楊旭+沈俊鑫

摘要： 通過分析現(xiàn)有時延Petri網和時間Petri網在項目進度管理仿真模型的不足，提出基于庫所時間約束Petri網的項目進度管理模型，該模型具備全局時鐘特性，不僅能體現(xiàn)工序自身時間參數(shù)，同時能對外部資源等工序外延時間約束進行建模。實例仿真結果表明該模型的有效性。

Abstract： This paper presents a project schedule management model based on Place Timing Petri nets， by analyzing the shortcomings of existing models based on timed Petri nets or time Petri nets. The schedule management model based on Place Timing Petri net has the feature of global clock， and not only reflects time parameters of process， but also able to model time constraints of external resources.

關鍵詞： 資源約束；進度優(yōu)化；庫所時間約束Petri網

Key words： resource constrained；scheduling optimization；Place Timing Petri net

中圖分類號：TP311.5 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2014）22-0004-04

0 引言

近年來，越來越多的組織面臨多項目并行實施，項目間存在資源競爭與共享，資源約束下多項目進度優(yōu)化調度是近幾年來項目管理研究熱點和難點。傳統(tǒng)網絡項目管理技術雖能有效表達工序自身時間因素以及工序間的邏輯關系，但仍然存在網絡圖過于復雜、工序時間參數(shù)及資源需求估算粗放、忽略外部突發(fā)事件、缺乏項目實施過程動態(tài)控制等缺點，對于復雜多項目缺乏動態(tài)管理[1]。Petri網集可視化建模、形式化分析及動態(tài)仿真于一體的建模工具，在描述并發(fā)、異步、非確定性或者隨機性為特征的系統(tǒng)有獨特的能力，使得Petri網廣泛應用于項目進度管理建模[2]。

本文在研究現(xiàn)有時間Petri網在項目進度管理模型應用基礎上，總結現(xiàn)有基于時間Petri網的項目進度管理模型優(yōu)缺點，提出基于庫所時間約束Petri網的項目進度管理模型，該模型能夠對項目管理中工序邏輯關系、時間約束及資源約束進行建模，為項目進度管理提供可視化、形式化建模工具。

1 項目進度管理研究現(xiàn)狀

1.1 基于網絡計劃技術的項目管理模型研究現(xiàn)狀 傳統(tǒng)項目進度管理方法主要有橫道圖和網絡計劃技術兩種。橫道圖直觀便于理解，但不善于表述工序間復雜邏輯關系，使用橫道圖對大型項目建模后模型龐大，不利于項目控制。網絡計劃技術則能較好地體現(xiàn)工序間邏輯關系，網絡計劃技術主要有：關鍵路徑法（Critical Path Method，CPM）、計劃評審技術（Project Evaluation and Review Technique，PERT）以及圖形評審技術（Graphic Evaluation and Review Technique，GERT）等。CPM可以有效地確定各項工序的機動時間以及整個項目的關鍵路徑和關鍵工序，PERT基于概率統(tǒng)計思想，采用三點估算法確定工序時間延遲，使得PERT對工序時間參數(shù)估算精確度高于CPM方法。GERT在PERT基礎上增加決策點，工序邏輯關系存在非確定性，可進行條件和概率處理。傳統(tǒng)網絡計劃技術已成功應用于離線項目進度管理，但存在如下限制：

①傳統(tǒng)網絡計劃技術對項目經理要求較高，要求事前能夠準確給出項目工序，以及準確估算各項工序所需時間和資源消耗，同時假設所有工序時間參數(shù)需服從β、γ、正態(tài)或泊松等標準概率分布；

②傳統(tǒng)網絡計劃技術無法描述外部突發(fā)事件，例如資源短缺、設備故障等對項目進度調度的影響，當出現(xiàn)外部突發(fā)事件時，該方法不能及時、動態(tài)調整項目進度調度方案，缺乏動態(tài)性、預測性與實時性；

③采用傳統(tǒng)網絡計劃技術構建的網絡圖不允許存在回路。

1.2 基于時間Petri網的項目管理模型研究現(xiàn)狀 項目管理從本質上來說就是一個離散事件動態(tài)系統(tǒng)，其特點在于事件發(fā)生在離散的時間點上，具有并發(fā)、異步和突發(fā)性[3]，Petri網具備直觀的圖形建模、嚴謹?shù)臄?shù)學分析、動態(tài)靈活仿真等特性，廣泛應用于動態(tài)離散異步系統(tǒng)建模[4]。為了解決傳統(tǒng)網絡計劃技術在項目管理中的不足，國內外很多學者提出了基于Petri網的項目進度管理模型。羅亞[5]在傳統(tǒng)PERT圖基礎上添加資源庫所和活動節(jié)點，構建基于Petri網的產品生產模型，KJ LIU[6]將Petri網應用于軟件項目計劃管理及變更控制，段波[7]將Petri網應用于生產制造系統(tǒng)建模及作業(yè)調度，陳翔[8]證明了可以將雙代號網絡圖映射到Petri網模型。

