付佳媛，邵霞，譚曉

(中國(guó)傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京100024)

1 前言

大概三十年前超共型代數(shù)由數(shù)學(xué)家Kac和物理學(xué)家Ademolloetal分別同時(shí)構(gòu)造得到的。作為Virasoro代數(shù)的推廣，此類(lèi)代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示理論將對(duì)其他代數(shù)，尤其是李超代數(shù)的研究有重要的推動(dòng)作用。在數(shù)學(xué)方面，Kac和vandeLeuer[5]，Cheng和Kac[2]已經(jīng)給出了超共型代數(shù)的所有可能的分類(lèi)，而后Kac又證明了這些分類(lèi)是完全的。

結(jié)構(gòu)和表示理論同樣是超共型代數(shù)的兩個(gè)重要研究方向。對(duì)于超共型代數(shù)的研究，目前只有N=1的情況得到了比較完整的結(jié)果，對(duì)于N=2的情況我們知之甚少。目前已知三類(lèi)N=2的超共型代數(shù)：Romand超共型代數(shù)，Neveu-Schwarz超共型代數(shù)和Topological超共型代數(shù)。對(duì)于N=2的Romand超共型代數(shù)，文獻(xiàn)[3]中已經(jīng)對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行了詳細(xì)討論，并給出其中間序列模的完整分類(lèi)。本文我們將對(duì)N=2的Neveu-Schwarz超共型代數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行討論。有了對(duì)此類(lèi)代數(shù)結(jié)構(gòu)的詳細(xì)刻畫(huà)，我們才能對(duì)其表示進(jìn)行深入的討論。

2 預(yù)備知識(shí)

由于超共型代數(shù)與李代數(shù)的密切關(guān)系，我們先給出幾類(lèi)李代數(shù)的定義。本文中我們用F，C，Z分別表示特征零的代數(shù)閉域，復(fù)數(shù)集，整數(shù)集。

定義1 我們稱(chēng)一個(gè)李代數(shù)Vir=spanF{Li，c| i∈} 為Virasoro代數(shù)，其中c∈ C為中心元素，如果基元素Li，c滿足如下Virasoro關(guān)系式：

定義2 我們稱(chēng)一個(gè)李代數(shù)L=spanF{Li，Hj，c|i，j∈}為扭的Heisenberg-Virasoro代數(shù)，其中c∈ C為中心元素，如果基元素Li滿足Virasoro關(guān)系式，且有滿足如下關(guān)系式：

[Li，Ij]=-jIi+j-δi+j，0(i2+i)c，[Hi，Hj]=iδi+j，0c

我們稱(chēng)一個(gè)Virasoro代數(shù)的模M為Harish-Chandra模，如果M具有有限維權(quán)空間分解，即

M=⊕λ∈CMλ，dimMλ<∞

這里Mλ={x∈M|L0x=λx}。

關(guān)于Virasoro代數(shù)的Harish-Chandra模我們有如下結(jié)論[7]：

定理1 如果M=⊕λ∈CMλ是Virasoro代數(shù)的不可約Harish-Chandra模，則M一定是(1)最高權(quán)模，(2)最低權(quán)模或(3)中間序列模。這里中間序列模是指dimMλ≤1，?λ∈C。

定理2 Virasoro代數(shù)的中間序列模只能是Aa，b，A(a)，B(a)，a，b∈ C或者是其商模，并且Virasoro代數(shù)的中心元素c在模上的作用為零。這里模Aa，b，A(a)，B(a)都具有基元素{xk|k∈}，且滿足：

A(a，b)：Lixk=(a+k+bi)xi+k，

A(a)：Lixk=(i+k)xi+k，k≠0，Lix0=i(i+a)xi，

B(a)：Lixk=kxi+k，k≠-i，Lix-i=-i(i+a)x0

定義3 N=2的Neveu-Schwarz超共型代數(shù)

3 無(wú)中心元素的低維表示

[Lm，Gr]=(a-r+mb)Gm+r，[Hn，Gr]=fGn+r，

其中a，b，f∈ C，f=0。設(shè)

[Gr，Gs]=arsLr+s+brsHr+s

利用Jacobi等式：

[Hk，[Gr，Gs]]=[[Hk，Gr]，Gs]+[Gr，[Hk，Gs]]，

令k=0，可得2f[Gr，Gs]=0，故

[Gr，Gs]=0，?r，s∈

[Li，Lj]=(i-j)Li+j，[Hi，Hj]=0，[Li，Hj]=-jHi+j

其中a+，a-，b+，b-，f1，f2∈C，r∈且(f1，f2)≠(0，0)。接下來(lái)我們將確定如上關(guān)系式中的常數(shù)。由Jacobi等式

可得a+=a-。記a+=a，令

由Jacobi等式

取k=0，可得a=0。取k=0，

左邊=ars(k-r-s)Lk+r+s+brs(-r-s)Hk+r+s，

右邊=((-r+kb-)ar+k，s+(-s+kb+)ar，s+k)Lr+s+k

+((-r+kb-)br+k，s+(-s+kb+)br，s+k)Hr+s+k

左邊=右邊，因此有

(3.1)

