李峰，苗奪謙，劉財輝，楊偉

(1.同濟大學 計算機科學與技術系，上海 201804； 2.同濟大學 嵌入式系統(tǒng)與服務計算教育部重點實驗室，上海 201804)

圖像分割是將圖像細分為構成它的子區(qū)域或對象，把其中感興趣的對象提取出來的技術和過程。它既是圖像處理中的重要內容，又是由圖像處理到圖像分析的關鍵步驟。圖像分割在實際中已得到廣泛的應用，如工業(yè)自動化、文檔圖像處理、生物醫(yī)學圖像分析等方面。

Sezgin等[1]總結了2003年以前的40種經典的閾值分割方法，這些方法按照分割時考慮的圖像信息分為6類：直方圖形狀、測試空間聚集度、熵、目標屬性、空間相關性和局部灰度圖。Sankar等[2]將粒計算和粗糙集思想運用于閾值分割，提出了一種基于粒計算和粗糙熵的目標提取方法。該方法主要解決灰度圖像中物體之間的邊界灰度值常常模糊的問題，圖像信息具有較強的空間復雜性、相關性，處理過程中會遇到不完整和不確定性問題。Sankar等[3]還做了進一步的工作，將這種處理方式運用于運動目標檢測。Sankar的方法是單閾值的分割，只是把圖像分割成背景和感興趣的目標區(qū)域，但有時感興趣的目標是多個，所以為了能分割出多目標區(qū)域，Dariusz等[4]提出了自適應多閾值粗糙熵優(yōu)化算法，這樣可以比較靈活地處理一些特殊需求。這2種方法都是在灰度圖像上進行處理，只是一維的，Dariusz等[5]又把處理的維度提升到兩維。Dariusz等[6-7]針對粗糙集與圖像分割的結合，還做了其他一系列工作。

上述的方法雖然解決了圖像分割中模糊性的問題，但忽略了噪聲對處理結果的影響。因為其使用的是Pawlak粗糙集模型，而Pawlak粗糙集模型使用的是絕對集合包含關系，對像素點的灰度值要求較嚴格，不能很好地處理帶噪聲的數(shù)據，所以上述方法都不宜處理帶有噪聲的圖像。而決策粗糙集魯棒性較好，能處理帶噪聲的數(shù)據，于是為了能夠較好地處理帶有噪聲的圖像，本文在文獻[2]的基礎上，結合決策粗糙集，提出一種能較好處理帶噪聲圖像的基于決策粗糙集的圖像分割方法。這里之所以選擇單閾值分割這種簡單情況，是因為方便闡述這種解決帶噪聲圖像的思想，對于多閾值分割情況，可以在單閾值分割基礎上進行擴展。

1 基礎知識

目前圖像分割的方法主要可以分為以下3類：基于閾值的圖像分割、基于邊緣檢測和連接的圖像分割以及基于區(qū)域的圖像分割。其中基于閾值的圖像分割是一種簡單有效的圖像分割方法，它用一個或幾個閾值T將圖像的灰度級分為幾個部分，認為屬于同一個部分的像素是同一個物體。如對于單閾值的圖像分割，可以有

(1)

式中：g(i,j)為該像素點的所屬部分，1代表目標區(qū)域，0代表背景區(qū)域，f(i,j)是指像素點第i行第j列的灰度值，T為閾值。閾值分割以其實現(xiàn)簡單、計算量小且性能穩(wěn)定的特點，在重視運算效率的應用場合得到了廣泛的應用。但是，圖像分割仍然是一個公認的難題。

1.1 Pawlak粗糙集

粗糙集理論[8]是1982年波蘭科學家Pawlak提出的。給定信息系統(tǒng)S=(U,A,V,f)，U為論域，A為屬性集，V為值域，f:U×A→V為信息函數(shù)。設屬性B?A和集合X?U，則可以在屬性B下用集合X的上下近似來近似模擬X。X的下近似和上近似分別定義為：

圖1 集合X的上近似、下近似示意圖Fig.1 The upper and lower approximations of set X

基于X的上、下近似，可以得到論域U的一個劃分，分別定義為X的正域POS(X)、負域NEG(X)和邊界域BND(X)：

由此可知,如果x∈POS(X)，則x一定屬于X；如果x∈NEG(X)，則x一定不屬于X，即屬于X的補集Xc；如果x∈BND(X)，則不能判斷x一定屬于或者不屬于X。

1.2 決策粗糙集

由于Pawlak粗糙集模型使用絕對集合包含關系來定義上、下近似，對于帶有噪聲的數(shù)據不能很好地處理。在文獻[9]中，Wong和Ziarkao將概率近似空間引入到粗糙集的研究中。令Pr(X|[x])表示等價類[x]中元素屬于X的條件概率。那么，可以得到粗糙集的另一種等價表示：

Pr(X|[x])=1?[x]?X

Pr(X|[x])=0?[x]∩X=?

