杜鳳嬌

(徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院,江蘇 徐州 221111)

0 引言

Heath等[1]提出的利率期限結(jié)構(gòu)建模方法是期限結(jié)構(gòu)理論發(fā)展史上的重要里程碑.相對(duì)于基于即期利率模型的期限結(jié)構(gòu)理論,HJM框架具有更多的優(yōu)越性[2].因此,HJM框架一經(jīng)問(wèn)世,就引起了金融理論界的廣泛關(guān)注.Bj?rk,Chiarella等[3-5]進(jìn)一步討論了在HJM框架下,遠(yuǎn)期利率方程由Poisson型跳躍過(guò)程驅(qū)動(dòng)時(shí)的利率期限結(jié)構(gòu)相關(guān)問(wèn)題,更好地?cái)M合了遠(yuǎn)期利率和即期利率收益的“尖峰厚尾”現(xiàn)象.趙靜嫻等[6]就跳躍-擴(kuò)散型遠(yuǎn)期利率方程進(jìn)行了相關(guān)問(wèn)題的討論.

Poisson型跳躍在有限時(shí)段內(nèi)以概率1跳躍次數(shù)有限,而Lévy過(guò)程是更一般的跳躍過(guò)程,將Poisson型跳躍-擴(kuò)散模型作為其特例,它在有限時(shí)段內(nèi)可以有可列無(wú)限次跳躍.關(guān)于Lévy過(guò)程的詳細(xì)介紹參見(jiàn)文獻(xiàn)[7-8].Eberlein等[9-10]討論了Lévy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的HJM 框架下債券市場(chǎng)的幾個(gè)主要金融理論問(wèn)題.本文討論與文獻(xiàn)[10]相同的問(wèn)題,主要采用Musiela等[11-12]提出的遠(yuǎn)期測(cè)度方法和Chan[13]構(gòu)造的Lévy過(guò)程等價(jià)鞅測(cè)度技巧,獲得了Lévy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的HJM框架下債券市場(chǎng)無(wú)套利的充分條件,為進(jìn)一步研究這種債券市場(chǎng)下各種債券衍生產(chǎn)品的定價(jià)打下理論基礎(chǔ).

1 Lévy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的HJM框架下的債券市場(chǎng)模型

考慮一連續(xù)時(shí)間交易經(jīng)濟(jì)系統(tǒng),交易時(shí)段為[0,T*]．設(shè)Y={Yt,0≤t≤T*}是定義在帶流概率空間(Ω,F,(Ft),P)上的一維Lévy過(guò)程,且有標(biāo)準(zhǔn)分解

Yt=cWt+Mt+αt,

(1)

其中W={Wt,0≤t≤T*}是一維標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng),M={Mt,0≤t≤T*}為純跳躍Lévy過(guò)程,c和α是常數(shù).假設(shè)對(duì)所有的h∈(-h1,h2),0

設(shè)到期日為T(

df(t,T)=α(t,T)dt+σ(t,T)dYt,

(2)

其中對(duì)每個(gè)T,α(t,T)和σ(t,T)為R上適應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程且σ(t,T)是有界的.

將(1)式代入(2)式，整理可得

df(t,T)=(α(t,T)+ασ(t,T))dt+σ(t,T)cdWt+σ(t,T)dMt,

(3)

對(duì)(3)式積分,得

(4)

其中f(0,·):[0,T*]→R為Borel可測(cè)函數(shù).T時(shí)刻到期的零息債券價(jià)格B(t,T)可由遠(yuǎn)期利率表示,即

從而

由(4)得

記

則

本文考慮的債券價(jià)格B(t,T)滿足以下Lévy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程:

dB(t,T)=B(t-,T)(a(t,T)dt+b(t,T)dYt)

=B(t-,T)((a(t,T)+αb(t,T))dt+cb(t,T)dWt+b(t,T)dMt).

