蔡俊亮

(北京師范大學數(shù)學科學學院數(shù)學與復雜系統(tǒng)教育部重點實驗室，北京100875)

1 引 言

眾所周知，微積分教學工作已從過去的精英教學模式逐步轉化為當前大眾化教學模式. 即以前僅作為數(shù)學專業(yè)基礎課的微積分教材，現(xiàn)已逐步變?yōu)橹T如數(shù)學分析基礎(講義,原理),高等數(shù)學(引論,基礎,教程)及大學數(shù)學等不同形式滲透到大學教學各專業(yè)領域中,作為必修課或選修課. 而與此相關的教材也應運而生，并且種類繁多[1-10]. 顯然,作為這類教材內容的一個重要概念,極限,必須要簡單明了、準確無誤,更不能含糊不清甚至出現(xiàn)自相矛盾的現(xiàn)象. 然而，據(jù)作者多年教學經(jīng)驗，并經(jīng)認真思考與研究后發(fā)現(xiàn):一元函數(shù)極限概念相對標準,但多元情形較亂,甚至自相矛盾.本文試圖就此問題展開研究,并以一元函數(shù)極限的概念為標準，給出多元情形一個標準定義.

2 有關極限的概念

通常,在給出函數(shù)、極限和連續(xù)的概念之前,先要介紹一些相關的集合概念.這些概念較簡單,也易理解,但其表述方式有差異.為統(tǒng)一起見,盡量用標準語言和記號表述n-維空間的一些集合和函數(shù)的概念:全體實數(shù)集,自然數(shù)集(含0),整數(shù)集,正整數(shù)集+,有理數(shù)集等.

對于n∈+,n-維空間中全體點集稱為全集,記為n,即n={(x1,x2,…,xn)|?x1,x2,…,xn∈}. 空集記為?.設x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2,…,yn)∈n, 則x和y兩點之間的距離

具有某種性質P的全體點為n的一個子集,記為E={x|x∈n.滿足性質P}?n;Ec=nE稱為點集E的補集:如?c=n,(n)c=?. 另外, 點集有有限集,無限集等.

設x0∈n,δ為正數(shù), 以x0為中心,δ為半徑的開球稱為點x0的δ-鄰域, 記為

Uδ(x0)=U(x0,δ)={x|x-x0|<δ}.

點集U°δ(x0)=U°(x0,δ)={x|0<|x-x0|<δ}稱為x0的去心δ-鄰域.

設x0∈E?n. 若存在δ>0,使U(x0,δ)?E,則稱x0為E的內點;E的補集Ec的內點稱為E的外點;否則稱為E的界點.E的界點的集合稱為E的邊界，記為?E.點集E?n，若存在某個正數(shù)M使得E?U(O,M),其中O為n-維空間的坐標原點,則稱E為有界點集. 否則無界點集. 若非空點集E的每個點都是E的內點,則稱E為開集. 若有界點集E的邊界?E?E,則稱E為閉集.一般地,點集E?n的閉集為?n.對非空點集Ω?n, 若其中任意兩點均可用Ω中的折線連接起來, 則稱Ω為連通集,簡稱區(qū)域；連通的開集稱為開區(qū)域；連通的閉集稱為閉區(qū)域.閉區(qū)域總有界.

設x0∈E?n,若存在δ>0使得U°(x0,δ)∩E=?，則稱x0為E的孤點; 若任意δ>0,使得U°(x0,δ)∩E≠?，則稱x0為E的聚點.

注意：點集E的孤點是界點，但非聚點；點集E的內點為聚點，但聚點并非內點；點集E的界點和聚點未必屬于E.

n-元函數(shù)的定義設非空點集Ω?n. 若對每個點x∈Ω,變量y都會按照一定的法則f唯一地確定中的一個值與其對應，則稱變量y∈為變量x的n-元函數(shù)，記為y=f(x)， 其中點集Ω稱為函數(shù)y=f(x)的定義域(實為點集)，x稱為自變(向)量,y稱為因變(向)量. 數(shù)集{y|y=f(x),x∈Ω}稱為函數(shù)y=f(x)的值域, 簡記為

f(Ω)={y|y=f(x),x∈Ω}?.

由此定義的函數(shù)為“單值”函數(shù)，對所謂的“多值”函數(shù)可將其化為若干單值函數(shù)去研究.

在一元函數(shù)微積分的教材中，與極限有關的概念和內容基本上是正確的，且比較統(tǒng)一. 雖然在不同教材中的表述形式略有不同，甚至有些不夠準確，但并不存在原則上的錯誤[1-10].既然一元函數(shù)的這套極限的定義是公認的“標準”，那么多元情形就應當以一元函數(shù)的情形為“標準”進行相應的推廣. 本文的目的就是要給出多(n-)元函數(shù)極限的一個標準定義.

