張小紅，周勇飛

(江西理工大學信息工程學院，江西 贛州 341000)

異構超混沌廣義同步系統(tǒng)構造及其電路仿真

張小紅，周勇飛

(江西理工大學信息工程學院，江西 贛州 341000)

在三維新混沌Chen系統(tǒng)基礎上構建了一個四維超混沌系統(tǒng)。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性原理，采用自適應控制方法，在新構建的四維超混沌系統(tǒng)和四維超混沌Chen系統(tǒng)之間設計廣義同步控制器，對控制器中的變量參數(shù)估計值和外部參數(shù)值進行廣義同步實現(xiàn)的可行性進行討論，進而將異構系統(tǒng)的廣義同步問題轉(zhuǎn)換為對控制器的選擇。通過對不同參數(shù)估計值的比較分析得出合適的取值，達到了良好的廣義同步效果。最后設計了一種實現(xiàn)廣義混沌同步的基本電路原理圖，數(shù)值仿真和電路實驗結果表明了該方法的有效性，以及電路的可行性和實用性。

超混沌系統(tǒng)；參數(shù)對比；廣義同步；電路仿真

1 引言

本文根據(jù)三維新混沌Chen系統(tǒng)[8]，在其基礎上增加參數(shù)變量構建了一個新的四維超混沌系統(tǒng)，并驗證了其超混沌特性，設計了相應的基本電路原理圖?；贚yapunov穩(wěn)定性原理[9,10]，采用自適應控制方法[11,12]，構造了廣義同步控制器，通過對變量參數(shù)的取值對比討論，將新構建系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)，超混沌Chen系統(tǒng)作為響應系統(tǒng)，在Matlab軟件平臺上實現(xiàn)了廣義同步。最后，設計了一種實現(xiàn)異構超混沌廣義同步電路，電路結果證實了該系統(tǒng)的復雜動力學和同步特性，也表明了其在實際應用中的價值。

2 廣義混沌同步系統(tǒng)構建

考慮如下兩個耦合系統(tǒng)：

(1)

(2)

在本文中考慮參數(shù)估計值對比，將系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)進行拆分改寫為如下形式：

(3)

(4)

其中f∈Rm，g∈Rn，Θ∈Rm為參數(shù)向量，Φ∈Rn為Θ的估計值，U∈Rn為廣義同步控制器，則系統(tǒng)動力學誤差為：

g(Y)+G(Y)Φ-Ψf(X)-ΨF(X)Θ+U

(5)

定理1 對于驅(qū)動系統(tǒng)(3)和響應系統(tǒng)(4)，當選取廣義控制器為：

U=-g(Y)+Ψf(X)-

[G(Y)-ΨF(X)]Θ-δe

(6)

參數(shù)自適應率為：

(7)

其中δ為外部參數(shù)且是大于零的常數(shù)，那么系統(tǒng)(3)和(4)將達到廣義同步。

□

3 超混沌系統(tǒng)的構建及動力學分析

Chen介紹的一種新三維混沌系統(tǒng)[8]，其動力學方程為：

(8)

本文旨在式(8)的基礎上構造一個新的四維超混沌系統(tǒng)，考慮到新系統(tǒng)必須具備復雜非線性特性，在參數(shù)選配和變量反饋設計上進行了反復試驗，新系統(tǒng)方程如下：

(9)

其中，a=5,b=-12,c=-3.5,d=0.7,e=0.5，通過計算機數(shù)值仿真得到如圖1所示的軌跡相圖。

對于一個動力學系統(tǒng)，判斷其是否為超混沌系統(tǒng)一般可依據(jù)以下幾個條件：

(1)是否具有耗散性結構；

(2)動力學系統(tǒng)方程模型中不穩(wěn)定維數(shù)至少為二維，且其中非線性項的個數(shù)要不少于一個；

(3)該系統(tǒng)中Lyapunov指數(shù)值有至少兩個大于零。

3.1 耗散性分析

Figure 1 Trajectory phase diagram of new construction four-demensional system圖1 新構建四維系統(tǒng)的軌跡相圖

3.2 平衡點穩(wěn)定性分析

令方程(9)中各式為0可求得系統(tǒng)平衡點，解得系統(tǒng)唯一平衡點S0=(0,0,0,0)，然后對其線性化得到Jacobi矩陣為J：

代入S0，令det(J-λI)=0，特征方程為λ4+9.8λ3-42.85λ2+54.25λ+147=0，計算可得其特征值為λ1=λ2=λ3=1,λ4=0.96。根據(jù)Routh-hurwitz條件判定準則[13]，平衡點S0是系統(tǒng)不穩(wěn)定的鞍點，因此系統(tǒng)在鞍點處是不穩(wěn)定的。

