俞天倫，馬世紅

(復(fù)旦大學(xué) 物理學(xué)系，上海 200433)

1 引 言

液體的黏性系數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)黏度，是描述液體內(nèi)摩擦性質(zhì)的重要的物理量，能夠表征液體反抗形變的能力，而只有在液體內(nèi)存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)才會(huì)表現(xiàn). 在高等學(xué)校開(kāi)設(shè)的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程中，測(cè)量黏度的常用方法有落球法[1]及毛細(xì)管法. 2種方法各有利弊：落球法對(duì)于小球的形狀、質(zhì)量以及放入量筒的位置要求較高，限于較高黏度的液體，例如蓖麻油；毛細(xì)管法對(duì)于已知黏度的液體要求較高(溫度、雜質(zhì)等)，限于較低黏度的流體且易于被清洗，例如水和酒精，且對(duì)儀器的維護(hù)困難. 本文基于泊肅葉公式，制作了簡(jiǎn)單的測(cè)量裝置，可以實(shí)現(xiàn)低成本、測(cè)量范圍可調(diào)、可控精度比較高的黏度測(cè)量.

2 實(shí)驗(yàn)原理及其裝置

2.1 黏度與雷諾數(shù)

黏滯力是流體受到剪應(yīng)力變形或拉伸應(yīng)力時(shí)所產(chǎn)生的阻力，是黏性液體內(nèi)部的流動(dòng)阻力. 黏滯力主要來(lái)自分子間相互的吸引力.

剪切黏度：2個(gè)板塊之間流體的層流剪切. 流體和移動(dòng)邊界之間的摩擦導(dǎo)致了流體剪切，描述該行為強(qiáng)度的是流體的黏度. 在一般的平行流動(dòng)中，剪切應(yīng)力τ正比于速度u梯度(圖1)，即

式中η即黏度[2].

(1)式假設(shè)流動(dòng)是沿著平行線的層流狀態(tài)，并且垂直于流動(dòng)方向的y軸指向最大剪切速度. 滿(mǎn)足剪切應(yīng)力-速度梯度線性關(guān)系方程的流體被稱(chēng)作“牛頓流體”.

圖1 剪切黏度的示意圖

2.2 泊肅葉公式及其應(yīng)用

泊肅葉公式[3-4]：牛頓流體在圓管內(nèi)處于層流狀態(tài)，L為管長(zhǎng)，p為圓管兩端壓強(qiáng)差，a為圓管半徑(如圖2所示)，則在管內(nèi)的流量：

容器是圓柱體處于大氣壓下(如圖2所示)，且水位下降足夠慢(準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程)，使圓管中水流保持層流狀態(tài)，可以認(rèn)為p=ρgy，此時(shí)射出的水流應(yīng)呈拋物線狀且平穩(wěn)，則有：

其中A=πR2是容器的截面積. 求解(3)式可以得到：

對(duì)(4)式兩邊同時(shí)乘以容器的截面積A，得：

式中V為容器中的液體有效體積，即圖2中y所對(duì)應(yīng)的體積，V0為初始有效體積.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

2.3 裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示，其主體是2 L的量筒(圓柱形容器)，在其側(cè)壁上，以200 mL處為中心，開(kāi)出直徑約3.8 mm的圓孔，之后接上長(zhǎng)度適中的橡膠軟管(內(nèi)徑3.72mm)并用502膠水固定. 圓管采用的是多種內(nèi)徑四氟乙烯管(內(nèi)徑分別為1.2 mm，1.6 mm，2.0 mm，2.8 mm)，剪裁合適的長(zhǎng)度后，利用502膠水固定在連接件內(nèi)，之后連接于軟管中. 采用這種方案便于更換不同內(nèi)徑的流管以測(cè)量不同黏度范圍的液體.

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

其余測(cè)量工具有：秒表、直尺、溫度計(jì)等. 實(shí)驗(yàn)中的待測(cè)液體為水和羧甲基纖維素納(簡(jiǎn)稱(chēng)CMC)溶液.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

選擇一定規(guī)格的圓管組合連接于軟管中(如圖4所示結(jié)構(gòu))，將待測(cè)液體注入量筒中，直到超過(guò)2 L刻度線200～300 mL. 確認(rèn)裝置各連接處沒(méi)有漏水后，將軟管按住稍向下傾斜，使液體流出圓管并排除氣泡. 可以觀察到此時(shí)流出的水流呈拋物線狀，并且較為平穩(wěn)，射程隨時(shí)間緩慢減小. 再次確認(rèn)裝置各連接處沒(méi)有漏水，調(diào)整圓管使其保持水平.