為了對傳統(tǒng)網絡計劃技術工序持續(xù)時間進行建模，馬俊等[9]對傳統(tǒng)Petri工序時間參數(shù)估算及其分布進行改進，提出基于時延Petri網（Timed Petri Net， TdPN）的進度管理模型，應用于房地產開發(fā)進度管理。時延Petri網變遷激發(fā)不是瞬間完成，而是需要經過一個時間延遲di。為了允許工序持續(xù)時間是一個隨機變量，沈俊鑫[4，10]在變遷持續(xù)時間引入隨機變量，提出基于隨機Petri網（Stochastic Petri Net， SPN）的項目進度管理模型，該模型允許工序持續(xù)時間di為任意隨機分布，并證明了當di服從λ分布時，該模型狀態(tài)轉移具備馬爾科夫特性。為了表示傳統(tǒng)網絡計劃技術工序最早開始時間ES和最遲開始時間LS，國內外學者對時延Petri網進行改進，即施加在時延Petri網變遷上的時間延遲di為時延區(qū)間（Tmin，Tmax），提出基于時間Petri網（Time Petri Net， TPN）的項目進度管理模型。宋巍[11]、Berthomieu[12]構建基于時間Petri網的項目進度計劃優(yōu)化模型，宋巍[11]則將時間Petri網應用于項目關鍵路徑、最短工期求解。為了降低基于時延Petri網的項目進度管理模型復雜度，實現(xiàn)大型復雜項目建模，國內外學者引入了分層Petri網模型，如滿慶鵬等[13]通過構建基于分層時間Petri網的分級施工網絡計劃模型，將時間Petri網應用于施工項目網絡計劃優(yōu)化。李海凌[14]、FF Cheng[16]、張紹陽[1]通過構建基于分層Petri網的資源管理模型，該模型很好地描述了工程建設項目工序持續(xù)時間、資源配置及信息傳遞，解決了建設工程項目實施階段進度、資源優(yōu)化問題；該模型采用仿真工序時間參數(shù)計算方法，解決了仿真技術進行進度計劃時不能給出工序時間參數(shù)的弊端。

大量研究結果表明，時間Petri網已廣泛應用項目進度管理建模，吳哲輝[17]證明了時間Petri網的模擬能力比傳統(tǒng)Petri網要強，而且時間Petri網的模擬能力與圖靈機相等?；跁r間Petri網的項目進度管理模型不僅能夠將網絡圖映射到時間Petri網模型，實現(xiàn)傳統(tǒng)網絡計劃技術所有功能。這類模型不僅可以使項目管理者實時掌控項目進展，控制項目工期，還可以根據(jù)項目實際執(zhí)行情況對現(xiàn)有的項目計劃調度實施動態(tài)調整。但仍存在以下問題：

①現(xiàn)有基于時間Petri網的項目進度管理模型不具備全局時鐘特性。TdPN時間延時di表示庫所中標識的消耗和變遷的執(zhí)行需要經過di完成，此時間延遲，只賦予工序i，不具備全局時鐘特許。在項目管理模型中，若T0時刻第i道工序（變遷ti）外部條件準備就緒，且工序i在T0時刻執(zhí)行，則T0+di工序i執(zhí)行完畢。但在變遷ti激發(fā)的di這段時間內，變遷ti前集庫所集ti中的標記在ti激發(fā)時消耗掉，但是變遷ti后集庫所集ti卻需等待di才能得到相應標記，此時該Petri網模型處于無狀態(tài)，由此產生悖論[11]。②現(xiàn)有基于時間Petri網的項目進度管理模型仍然比較復雜?，F(xiàn)有時間Petri網在對工序的邏輯關系進行建模時，不僅增加了符號，而且在現(xiàn)有時間Petri網中，工序的邏輯關系中的時間冗余，需要借助虛工序來實現(xiàn)。③基于時間Petri網的項目進度管理模型不能體現(xiàn)項目資源對工序執(zhí)行的時間約束。不論是TdPN、SPN還是TPN模型，時間參數(shù)只引入到變遷本身，即只對工序自身時間參數(shù)建模，無法對工序外延，例如資源約束進行時間建模。

