劉 娟， 孫禮俊

(蚌埠學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理系,安徽 蚌埠 233030)

0 引言

捕食系統(tǒng)在種群動(dòng)力學(xué)建模中非常重要,多年來受到國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注[1-3]．但是,在傳統(tǒng)的捕食系統(tǒng)模型中,都假設(shè)食餌對(duì)捕食者的威脅具有相同的抵御能力．這種假設(shè)對(duì)于許多動(dòng)物種群來說是很不現(xiàn)實(shí)的．因此,近年來具有階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)模型受到學(xué)者的關(guān)注[4-9]．文獻(xiàn)[6]研究了一類食餌具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食系統(tǒng)模型

(1)

(2)

文獻(xiàn)[6]研究了系統(tǒng)(2)的Hopf分支問題,得到了系統(tǒng)(2)產(chǎn)生Hopf分支的充分條件．Hopf分支是一種重要的非線性現(xiàn)象,而這種現(xiàn)象的發(fā)生可能對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)造成難以估計(jì)的有害影響．基于此,本文針對(duì)系統(tǒng)(2),利用狀態(tài)反饋和參數(shù)擾動(dòng)設(shè)計(jì)Hopf分支控制器,研究受控系統(tǒng)的Hopf分支,其模型如下：

(3)

其中α′和β′是對(duì)系統(tǒng)Hopf分支進(jìn)行控制的參數(shù)．

1 受控系統(tǒng)的Hopf分支存在性

顯然,系統(tǒng)(3)和(2)具有相同的平衡點(diǎn)．由文獻(xiàn)[6]知,如果系統(tǒng)(3)滿足條件

H1)α2-(1+βγ1)α1>0,

(4)

系統(tǒng)(4)的特征方程為

λ3+A2λ2+A1λ+A0+(B2λ2+B1λ+B0)e-λτ+(C1λ+C0)e-2λτ=0,

(5)

其中

A0=(a12a21-a11a22)a33,A1=a11a22-a12a21+(a11+a22)a33,A2=-(a11+a22+a33),

B0=a11(a23b32-a33b22)+b33(a12a21-a11a22),B1=b22(a11+a33)+b33(a11+a22)-a23b32,

B2=-(b22+b33),C1=b22b33,C0=a11b22b33.

方程(5)兩邊同時(shí)乘以eλτ,得到

B2λ2+B1λ+B0+(λ3+A2λ2+A1λ+A0)eλτ+(C1λ+C0)e-λτ=0,

(6)

當(dāng)τ=0時(shí),方程(6)變?yōu)?/p>

λ3+(A2+B2)λ2+(A1+B1+C1)λ+A0+B0+C0=0.

(7)

根據(jù)赫爾維茨定理,如果

H2)A2+B2>0,且(A2+B2)(A1+B1+C1)>A0+B0+C0,

當(dāng)τ>0時(shí),令λ=iω(ω>0)為特征方程(6)的根,代入(6)并分離實(shí)虛部得

(8)

從而,有

(9)

其中

n5=B2,n3=A2B1-A1B2-B2C1-B0,n1=A1B0+B0C1-A0B1-B1C0,

n4=B1-A2B2,n2=(A0-C0)B2+(C1-A1)B1+A2B0,n0=B0(C0-A0),

進(jìn)而,得到

ω12+e5ω10+e4ω8+e3ω6+e2ω4+e1ω2+e0=0,

(10)

其中

令ω2=v,方程(10)變?yōu)?/p>

v6+e5v5+e4v4+e3v3+e2v2+e1v+e0=0.

(11)

下面給出如下假設(shè):

H3) 方程(11)存在6個(gè)正根,分別表示為v1,v2,v3,v4,v5和v6,

對(duì)于每個(gè)特定的ωk,根據(jù)(9),可以得到

方程(6)的兩端分別對(duì)τ進(jìn)行求導(dǎo),得到

因此

其中

顯然,如果

H4)PRQR+PIQI≠0,

根據(jù)文獻(xiàn)[9]中的Hopf分支定理,得到下列結(jié)果．

定理1對(duì)于受控系統(tǒng)(3),如果H1)～H4)成立,則

2 數(shù)值模擬

對(duì)受控系統(tǒng)(3)進(jìn)行數(shù)值模擬,系統(tǒng)參數(shù)選取如下:

α1=0.5,α2=2,β=1,γ1=0.25,γ2=0.5,α′=0.2,β′=0.4.

得到受控系統(tǒng)

(12)

圖1 當(dāng)τ=4.5<τ0=4.6375時(shí),系統(tǒng)(12)漸近穩(wěn)定

圖2 當(dāng)τ=4.75>τ0=4.6375時(shí),系統(tǒng)(12)不穩(wěn)定并發(fā)生Hopf分支

3 結(jié)論

Hopf分支控制是通過對(duì)給定的非線性動(dòng)力系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)控制器,用來延遲或者消除Hopf分支的產(chǎn)生，從而去掉系統(tǒng)中的有害動(dòng)力學(xué)性質(zhì)．本文針對(duì)一類食餌具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食系統(tǒng),設(shè)計(jì)了一類Hopf分支控制器，并通過分析受控系統(tǒng)特征方程根的分布,給出受控系統(tǒng)Hopf分支存在的充分性條件．最后,利用仿真實(shí)例,驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的控制器的有效性．

參考文獻(xiàn):

[1] 鄭重武,張鳳琴.一類捕食者有病的捕食-被捕食的SIS模型[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,26(2):132.

[2] 韓二東,鄭唯唯,羅立貴.一類兩種群均有收獲率捕食系統(tǒng)的細(xì)焦點(diǎn)與極限環(huán)[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2008,27(3):447.

[3] 姜樂,吳強(qiáng),呂小光.一類依賴比率的Holling-Tanner捕食模型的定性分析[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,25(3):19.

[4] 劉娟.具有時(shí)滯和階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)的分支分析[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,15(2):149.

[5] 劉娟,張子振.具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯Crowley-Martin功能反應(yīng)型捕食者-食餌系統(tǒng)的Hopf分支[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2014,27(1):88.

[6] Wang Lingshu,Xu Rui,Feng Guanghui.A stage-structured predator-prey system with time delay[J].J Appl Math Comput,2010,33(1):267.

[7] Kar T K,Janna Soovoojeet.Stability and bifurcation analysis of a stage structured predator prey model with time delay[J].Appl Math Comput,2012,219(8):3779.

[8] Xu Rui.Global dynamics of a predator-prey model with time delay and stage structure for the prey[J].Nonlinear Anal RWA,2011,12(4):2151.

[9] Sun Xiaoke,Huo Haifeng,Xiang Hong.Bifurcation and stability analysis in predator prey model with a stage-structure for predator[J].Nonlinear Dyn,2009,58(3):497.

[10] Hassard B D,Kazarinoff N D.Theory and applications of Hopf bifurcation[M].Cambridge:Camb Univ Press,1981.