于是

brs+bks=ars(-k+(r+s)b-)+aks(-r+(k+s)b-)

令k=r，可得

brs=ars(-r+(r+s)b-)

(3.2)

brs=-ars(-s+(r+s)b+)

(3.3)

由(3.2)和(3.3)可得

b++b-=1

由

可得

其中k∈，r，s∈令可得

(3.4)

(3.5)

brs=d(-r+(r+s)b-)

4 中心擴(kuò)張

[Li，Lj]=(i-j)Li+j；

[Hi，Hj]=0；

[Li，Hj]=-jHi+j；

這里b++b-=1。在這一節(jié)里我們將考慮此代數(shù)的中心擴(kuò)張。

考慮李超代數(shù)的中心擴(kuò)張，自然要定義一個(gè)2-上圈。所謂2-上圈是指：設(shè)ɡ是域F上的李超代數(shù)，ɡ上的雙線性函數(shù)ψ，如果滿足：

f(H0)=φ(L1，H-1)

(4.1)

ψ=φ-φf(shuō)

其中

φf(shuō)(x，y)=f([x，y])，

則我們可以得到如下一些等式：

其中i≠0，

=0，?j∈

ψ(L0，H0)=ψ(L0，[L1，H-1])

=ψ([L0，L1]，H-1)+ψ(L1，[L0，H-1])

=-ψ(L1，H-1)+ψ(L1，H-1)

=0，

2ψ(L0，H0)=ψ(L0，[L1，L-1])

=ψ([L0，L1]，L-1)+ψ(L1，[L0，L-1])

=-ψ(L1，L-1)+ψ(L1，L-1)

=0，

接下來(lái)我們來(lái)確定各中心元素的值。

4.1 導(dǎo)出中心元素cL

根據(jù)前面確定的代數(shù)結(jié)構(gòu)，我們有

ψ(L1，L-1)=φ(L1，L-1) -φf(shuō)(L1，L-1)=φ(L1，L-1)-2f(L0)=0

從而

(i-2)ψ(Li，L-i)=ψ([Li-1，L1]，L-i)

=ψ(Li-1，[L1，L-i])-ψ(L1，[Li-1，L-i])

=(i+1)ψ(Li-1，L-i+1)-(2i-1)ψ(L1，L-1)

=(i+1)ψ(Li-1，L-i+1)

設(shè)ψ(Li，L-i)=li，可以得到

則對(duì)于?i≥3

令l2=cL∈ C，所以有

4.2 導(dǎo)出中心元素cH

由于ψ(H0，H0)=ψ([H1，L-1]，H0)=ψ(H1，[L-1，H0])-ψ(L-1，[H1，H0])=0，我們?cè)O(shè)ψ(Hi，H-i)=hi，i≠0，那么

(i-1)hi=(i-1)ψ(Hi，H-i)

=ψ([Hi-1，L1]，H-i)

=ψ(Hi-1，[L1，H-i])-ψ(L1，[Hi-1，H-i])

=iψ(Hi-1，H-i+1)

=ihi-1

因此有hi=ih1。若令h1=cHC，則有ψ(Hi，H-i)=icH，?i∈成立。

4.3 導(dǎo)出中心元素cHL

首先我們要來(lái)考慮ψ(Li，Hi)的關(guān)系：

ψ(L1，H-1)=φ(L1，H-1) -φf(shuō)(L1，H-1)

=φ(L1，H-1) -f(H0)

=0，

那么有

-(i-1)ψ(L-i，Hi)=ψ(L-i，[L1，Hi-1])

=ψ(L1，[L-i，Hi-1])+ψ([L-i，L1]，Hi-1)

=-(i+1)ψ(L-(i-1)，Hi-1)，

從而(i-2)ci=ici-1。設(shè)ψ(Li，H-i)=ci∈ C，則有

又令c2=cHL，得：

4.4 導(dǎo)出中心元素cG

由式(4.1)知，

那么

即得

因此

即

因此

至此我們推導(dǎo)得出所有N=2的Neveu-Schwarz的超共型代數(shù)的中心元素。實(shí)際上，由Jacobi等式，我們可以確定各個(gè)中心元素之間的關(guān)系，從而簡(jiǎn)化李超運(yùn)算的形式。

1.cHL和cH之間的關(guān)系

同理可得

cHL=(1-2b)cH

2.cG和cH，cL和cH之間的關(guān)系

根據(jù)Jacobi等式，

其中i∈，r，s∈我們可以得到

上式兩端用ψ作用，且假設(shè)i+r+s=0，可得：

(4.2)

(4.3)

將(4.3)代入可得

cL=(-10b2+14b-3)cH

通過(guò)上面所求出來(lái)的公式和定義我們可以得到一個(gè)含有中心元素的超代數(shù)

滿足如下關(guān)系：

[Hi，Hj]=icHδi+j，0；

[Li，Hj]=-jHi+j；

[1]孟道驥.復(fù)半單李代數(shù)引論[M].北京：北京大學(xué)出版社，1995.

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