2 基于庫所時間約束Petri網項目進度管理模型

2.1 庫所時間約束Petri網

定義1時間約束Petri網（Place Timing constraint Petri Net， PTcPN）是一個七元組∑=（P，T；F，W，M0，D，Ip），如圖1所示，其中：

①∑=（P，T；F，W，M0）是一個Petri網，但此時弧T×P上的權重w不再表示任務變遷ti所產生的標記，而僅說明庫所在狀態(tài)持續(xù)階段所需要的資源；

②D：T→R+是變遷的延時函數(shù)，圖1中指td（ti）；

③Ip為關聯(lián)庫所的實數(shù)對[Tmin，Tmax]的集合，圖1中，Ip指（tmin（pi），tmax（pi））。

圖1中，用圓圈“○”表示庫所Place，用“●”黑點表示庫所中的標記Token，標記顏色表示項目資源類別，用矩形方塊“？薺”表示變遷Transaction，即工序，從庫所到變遷或是從變遷到庫所的關系用有向弧“→”表示，上述三個元素表示了系統(tǒng)的靜態(tài)模型。

PTcPN增加了事件發(fā)生條件的時間要求，在庫所和變遷都有時間約束，庫所時間約束借鑒TPN思路，而變遷時間約束借鑒TdPN思路。為了克服TdPN模型可能是整個Petri網模型處于無狀態(tài)中以及TPN模型變遷時延區(qū)間（tmin（ti），tmax（ti））對變遷的時間約束為局部時鐘而非全局時鐘，PTcPN引入全局時鐘概念，Ip所關聯(lián)的實數(shù)對[Tmin，Tmax]中Tmin、Tmax分別為全局時鐘下庫所最早/最遲進入時延。圖1中，設全局時鐘以T0為起點，變遷t1和t2激發(fā)后，使得庫所p2和p3最早可以在全局時鐘分別為：tmin（t1）+td（t1）和tmin（t2）+td（t2）獲得標記Token。

2.2 基于PTcPN的項目進度管理模型

2.2.1 模型含義 基于PTcPN的項目進度管理模型建模過程中， PTcPN模型的狀態(tài)標識表示項目執(zhí)行過程中資源狀況，初始標識M0表示項目未開始實施的計劃模型，其他狀態(tài)標識M=（M（p1），M（p2），…，M（pi））表示項目執(zhí)行過程中項目的某個狀態(tài)，即項目快照。模型的狀態(tài)空間則是項目執(zhí)行過程中所有可能狀態(tài)的集合，隨著變遷的激發(fā)、庫所標記的移動體現(xiàn)了模型狀態(tài)的變化，即項目的執(zhí)行，模型標識的轉化體現(xiàn)系統(tǒng)的動態(tài)行為。

2.2.2 模型狀態(tài)空間 PTcPN模型狀態(tài)空間指模型可達圖所有狀態(tài)的集合，模型狀態(tài)空間反應了項目執(zhí)行過程中項目可能出現(xiàn)的狀態(tài)（工序執(zhí)行狀態(tài)及資源分配狀態(tài)）的集合，模型的狀態(tài)轉移序列δ=（M0t1M1…tiMi…tnMn）表示項目從初始狀態(tài)M0經過若干個任務序列的執(zhí)行轉變成狀態(tài)Mn，即項目可能出現(xiàn)的任意兩個狀態(tài)之間所需經歷的活動執(zhí)行序列。模型可達圖構造算法如下：

①T（∑）的初值只有根節(jié)點r，Mr=M0，即Mr為初始標識；

②令x為T（∑）的葉子節(jié)點，若？坌t∈T，在Mr狀態(tài)下均有權發(fā)生，x為真節(jié)點；若從根節(jié)點r到x的路徑上有另一個節(jié)點y，y≠x，但是My=Mx，則x也是真葉節(jié)點，若T（∑）所有的葉節(jié)點均為真葉節(jié)點，則算法結束。否則執(zhí)行③；

③若T（∑）有葉節(jié)點x，但是x不是真葉節(jié)點，那么在Mx至少有一個變遷t可以發(fā)生。對Mx授權發(fā)生的每個變遷t∈T，在T（∑）上添加一個新節(jié)點y，y是x的子節(jié)點，從x到y(tǒng)的有向弧用變遷t標記，節(jié)點y的標記My按下定義：首先計算出Mx的后繼M′，即對所有s∈S，M′（s）=Mx（S）-W（s，t）+W（t，s），然后計算My，對所有s∈S，有：