3.3 Lyapunov指數(shù)性質(zhì)

混沌吸引子中任意相空間軌跡線之間會表現(xiàn)為一種互斥的形式，任意兩軌跡線之間的距離也會以指數(shù)速率相互分離，Lyapunov指數(shù)就是定量描述軌跡線彼此間的排斥和吸引的量，是混沌系統(tǒng)的重要特征。本文采用Jacobi方法計算系統(tǒng)(9)的Lyapunov指數(shù)值(簡記為LE)，得LE1=6.1458，LE2=3.1151，LE3=-1.5185，LE4=-5.8928。圖2為四維系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖，系統(tǒng)吸引子的分形維數(shù)(記為DL)為：

表明這個新構建的四維系統(tǒng)LE維數(shù)是分數(shù)維。綜上分析，該新構建四維系統(tǒng)為超混沌系統(tǒng)。

Figure 2 Lyapunov index phase diagram of four-demensional system圖2 四維系統(tǒng)Lyapunov 指數(shù)相圖

從上述對新構建的超混沌系統(tǒng)動力學分析可知，新系統(tǒng)具有超混沌的所有特性(兩個大于0的Lyapunov指數(shù))，代表動力系統(tǒng)軌道在相空間中分離特性的Lyapunov指數(shù)的快速分離。即使這樣簡潔的四維系統(tǒng)也能產(chǎn)生豐富的吸引子運動軌跡，實際上這也為今后從硬件方面實現(xiàn)提供了便捷的條件，彰顯了其復雜非線性動力學優(yōu)勢。

4 異構超混沌系統(tǒng)同步仿真

超混沌Chen系統(tǒng)具有豐富的動力學特征，其數(shù)學模型可表示為：

(10)

驅(qū)動系統(tǒng)方程：

響應系統(tǒng)方程：

根據(jù)定理1，令廣義控制器U=(U1,U2,U3,U4)T，則可表示為：

相應的參數(shù)自適應率為：

系統(tǒng)仿真中采用步長h=0.0001的四階-龍格庫塔方法，取矩陣Ψ為單位矩陣。本文中廣義同步控制器是采用自適應控制方法進行設計構造，參數(shù)估計值Φ和外部參數(shù)δ的取值將決定廣義同步控制器的選擇，從而影響系統(tǒng)是否能夠?qū)崿F(xiàn)廣義同步。通過計算機數(shù)值仿真分別取數(shù)估計值Φ為(5,-10,-3,0.4)、(5,-12,-3.5,0.7)，外部參數(shù)δ為30、50，得到如圖3所示的仿真效果圖。

Figure 3 System synchronous simulation results圖3 系統(tǒng)同步仿真效果圖

圖3a和圖3b為δ=50，Φ分別為(5,-10,-3,0.4)、(5,-12,-3.5,0.7)時的同步軌跡圖，圖3c和圖3d為Φ取(5,-12,-3.5,0.7)，δ分別為30、50時的同步軌跡圖。實驗結果表明，取合適的參數(shù)估計值Φ和外部參數(shù)δ，系統(tǒng)達到同步的效果很明顯，且δ的取值對同步效果影響更大。

5 超混沌系統(tǒng)廣義同步電路實現(xiàn)

根據(jù)系統(tǒng)方程，設計包含實現(xiàn)驅(qū)動電路、響應電路和廣義同步電路三部分組成的電路模塊，如圖4～圖8所示。其中運算放大器為LM347，模擬乘法器為AD633，各電路元件的取值由系統(tǒng)方程參數(shù)決定。模擬乘法器實現(xiàn)系統(tǒng)中的非線性項，運算放大器實現(xiàn)電路中的加減。

為了取值方便，設τ=t/(10RC)，因此可以得到如下無量綱標準化方程，驅(qū)動系統(tǒng)電路表示為：

(11)

響應系統(tǒng)電路表示為：

Figure 4 Schematic diagram of generalized chaos synchronization circuit圖4 廣義混沌同步電路總圖

Figure 5 Schematic diagram of drive system圖5 驅(qū)動系統(tǒng)電路原理圖

Figure 6 Schematic diagram of response system圖6 響應系統(tǒng)電路原理圖

Figure 7 Circuit subgraph of generalized synchronized controller圖7 廣義同步控制器子圖

Figure 8 Circuit subgraph of system error圖8 系統(tǒng)誤差電路子圖

(12)