圖4 俯視結(jié)構(gòu)示意圖

當(dāng)確認(rèn)圓管中氣泡排除后，則可選擇合適的液面位置開(kāi)始計(jì)時(shí). 根據(jù)液面下降的速度，選擇合適的體積間隔(一般選為最小刻度的1～2倍，即20 mL或者40 mL)并計(jì)時(shí). 在至少采樣10個(gè)點(diǎn)之后，利用V=aebt進(jìn)行擬合并求出η. 隨后通過(guò)求導(dǎo)以及截面的換算，推出速度v的范圍，則進(jìn)一步可得到Re的范圍.

使用內(nèi)徑2a=(1.20±0.01) mm，長(zhǎng)度L=(14.90±0.01) cm的四氟乙烯管，水溫19.7 ℃時(shí)，擬合結(jié)果如圖5所示.

圖5 19.7 ℃下水的擬合結(jié)果

算出η=1.032 mPa·s，不確定度分別由重力加速度g、流管半徑a、流管長(zhǎng)度L、量筒半徑R以及擬合參量b的不確定度貢獻(xiàn)：

得到u(η)=0.018 mPa·s.

參考值可以查表[5]得到溫度為整數(shù)時(shí)的黏度. 對(duì)于溫度不是整數(shù)的情況，采用加權(quán)平均的方式得到參考值. 例如:實(shí)際水溫為19.7 ℃，水在19 ℃和20 ℃時(shí)理論黏度為1.029 9 mPa·s和1.005 0 mPa·s，計(jì)算參考值時(shí)前者權(quán)重為0.3，后者權(quán)重為0.7，得到參考值η參考=1.012 5 mPa·s. 測(cè)量值相比參考值，相對(duì)偏差Δ=1.9%.

進(jìn)一步處理后，得到圓管中速度v的范圍在0.59～0.85 m/s，從而分別得到由η測(cè)量計(jì)算的Re范圍在690～985，由η參考計(jì)算的Re范圍在700～995.

對(duì)19.7 ℃做3次測(cè)量，得到的黏度相差不超過(guò)6%，具有可重復(fù)性. 通過(guò)3次的結(jié)果得到平均值η=(1.06±0.04) mPa·s，相對(duì)偏差Δ=4.7%.

對(duì)水所有實(shí)際采樣過(guò)程中，通過(guò)擬合的V=aebt處理，得到水面下降速度在10-4m/s量級(jí)；圓管中水流速度在10-1m/s量級(jí)，Re均在1 000以下，屬于層流，排除了流體處于紊流或者湍流狀態(tài). 如果處于紊流(湍流)狀態(tài)，測(cè)得的黏度將是與流速、環(huán)境因素等相關(guān)的表征值而非物質(zhì)的本征性質(zhì).

表1中所測(cè)得的黏度η測(cè)量相比理論值η參考有一定的偏差，產(chǎn)生偏差的原因可能是：

1)所用的四氟乙烯管并非理想的直線型，有小量的彎曲，使水流在經(jīng)過(guò)彎曲處時(shí)動(dòng)能減損，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果偏大；

2)水流在從量筒進(jìn)入圓管的一小段位置，其實(shí)是突變界面的流動(dòng)，這一小段的水流受到的局部阻力較大，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果偏大；

3)水中含有雜質(zhì)，影響不可知；

4)量筒、圓管的材料，熱膨脹系數(shù)在10-6～10-5℃-1量級(jí)，在測(cè)量的溫度范圍可以忽略不計(jì).

表1 不同溫度下水的黏度測(cè)量結(jié)果

使用這套簡(jiǎn)易測(cè)量裝置，在這5個(gè)溫度下均分別做過(guò)多次測(cè)量，誤差最大不超過(guò)7%，最接近參考值的測(cè)量值誤差均不超過(guò)2%，平均誤差不超過(guò)5%.

圖6 水的黏度與溫度的關(guān)系

羧甲基纖維素鈉(CMC)是一種常用的高分子聚合物增稠劑. 在測(cè)量的質(zhì)量分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)，均屬于牛頓流體[未出現(xiàn)無(wú)管虹吸[7]現(xiàn)象且符合由牛頓流體推出的(5)式]. 在配置溶液時(shí)，發(fā)現(xiàn)：1)其密度比水大(例如在2 500 mL水中加入約20 g CMC，當(dāng)充分溶脹后，溶液體積會(huì)減少約50 mL)；2)完全溶脹后，分布不均勻，在容器底部溶質(zhì)稍多于液面處(在移液時(shí)可以觀察到底部的黏度稍大). 所以計(jì)算密度時(shí)，引入3%的不確定度，且質(zhì)量分?jǐn)?shù)一列指的是測(cè)量時(shí)的CMC溶液質(zhì)量分?jǐn)?shù)不超過(guò)該值(但偏差不大).