My（s）=

ω，若從r到y(tǒng)的路徑上有節(jié)點z，使得Mz

④回到步驟②。

2.2.3 項目時間計算 在PTcPN模型中，庫所的時間約束[tmin（pi），tmax（pi）]需要通過計算獲得。庫所pi的最早全局時鐘為其前繼變遷集中變遷的最早全局時間與變遷持續(xù)時間之和的最大值。

tmin（pi）=max{tmin（tj）+td（tj）} 其中？坌tj∈·pi （1）

庫所pi的最遲全局時鐘為其后繼變遷集中變遷的最遲全局時間與變遷持續(xù)時間之差的最小值。

tmax（pi）=min{tmax（tj）-td（tj）} 其中？坌tj∈■ （2）

在PTcPN模型中庫所時差為0的庫所為關鍵庫所，所有關鍵庫所及其對應變遷組成項目的關鍵路徑。pi為關鍵庫所，當且僅當：tmin（pi）-tmax（pi）=0。 （3）

3 實例分析

3.1 項目描述 為了說明PTcPN在項目進度管理中的應用，本文以某軟件開發(fā)項目為例，著重對軟件開發(fā)過程進度管理進行分析。項目工序邏輯關系、工期、資源要求如表1所示。

3.2 項目PTcPN建模 根據(jù)PTcPN定義，以及表1項目信息，構建基于PTcPN的項目進度模型如圖2所示，其中庫所p0和p15為輔助庫所，無實際含義。

3.3 項目狀態(tài)空間分析 根據(jù)可達圖構造算法，求得圖2對應的可達圖如圖3所示。

項目狀態(tài)空間反應了整個項目可能存在的調度方案，狀態(tài)Si指項目執(zhí)行過程可能處于的狀態(tài)，狀態(tài)Si到狀態(tài)Sj箭頭序列表明了項目從狀態(tài)Si到狀態(tài)Sj需經歷的工序調度序列。項目管理者可以根此預測項目狀態(tài)空間預測項目當前狀態(tài)下可能出現(xiàn)的各種調度方案以及特定調度方案下項目所處的下一個狀態(tài)，使得項目調度與執(zhí)行具有可預測性。

3.4 項目時間計算 根據(jù)式（1）和式（2）分別求解模型各庫所時間約束，根據(jù)式（3）確定項目關鍵路徑，如表2所示。

由表2可得項目關鍵路徑為：A→B→C→F→J→M→N，總工期為26。

4 結語

本文在綜合比較網絡計劃技術以及現(xiàn)有時間Petri網在項目進度管理建模優(yōu)缺點基礎上，針對現(xiàn)有時間Petri網在項目進度管理建模不具備全局時鐘、模型相對復雜以及無法體現(xiàn)資源約束等不足，提出了基于庫所時間約束Petri網，將時間約束擴展至庫所。實例分析說明，基于庫所時間約束Petri網的項目進度管理模型更好了體現(xiàn)了資源的時間約束，該模型不僅能夠替代傳統(tǒng)網絡計劃技術，實現(xiàn)工序的邏輯關系建模，簡化項目網絡圖，實現(xiàn)項目時間管理，模型狀態(tài)空間也為項目管理者提供了更多決策信息。限于篇幅，本文未對非肯定型項目實現(xiàn)案例應用及仿真。

參考文獻：

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[4]沈俊鑫.基于擴展Petri網的經營性公共基礎設施TOT特許期決策研究[D].昆明理工大學博士學位論文，2012.

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[13]滿慶鵬，王要武，李曉東.基于Petri網的施工進度建模及優(yōu)化方法[J].系統(tǒng)管理學報，2009，18（2）：193-198.

[14]施國強，李伯虎，柴旭東.基于著色Petri網的復雜產品開發(fā)多項目調度建模研究[J].系統(tǒng)仿真學報，2007，19（17）：3869-3873.

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[17]于汪洋，吳哲輝.時延Petri網模擬能力研究[J].微計算機應用，2009（8）：32-37.

tmax（pi）=min{tmax（tj）-td（tj）} 其中？坌tj∈■ （2）

在PTcPN模型中庫所時差為0的庫所為關鍵庫所，所有關鍵庫所及其對應變遷組成項目的關鍵路徑。pi為關鍵庫所，當且僅當：tmin（pi）-tmax（pi）=0。 （3）

3 實例分析

3.1 項目描述 為了說明PTcPN在項目進度管理中的應用，本文以某軟件開發(fā)項目為例，著重對軟件開發(fā)過程進度管理進行分析。項目工序邏輯關系、工期、資源要求如表1所示。

3.2 項目PTcPN建模 根據(jù)PTcPN定義，以及表1項目信息，構建基于PTcPN的項目進度模型如圖2所示，其中庫所p0和p15為輔助庫所，無實際含義。

