式計(jì)算方程(1),近似解yk≈x(tk),tk=kh,y0=x0. 具體的差分格式如下：

預(yù)估格式：

(4)

改進(jìn)格式：

(5)

(6)

(7)

(8)

這里IF(t)為示性函數(shù)

(9)

3 改進(jìn)歐拉格式的均方收斂性

引理3.1如果h<1并且滿足方程(3)，那么存在兩個(gè)正常數(shù)A,B使得

(10)

證方程(4)兩邊平方，得

由基本不等式2ab≤a2+b2和方程(3),

+2ykg(yk,tk)Δwk+2f(yk,tk)g(yk,tk)hΔwk

≤(1+h+K2h+K2Δwk2+K2h2)|yk|2+(K2h+K2h2+K2Δwk2)

+2ykg(yk,tk)Δwk+2f(yk,tk)g(yk,tk)hΔwk,

即

引理3.2當(dāng)h<1并且滿足方程(3),那么存在兩個(gè)正常數(shù)G,F，使得

(11)

證由方程(5)兩邊平方,

(C=1+K2+AK2,D=BK2+3K2).

由Grownwall不等式得

引理3.3如果h<1并且滿足方程(2)，(3)，那么存在兩個(gè)正常數(shù)H，I使得

E|y(t)-z1(t)|2≤Hh, E|y(t)-z2(t)|2≤Ih.

(12)

證對(duì)于任意的t∈[0,T]，存在非負(fù)整數(shù)k,當(dāng)t∈[kh,(k+1)h]，由(7)，(8)得到

根據(jù)基本不等式(a+b+c)2≤3|a|2+3|b|2+3|c|2，(3)及引理(2.1)，

由(5)得到

類似得到

E|z1(t)-z2(t)|2=(4+4G)K2h,

E|y(t)-z2(t)|2≤2E|y(t)-z1(t)|2+2E|z1(t)-z2(t)|2

定理x(t)是方程(1.1)的精確解,y(t)是由方程(9)給出的數(shù)值解,f,g滿足方程(2)，(3)，并且h<1假設(shè)存在常數(shù)K3，

f(x,s)-f(x,t)2∨g(x,s)-g(x,t)2≤K3(1+|x|2)|s-t|，

(13)

對(duì)于任意的s,t∈[0,T],x∈，那么存在正常數(shù)M使得

(14)

證由(1)和(9)得

|x(t)-y(t)|

由基本不等式(a+b+c+d+e+f)2≤6a2+6b2+6c2+6e2+6f2和H?lder不等式，

|x(t)-y(t)|2

由(2)和(13)得,

|x(t)-y(t)|2

由Burkh?lder-Davis-Gundy不等式,

由引理(3.1),(3.2),(3.3)得到如下的式子,

由Gronwall不等式得 ,

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] Ding Xiaohua，Ma Qiang，Zhang Lei. Convergence and stability of the split-step θ-method for stochastic differential equations[J]. Computers and Mathematics with Applications，2010,60:1310-1321.

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