3 多元函數(shù)極限定義中的問題

在此首先要對已經(jīng)出現(xiàn)在各類微積分教材中的多元函數(shù)極限的定義進行一次普查,并對這些定義進行仔細分析和研究. 為簡單計,我們主要對二元函數(shù)極限的定義進行普查. 縱覽有關微積分教材(共調研了100余套教材,本文挑選了其中有代表性的10套作為參考文獻)中的二元函數(shù)極限的定義，沒有發(fā)現(xiàn)一個定義是標準的、全面的. 不妨具體分析如下：

在所研究的這些微積分教材中，無論二元函數(shù)極限的定義形式如何變化，但究其實質而言可歸結為下面的三種形式：

二元函數(shù)極限定義3.1[1,2]設函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)處的某去心鄰域U°(P0)內有定義，A為一個確定的常數(shù). 若對任意給定的正數(shù)ε, 總存在正數(shù)δ,使得當P(x,y)∈U°(P0,δ)時，恒有|f(x,y)-A|<ε成立，則稱函數(shù)f(x,y)在點P0處的極限存在(收斂)，該常數(shù)A稱為函數(shù)f(x,y)在點P0處的極限. 否則，稱函數(shù)f(x,y)在點P0處的極限不存在(發(fā)散).

定義3.1的缺陷是沒有給出函數(shù)在區(qū)域界點處的極限定義，從而無法討論函數(shù)在閉區(qū)域上的相關性質. 另外，按此定義許多函數(shù)的極限問題將無法討論. 如，常見的函數(shù)

(1)

等在原點O(0,0)處的極限就沒有定義,由于這些函數(shù)不滿足定義的前提條件：函數(shù)“在U°(O)內有定義”.

二元函數(shù)極限定義3.2[3-7]設函數(shù)f(x,y)的定義域為D，P0(x0,y0)為D的一個聚點，A為一個確定的常數(shù). 若對任意給定的正數(shù)ε, 總存在正數(shù)δ,使得當P(x,y)∈U°(P0,δ)∩D時，恒有|f(x,y)-A|<ε成立，則稱函數(shù)f(x,y)在點P0處的極限存在(收斂)，該常數(shù)A稱為函數(shù)f(x,y)在點P0處的極限. 否則，稱函數(shù)f(x,y)在點P0處的極限不存在(發(fā)散).

定義3.2比定義3.1的適應范圍要廣泛一些. 如，按照定義3.2，(1)式中的4個函數(shù)在原點處的極限均存在且為0,即當(x,y)→(0,0)時，

(2)

但定義3.2也有漏洞，如考察函數(shù)

f(x,y)=1, (x,y)∈{(x,y)|x,y∈}=2.

(3)

定義3.3的適應范圍更為廣泛些. 這個定義雖然在某種程度上克服了前兩個極限定義中的缺陷與不足，但此定義自相矛盾.因為它把函數(shù)在區(qū)域“界點”處的“極限”等同于函數(shù)在“內點”處的極限，正如在一元函數(shù)的情形把左、右極限等同于極限的錯誤一樣. 我們認為這個定義對于一元函數(shù)情形是“不可兼容”的.

顯然這是不合理的,因為和函數(shù)g(x,y)在整個平面上根本就沒有定義.

以上論證表明:當前多元函數(shù)極限的定義均有缺陷和漏洞，需要修正.下面提供一種修改的建議，以供參考.

4 多元函數(shù)極限的標準化定義

當n-元函數(shù)f(x)在點x0處的極限不存在時，我們給出一種單側極限的定義.

多(n-)元函數(shù)側極限的定義4.2設函數(shù)f(x)在某區(qū)域Ω上有定義,A為一個常數(shù),且x0∈?Ω. 若對于任意的正數(shù)ε, 總存在正數(shù)δ，使得當x∈U°(x0,δ)∩Ω時,恒有|f(x)-A|<ε成立，則稱n-元函數(shù)f(x)在點x0處的側極限存在，該常數(shù)A稱為函數(shù)f(x)在點x0處的側極限, 記為

否則稱f(x)在點x0處的側極限不存在.

注意：(i)通常把多元函數(shù)的極限和側極限統(tǒng)稱為“極限”，具體的存在性須按定義考察.

(ii)無限遠點處的極限可作類似定義，或用倒代換化為有限點情形討論.

(iii)凡與極限有關的概念可作類似處理.

[參 考 文 獻]

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