3.3 項目狀態(tài)空間分析 根據(jù)可達圖構造算法，求得圖2對應的可達圖如圖3所示。

項目狀態(tài)空間反應了整個項目可能存在的調度方案，狀態(tài)Si指項目執(zhí)行過程可能處于的狀態(tài)，狀態(tài)Si到狀態(tài)Sj箭頭序列表明了項目從狀態(tài)Si到狀態(tài)Sj需經歷的工序調度序列。項目管理者可以根此預測項目狀態(tài)空間預測項目當前狀態(tài)下可能出現(xiàn)的各種調度方案以及特定調度方案下項目所處的下一個狀態(tài)，使得項目調度與執(zhí)行具有可預測性。

3.4 項目時間計算 根據(jù)式（1）和式（2）分別求解模型各庫所時間約束，根據(jù)式（3）確定項目關鍵路徑，如表2所示。

由表2可得項目關鍵路徑為：A→B→C→F→J→M→N，總工期為26。

4 結語

本文在綜合比較網絡計劃技術以及現(xiàn)有時間Petri網在項目進度管理建模優(yōu)缺點基礎上，針對現(xiàn)有時間Petri網在項目進度管理建模不具備全局時鐘、模型相對復雜以及無法體現(xiàn)資源約束等不足，提出了基于庫所時間約束Petri網，將時間約束擴展至庫所。實例分析說明，基于庫所時間約束Petri網的項目進度管理模型更好了體現(xiàn)了資源的時間約束，該模型不僅能夠替代傳統(tǒng)網絡計劃技術，實現(xiàn)工序的邏輯關系建模，簡化項目網絡圖，實現(xiàn)項目時間管理，模型狀態(tài)空間也為項目管理者提供了更多決策信息。限于篇幅，本文未對非肯定型項目實現(xiàn)案例應用及仿真。

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[17]于汪洋，吳哲輝.時延Petri網模擬能力研究[J].微計算機應用，2009（8）：32-37.

tmax（pi）=min{tmax（tj）-td（tj）} 其中？坌tj∈■ （2）

在PTcPN模型中庫所時差為0的庫所為關鍵庫所，所有關鍵庫所及其對應變遷組成項目的關鍵路徑。pi為關鍵庫所，當且僅當：tmin（pi）-tmax（pi）=0。 （3）

3 實例分析

3.1 項目描述 為了說明PTcPN在項目進度管理中的應用，本文以某軟件開發(fā)項目為例，著重對軟件開發(fā)過程進度管理進行分析。項目工序邏輯關系、工期、資源要求如表1所示。

3.2 項目PTcPN建模 根據(jù)PTcPN定義，以及表1項目信息，構建基于PTcPN的項目進度模型如圖2所示，其中庫所p0和p15為輔助庫所，無實際含義。

3.3 項目狀態(tài)空間分析 根據(jù)可達圖構造算法，求得圖2對應的可達圖如圖3所示。

項目狀態(tài)空間反應了整個項目可能存在的調度方案，狀態(tài)Si指項目執(zhí)行過程可能處于的狀態(tài)，狀態(tài)Si到狀態(tài)Sj箭頭序列表明了項目從狀態(tài)Si到狀態(tài)Sj需經歷的工序調度序列。項目管理者可以根此預測項目狀態(tài)空間預測項目當前狀態(tài)下可能出現(xiàn)的各種調度方案以及特定調度方案下項目所處的下一個狀態(tài)，使得項目調度與執(zhí)行具有可預測性。

3.4 項目時間計算 根據(jù)式（1）和式（2）分別求解模型各庫所時間約束，根據(jù)式（3）確定項目關鍵路徑，如表2所示。

由表2可得項目關鍵路徑為：A→B→C→F→J→M→N，總工期為26。

4 結語

本文在綜合比較網絡計劃技術以及現(xiàn)有時間Petri網在項目進度管理建模優(yōu)缺點基礎上，針對現(xiàn)有時間Petri網在項目進度管理建模不具備全局時鐘、模型相對復雜以及無法體現(xiàn)資源約束等不足，提出了基于庫所時間約束Petri網，將時間約束擴展至庫所。實例分析說明，基于庫所時間約束Petri網的項目進度管理模型更好了體現(xiàn)了資源的時間約束，該模型不僅能夠替代傳統(tǒng)網絡計劃技術，實現(xiàn)工序的邏輯關系建模，簡化項目網絡圖，實現(xiàn)項目時間管理，模型狀態(tài)空間也為項目管理者提供了更多決策信息。限于篇幅，本文未對非肯定型項目實現(xiàn)案例應用及仿真。

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