CMC溶液的黏度測(cè)量結(jié)果如表2所示.

表2 CMC溶液的黏度測(cè)量結(jié)果

測(cè)量出的黏度與文獻(xiàn)[8]中測(cè)出的黏度均在同一量級(jí)上，且在相應(yīng)質(zhì)量分?jǐn)?shù)點(diǎn)均偏小. 由于制作過(guò)程、雜質(zhì)含量等不同，其CMC相同質(zhì)量分?jǐn)?shù)的溶液黏度會(huì)有變化. 基于這兩點(diǎn)以及水的結(jié)果誤差大小，可判斷測(cè)得CMC溶液的黏度是可信的.

在測(cè)量范圍內(nèi)，排除溫度差異相對(duì)較大的0.05%及0.2%這2個(gè)點(diǎn)后，發(fā)現(xiàn)其余的CMC溶液的黏度與質(zhì)量分?jǐn)?shù)有指數(shù)增長(zhǎng)的規(guī)律(圖7). 根據(jù)文獻(xiàn)[9]，部分多種組分的液體的黏度可以由Lobe法經(jīng)驗(yàn)公式給出：

其中，η為黏度，ρ為密度，γ為體積分?jǐn)?shù)，α為特性黏度參量，R為氣體摩爾常量，T為絕對(duì)溫度.

圖7 CMC溶液的黏度與質(zhì)量分?jǐn)?shù)的關(guān)系

測(cè)量到的CMC溶液的黏度，在小范圍內(nèi)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)變化下，滿(mǎn)足簡(jiǎn)單的近似經(jīng)驗(yàn)公式η=A+BeCφ(其中φ為CMC的質(zhì)量分?jǐn)?shù))，相關(guān)系數(shù)r2～0.997. 其物理機(jī)制與CMC分子對(duì)水分子的吸附、CMC分子的團(tuán)簇作用與擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)等因素相關(guān)，目前沒(méi)有完善的理論能包含不同種類(lèi)的溶液.

4 結(jié)束語(yǔ)

使用自制的簡(jiǎn)易裝置，測(cè)量了不同溫度下水的黏度，與理論值相比誤差較小. 在測(cè)量溫度范圍內(nèi)，水的黏度與絕對(duì)溫度的倒數(shù)呈線性關(guān)系. 用該裝置測(cè)量了保持牛頓流體性質(zhì)范圍內(nèi)的不同質(zhì)量分?jǐn)?shù)的CMC溶液，其黏度與質(zhì)量分?jǐn)?shù)呈指數(shù)增長(zhǎng). 該裝置通過(guò)更換不同規(guī)格的圓管，在滿(mǎn)足被測(cè)液體是層流狀態(tài)且流速較低的條件下，使測(cè)量時(shí)間范圍不過(guò)長(zhǎng)(一般在5～15 min)，實(shí)現(xiàn)了10-3～100Pa·s量級(jí)的黏度測(cè)量.

參考文獻(xiàn)：

[1] 趙敏，強(qiáng)曉明. 落球法測(cè)液體黏度的改進(jìn)[J]. 物理實(shí)驗(yàn)，2011，31(11)：25-26.

[2] 歐特爾 H. 普朗特流體力學(xué)基礎(chǔ)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，1982：237-239.

[3] 波蒂斯A M，楊H D. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)——伯克利物理實(shí)驗(yàn)[M]. 北京：科學(xué)出版社，1982：187-191.

[4] 錢(qián)鈞，惠王偉，張春玲，等. 毛細(xì)管法測(cè)量液體黏度實(shí)驗(yàn)再設(shè)計(jì)[J]. 物理實(shí)驗(yàn)，2012，32(6)：1-4.

[5] 劉光啟，馬連湘，劉杰. 化學(xué)化工物性數(shù)據(jù)手冊(cè)[M]. 北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2002：1-12.

[6] 婁彥敏，劉娟紅，周曉平，等. 溫度對(duì)水的粘度和擴(kuò)散系數(shù)影響的研究[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，34(6)：34-39.

[7] 馬宗豪. 定常流場(chǎng)下非牛頓流體在波壁管內(nèi)的減阻特性[D]. 大連：大連理工大學(xué)，2009：1-2.

[8] 孫蘭芬. 甲基纖維素、羧甲基纖維素鈉、羥乙基纖維素溶液粘度的測(cè)定[J]. 河南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1987(4)：64.

[9] 童景山，李敬. 流體熱物理性質(zhì)的計(jì)算[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，1982：237-239.

[10] 沈元華，陸申龍. 基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)[M]. 北京：高等教育出版社，2003：119-122.

[11] 賈玉潤(rùn)，王公治，凌佩玲. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M]. 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1987：141-142.