在電路圖中令Rx,Ry,Rz,Rw,Rx′,Ry′,Rz′,Rw′=10 kΩ，C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8=10 nf。將式(11)、式(12)分別和式(9)、式(10)對比可得：Rx1=20 kΩ，Rx2=100 kΩ，Ry1=8.33 kΩ，Ry2=100 kΩ，Ry3=100 kΩ，Rz1=28.57 kΩ，Rz2=100 kΩ，Rw1=142.86 kΩ，Rw2=100 kΩ，Rx′1=2.86 kΩ，Rx′2=2.86 kΩ，Rx′3=100 kΩ，Ry′1=14.29 kΩ，Ry′2=100 kΩ，Ry′3=8.33 kΩ，Rz′1=100 kΩ，Rz′2=33.33 kΩ，Rw′1=100 kΩ，Rw′2=200 kΩ。取參數(shù)估計值為(5,-12,-3.5,0.7)，δ=50時，對應于廣義控制器中電阻的取值如下：R13=10 MΩ，R14=2 MΩ，R15=1 MΩ，R16=200 kΩ，R17=2 MΩ，R18=10 MΩ，R19=70 MΩ，R20=70 MΩ，R27=10 MΩ，R28=10 MΩ，R29=10 MΩ，R30=833.3 kΩ，R31=10 MΩ，R32=200 kΩ，R130=1.16 MΩ，R39=10 MΩ，R40=10 MΩ，R41=10 MΩ，R42=22.8 MΩ，R43=200 kΩ，R50=10 MΩ，R51=20 MΩ，R52=10 MΩ，R53=200 kΩ，R122=17 MΩ。為了方便，其他電阻取值統(tǒng)一為100 kΩ，實驗結果如圖9和圖10所示。

Figure 9 Trajectory diagram of drive system’s circuit圖9 驅(qū)動系統(tǒng)電路軌跡圖

Figure 10 Trajectory diagram of generalized choas synchronization circuit圖10 廣義混沌同步電路軌跡圖

6 結束語

本文構造出一個新的四維超混沌系統(tǒng)，并對其超混沌特性進行了理論和電路仿真分析。對于同步分析，關鍵一點在于控制器中外部參數(shù)δ的取值，通過取不同值對比討論，得到了一個合適的控制器，從而使驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)達到同步。最后，在Multisim電路仿真軟件上設計了一種實現(xiàn)異結構超混沌廣義同步電路，對于各部分電路模塊將其各自封裝為一個子電路，使得電路模塊結構清晰，實驗結果驗證了其有效性和實用性。新構建的超混沌系統(tǒng)在保密通信、智能優(yōu)化、圖像辨識、模糊控制等方面具有潛在的應用價值，也為今后硬件集成實現(xiàn)提供一定可借鑒的參考價值。

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ZHANG Xiao-hong,born in 1966,PhD,professor,her research interests include secure communication, and chaos synchronization.

周勇飛(1988-),男,江西臨川人，碩士生，研究方向為混沌同步電路和非線性動力學。E-mail:yongfeitop@126.com

ZHOU Yong-fei,born in 1988,MS candidate,his research interests include chaos synchronization circuit, and nonlinear dynamics.

Generalized synchronization system construction of heterogeneous hyperchaotic and its circuit simulation

ZHANG Xiao-hong,ZHOU Yong-fei
(School of Information Engineering，Jiangxi University of Science and Technology，Ganzhou 341000,China)

A four-dimensional hyperchaotic system is built based on the three dimensional chaotic Chen system. According to the Lyapunov stability theory, using the adaptive control method, a generalized synchronization controller is designed between the newly constructed four-dimensional hyperchaotic system and the four-dimensional hyperchaotic Chen system. The feasibility of generalized synchronization for the variable parameters estimates and the external parameter values in the controller is discussed, and then the generalized synchronization of heterogeneous systems is converted to the choice of controller. Through comparative analysis of different parameter estimates, appropriate values in the controller can be obtained to achieve the generalized synchronization. Finally, a generalized synchronization circuit is designed. The results of numerical simulation and circuit experiment demonstrate the validity of the method as well as the effectiveness and usefulness of the circuit.

hyperchaos system;parameters comparison;generalized synchronization;circuit simulation

2012-09-20;

2012-11-30

國家自然科學基金資助項目(11062002)；江西省自然科學基金資助項目(2010GZS0083)；江西省教育廳科技項目(GJJ11470)

1007-130X(2014)03-0551-07

TP391.9

A

10.3969/j.issn.1007-130X.2014.03.031

張小紅(1966-),女,河北昌黎人，博士，教授，研究方向為保密通信和混沌同步。E-mail:xiaohongzh@263.net

通信地址：341000 江西省贛州市江西理工大學信息工程學院

Address:School of Information Engineering，Jiangxi University of Science and Technology，Ganzhou 341000,Jiangxi,P.R.China