0

則粗糙集中的3個域可以有另一種表示：

這樣，定性粗糙集3個域僅用了概率的2個極端值，即0和1。如果將0和1用其他的值來表示，就可以獲得一種定量粗糙集。

在1990年，Yao等在文獻[10]中提出了一個更一般性的概率粗糙集模型，稱為決策粗糙集模型。該模型用一對概率閾值來定義概率正、負和邊界域。設0≤β≤α≤1，決策粗糙集模型的一個基本結果是(α,β)-概率正、負和邊界域：

同Pawlak的3個域相比，α和β分別取代了概率極值1和0。為了表示集合X在B下的不確定程度，粗糙度R的定義被提出，即：

(2)

當粗糙度為0時，X在B下是精確的，即是一個精確集；而當粗糙度大于0時，X在B下是模糊不可辨的，是一個粗糙集。關于粗糙集更多詳細的介紹可以參見文獻[6]。

2 基于決策粗糙集的圖像分割

2.1 圖像的粗糙集描述

在圖像分割的過程中，圖像中的所有像素點構成論域U，將一幅圖像劃分成大小為m×n個重疊的塊，每個塊被看成是一個粒G。那么，每個粒中有m×n個像素點。定義粒后，圖像中的目標區(qū)域就可以用粗糙集思想來模擬，即目標區(qū)域的上下近似可以分別看成內部含有的最大粒簇和外部包含他的最小粒簇。

本文處理的是二值化灰度圖像，即將圖像分割成目標區(qū)域B和背景區(qū)域O兩部分。假設整幅圖像的灰度級為L，只要找到一個最好的閾值T，就能將圖像分成B(0,1,…,T)和O(T+1,T+2,…,L-1) 2類。這樣就可以得到目標區(qū)域和背景區(qū)域的上、下近似，分別表示為

式中：g(j,k)是粒Gi中像素點調用式(1)后的結果。因為做的是二值化，圖像中除了目標區(qū)域便是背景區(qū)域，背景也就是目標的補集，每個粒的像素點個數(shù)為mn，那么背景的正域便是目標的負域，因此可得：

(3)

可以看出，對于屬于目標(背景)下近似的粒，嚴格要求粒中的所有像素點的灰度值必須大于(小于)閾值T。此類式子對于沒有噪聲的圖像分割效果很好，但是在實際中有一些圖像帶有噪聲，對于這類帶有噪聲(如高斯噪聲)的圖像處理效果卻不盡人意，因為此類圖像幾乎找不到屬于下近似的粒，沒有辦法進行處理。

為了更好地處理帶有噪聲的圖像，因此將決策粗糙集的思想引入到圖像分割中，允許一些噪聲點的存在，這樣定義目標的上下近似時，概率閾值不再是{0,1}，而是{1-α,α}(α∈[0.5,1])，于是從式(3)得到新的定義公式：

再根據式(2)就能得到目標和背景的粗糙度：

(4)

式中：|·|表示集合的基，即集合元素的個數(shù)。這里定義圖像的粗糙熵：

(5)

文獻[2]中指出，當粗糙熵最大時，取得最優(yōu)的分割閾值T，即T*=argmaxRET。當熵取得最大值時,粗糙度也降到最低，取得最好的分類效果。

2.2 閾值最優(yōu)選擇算法

假設max_gray和min_gray分別表示圖像中最大的灰度級值和最小的灰度級值。圖像劃分成大小為m×n的粒Gi，粒的總數(shù)用total_num表示

分別表示目標和背景的上、下近似，ROT、RBT則分別表示目標和背景的粗糙度，RET表示粗糙熵。

初始化：置

為空集

1)fori=1 to total_num

*對所有的圖像粒Gi進行如下操作*初始化Ni為0

forj=1 tomn

*計算該粒中大于閾值T的像素點個數(shù)Ni*

if the gray ofj>T

Ni=Ni+1

end

end

ifNi/mn≥α

else

end

ifNi/mn≤1-α

else

end

end

2)forL=min_gray to max_gray

*對所有圖像灰度級進行如下操作*在進行運算前先調用 1)