對(duì)固定的到期日T∈(0,T*),到期日為T*的債券價(jià)格B(t,T*)滿足方程

dB(t,T*)=B(t-,T*)(a(t,T*)dt+b(t,T*)dYt)

=B(t-,T*)((a(t,T*)+αb(t,T*))dt+cb(t,T*)dWt+b(t,T*)dMt).

dB-1(t,T*)=-B-2(t-,T*)dB(t,T*)+B-3(t-,T*)B2(t-,T*)b2(t,T*)c2dt

+(B-1(t,T*)-B-1(t-,T*)+B-2(t-,T*)B(t-,T*)b(t,T*))ΔMt,

從而

+(b(t,T)-b(t,T*))dYt)+B(t,T)(B-1(t,T*)-B-1(t-,T*))

2 Lévy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的HJM框架下債券市場(chǎng)無(wú)套利的充分條件

本節(jié)討論由Lévy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的HJM框架下債券市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)的充分條件．為此，定義遠(yuǎn)期債券價(jià)格過(guò)程

?t∈[0,T], 0

記ΔB-1(t,T*)=B-1(t,T*)-B-1(t-,T*),則

dFB(t,T,T*)=FB(t-,T,T*)((a(t,T)-a(t,T*)+c2b2(t,T*)-c2b(t,T)b(t,T*))dt

+(b(t,T)-b(t,T*))dYt+b(t,T*)ΔMt)+B(t,T)ΔB-1(t,T*)

+B(t,T)ΔB-1(t,T*)b(t,T)ΔMt,

進(jìn)一步計(jì)算并整理得

dFB(t,T,T*)=FB(t-,T,T*)((αb(t,T)-αb(t,T*)+a(t,T)-a(t,T*)+c2b2(t,T*)

-c2b(t,T)b(t,T*))dt+c(b(t,T)-b(t,T*))dWt+(b(t,T)-b(t,T*))dMt

+b(t,T*)dMt+B(t-,T*)ΔB-1(t,T*)+B(t-,T*)b(t,T)ΔB-1(t,T*)dMt)

其中

a1(t,T)=αb(t,T)-αb(t,T*)+a(t,T)-a(t,T*)+c2b2(t,T*)-c2b(t,T)b(t,T*),

a2(t,T)=c(b(t,T)-b(t,T*)),a3(t,T)=b(t,T),a4(t,T)=B(t-,T*),

其中v,v1,v2為L(zhǎng)évy測(cè)度.從而

(5)

現(xiàn)給出本文的引理.

(6)

定義一個(gè)過(guò)程Zt，

其中ε(·)為Doleas-Dale指數(shù)半鞅[7].由Doleas-Dale公式可解得

則Zt是一個(gè)非負(fù)鞅,滿足Z0=1.

將(6)式整理得

(7)

(7)式兩邊對(duì)T求導(dǎo)并整理得

(8)

(9)

(9)式的解為

證明類似于文獻(xiàn)[13]中的方法,從略.

風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度(risk neutral measure)的引進(jìn)是期權(quán)定價(jià)理論上的一個(gè)重要里程碑.Harrison 等[14-15]首先證明了市場(chǎng)無(wú)套利等價(jià)于存在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q,使得市場(chǎng)中任何投資收益的貼現(xiàn)價(jià)格過(guò)程在Q測(cè)度下都是鞅.一般過(guò)程驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)的相應(yīng)結(jié)果由Delbaen等[16]給出.這樣,只要對(duì)所有不同到期日的債券能同時(shí)選擇出一公共的遠(yuǎn)期鞅測(cè)度,則在由Lévy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的HJM框架下的債券市場(chǎng)中,不同到期日的債券之間就不存在套利.因此,由引理1和2,得到本文的最終結(jié)論.

3 結(jié)果

Lévy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的HJM框架下債券市場(chǎng)無(wú)套利的充分條件如下：

定理1(無(wú)套利充分條件) 若存在R值Ft適應(yīng)過(guò)程Gt,H(t,x),H1(t,x)及H2(t,x)，使得

且對(duì)任意的T≤T*,Gt,H(t,x),H1(t,x)及H2(t,x)滿足方程(7)或(8)．那么由Lévy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的HJM框架下債券市場(chǎng)不存在套利.

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