根據式(4)分別得到在閾值L下目標和背景的粗糙度ROT(L)和RBT(L)。再根據式(5)計算出相應的粗糙熵RET(L)。

end

3)當粗糙熵值取得最大時圖像分割閾值取得最優(yōu)值，即：

3 實驗分析

本文所提出的方法是在文獻[2]的基礎上做出的改進，能很好地處理帶噪聲的圖像，所以為了驗證本文方法的優(yōu)勢，分別用文獻[2]中的方法和本文所提出的方法去處理帶噪聲的圖像，并進行了實驗對比。

3.1 粒尺寸的大小選擇

要完成圖像分割最優(yōu)閾值的選擇，首先需要的是將圖像劃分成一簇尺寸大小相等的粒，而粒的大小的選取影響著最終分割的效果。這里依據圖像的灰度直方圖，選取直方圖中各峰值對應的區(qū)域寬度中最小值的一半作為粒的長和寬[2]。選的太大會出現(xiàn)漏判目標區(qū)域為背景區(qū)域的情況，而選的太小則會把一些不必要的區(qū)域誤判為目標區(qū)域，增加算法復雜度。粒的尺寸變大(變小)會使求出的最佳閾值T減小(增大)。

3.2 實驗結果

實驗選取了文獻[2]實驗中的塊圖片(BLOCKS)，并對其進行了尺寸變換(變換為512×512和加噪聲(椒鹽噪聲)處理，然后用本文提出的方法和文獻[2]提出的方法分別進行處理，并比較最終的實驗結果，即最后閾值的選擇情況和分割效果。

首先是選擇粒的尺寸，圖片的灰度直方圖如圖2所示，只要選擇峰值對應區(qū)域寬度最小值的一半作為粒的長寬是最合適的。圖2中峰值對應區(qū)域最小的部分為180和220之間，即最小寬度為40，這樣將圖像劃分成20×20的粒群是最合適的。

圖2 灰度直方圖Fig.2 Histogram of the image

圖像劃分完成后，分別按本文前面所提算法和文獻[2]中所提方法進行實驗，這里參數(shù)α取0.05，參數(shù)α的取值是根據經驗和多次實驗迭代而來。實驗結果如圖3所示。

3.3 結果分析

圖3(b)的閾值選擇結果在預期之中，如前面所講，按文獻[2]方法很難讓下近似不為0，導致所求的閾值無意義，根本起不到分類的效果。針對這個問題，實驗還選取了其他一些圖片，同樣進行加噪處理后，得到的閾值結果也為254，所以這個方法處理帶噪聲的圖片是不行的。

而本文的方法則有相對較好的結果，在處理帶噪聲的圖片時，允許粒中部分像素點為噪點，不會影響分割效果。而且在得到二值化的圖像后，再進行去噪，也簡單方便許多。所以在處理帶噪聲的圖片上，本文的方法是比較可行的。

(a)加噪聲原始圖片 (b)T=254[2]

(c)本文方法結果(T=104)圖3 實驗結果Fig.3 Experimental results

4 結束語

當前已有的大部分圖像分割方法都是針對不帶噪聲圖像提出的，然而實際生活中的圖像常常是存在噪聲的。為了較好地解決帶噪聲的圖像分割問題，本文利用粗糙集方法模擬圖像的目標和背景區(qū)域，提出了一種基于決策粗糙集的圖像分割方法。實驗結果表明，該方法在處理帶噪聲的圖像分割問題中能夠取得較理想的效果，并簡化了以往處理帶噪聲圖像的過程。在本文提出的方法中，如何進行參數(shù)α選取是一個較困難的問題，接下來的工作是如何尋找一種高效地選取參數(shù)α的方法。

參考文獻:

[1]SEZGIN M, SANKUR B. Survey over image thresholding techniques and quantitative performance evaluation[J]. Journal of Electronic Imaging, 2004, 13(1): 146-165.

[2]PAL S K, SHANKAR B U, MITRA P. Granular computing, rough entropy and object extraction[J]. Pattern Recognition Letters, 2005, 26(16): 2509-2517.

[3]CHAKRABORTY D, SHANKAR B U, PAL S K. Granulation, rough entropy and spatiotemporal moving object detection[J]. Applied Soft Computing, 2013, 13(9): 4001-4009.

[8]PAWLAK Z. Rough sets[J]. International Journal of Computer and Information Science, 1982(11)： 341-356.

[9]WONG S K M, ZIARKO W. Comparison of the probabilistic approximate classification and the fuzzy set model[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1987, 21: 357-362.

[10]YAO Y Y, WONG S K M, LINGRAS P. A decision-theoretic rough set model[C]//Proceedings of the 5th International Symposium on Methodologies for Intelligent Systems, Knoxville, USA, 1990 : 17-25.