王 瓊, 王 磊, 任偉建(東北石油大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院, 黑龍江 大慶 163318)

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基于FPSO-SA算法的威布爾分布參數(shù)估計研究

王 瓊, 王 磊, 任偉建
(東北石油大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院, 黑龍江 大慶 163318)

為解決威布爾分布等復(fù)雜分布模型采用常規(guī)方法很難直接進(jìn)行參數(shù)估計的問題, 提出了基于模糊粒子群模擬退火算法的威布爾分布參數(shù)估計。該算法根據(jù)粒子個體縱向和橫向運動特性, 引入模糊邏輯推理動態(tài)調(diào)整慣性權(quán)值因子, 提高了粒子群算法(PSO: Particle Swarm Optimization)的收斂速率； 將上述模糊粒子群算法(FPSO: Fuzzy Particle Swarm Pptimization)與模擬退火算法(SA: Simulated Annealing)結(jié)合, 以FPSO算法的速度位置更新公式作為SA算法的狀態(tài)生成函數(shù), 再運用Metropolis算法以概率接受新狀態(tài), 獲得全局最優(yōu)參數(shù)估計值。將基于上述智能算法的參數(shù)估計法運用到威布爾分布參數(shù)估計中, 提高了參數(shù)估計精度。實際應(yīng)用表明, 該參數(shù)估計方法在復(fù)雜分布模型參數(shù)估計中具有可行性和有效性。

威布爾分布； 參數(shù)估計； 模糊邏輯； 粒子群算法； 模擬退火算法

0 引 言

目前, 常規(guī)參數(shù)估計方法有： 最小二乘法、 極大似然法、 極大驗后法和最小風(fēng)險法等。其中最小二乘法和極大似然法可以得到精確的參數(shù)估計值[1]。然而對于威布爾分布等復(fù)雜分布模型采用常規(guī)參數(shù)估計法很難直接進(jìn)行參數(shù)計算。對于威布爾分布的3個參數(shù)的估計方法, 楊謀存等[2]采用極大似然法得到由3個超越方程組成的似然方程組, 但求解過程相當(dāng)繁瑣； 湯銀才等[3]采用Bayes估計法將先驗分布和后驗分布結(jié)合起來, 但后驗分布比較復(fù)雜； 傅惠民等[4]采用相關(guān)系數(shù)法, 但計算較為復(fù)雜； 王華勝[5]結(jié)合相關(guān)系數(shù)法和加權(quán)最小二乘法, 但其權(quán)值向量的選取存在局限性。近年來, 由于算法簡潔、 收斂速度快等優(yōu)勢, 粒子群(PSO： Particle Swarm Optimization)算法引起了許多學(xué)者的關(guān)注, 并被廣泛應(yīng)用于參數(shù)估計中, 董勝等[6]將PSO算法引入威布爾參數(shù)估計中, 運用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法尋找威布爾分布3個參數(shù)的最優(yōu)估計值； 羅航等[7]結(jié)合雙線性回歸估計和極大似然估計, 首先基于最小二乘的雙線性回歸求出初始解, 然后運用基于PSO算法的極大似然估計法迭代求出最優(yōu)估計值； 薛玉霞[8]提出基于粒子群優(yōu)化算法的相關(guān)系數(shù)參數(shù)估計法對三參數(shù)威布爾分布進(jìn)行參數(shù)估計。大量研究表明PSO算法在優(yōu)化過程中, 粒子常常由于“聚集”而出現(xiàn)“早熟”現(xiàn)象, 導(dǎo)致優(yōu)化性能下降、 優(yōu)化結(jié)果極易陷入局部極值[9]。針對這一問題筆者提出模糊粒子群模擬退火(FPSO-SA： Fuzzy Particle Swarm Optimization-Simulated Annealing)算法, 通過對標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法進(jìn)行模糊化, 引入進(jìn)化度因子和離散度因子根據(jù)模糊規(guī)則動態(tài)調(diào)整慣性權(quán)值因子, 降低粒子群的“聚集”程度。將模糊粒子群(FPSO： Fuzzy Particle Swarm Optimization)算法的更新公式作為模擬退火(SA： Simulated Annealing)算法的狀態(tài)生成函數(shù)得到FPSO-SA算法, 從而避免粒子群的“早熟”現(xiàn)象； 將FPSO-SA算法運用到威布爾分布參數(shù)估計中, 首先通過最小二乘法得出威布爾分布模型的線性相關(guān)系數(shù)函數(shù), 然后運用FPSO-SA算法優(yōu)化相關(guān)系數(shù)法, 以線性相關(guān)系數(shù)函數(shù)絕對值取負(fù)作為FPSO-SA算法的適應(yīng)度函數(shù), 通過降溫和迭代循環(huán)得到適應(yīng)度函數(shù)最小值對應(yīng)的位置參數(shù)估計值, 最后通過計算得出威布爾分布尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的估計值。

1 模糊粒子群模擬退火算法

在粒子群尋優(yōu)過程中, 慣性權(quán)值因子直接影響了粒子群的全局和局部搜索能力, 在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中, 慣性權(quán)值因子通過慣性最大值和慣性最小值計算得出, 對于處理粒子群的“聚集”現(xiàn)象效果不明顯。因此筆者從粒子個體縱向和橫向運動的特性出發(fā), 引入粒子個體的進(jìn)化度因子和離散度因子, 運用這兩個參數(shù)動態(tài)調(diào)整慣性權(quán)值因子, 同時對標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法進(jìn)行模糊化。通過模糊規(guī)則和模糊推理實現(xiàn)慣性權(quán)值因子的動態(tài)調(diào)整； 通過FPSO算法的更新公式作為SA算法的狀態(tài)生成函數(shù), 將FPSO算法與SA算法相結(jié)合得到FPSO-SA算法, 解決粒子群的“早熟”問題。利用降溫策略和迭代步數(shù)使FPSO算法收斂到全局最優(yōu)值。

1.1 模糊粒子群算法

1.1.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法

PSO算法是一種基于種群搜索策略的自適應(yīng)隨機(jī)優(yōu)化算法。PSO算法在優(yōu)化計算時各粒子速度和位置的更新公式[10]為

1.1.2 粒子群的進(jìn)化度和離散度

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中慣性權(quán)值因子ω決定了粒子對當(dāng)前速度繼承的程度。當(dāng)ω較大時, 粒子個體具有較強(qiáng)的全局搜索能力, 局部搜索能力較弱, 而當(dāng)ω較小時, 粒子個體具有較強(qiáng)的局部搜索能力, 搜索新空間的能力較弱[11]。針對這一特性, 筆者將引入兩個參數(shù)因子： 進(jìn)化度因子和離散度因子, 把慣性權(quán)值的變化量Δω構(gòu)建為進(jìn)化度因子和離散度因子的模糊函數(shù), 根據(jù)專家經(jīng)驗制定模糊控制規(guī)則表, 進(jìn)而實現(xiàn)慣性權(quán)值的動態(tài)調(diào)整。

ek越大說明進(jìn)化度越快,ek趨近于0時, 迭代結(jié)束或已經(jīng)找到全局最好位置。

σk越大說明粒子群的離散性越好。

1.1.3 基于模糊控制的慣性權(quán)值因子動態(tài)調(diào)整

為實現(xiàn)把慣性權(quán)值的模糊動態(tài)調(diào)整, 輸入輸出均采用三角形隸屬度函數(shù), 以便實現(xiàn)對進(jìn)化度因子、 離散度因子和慣性權(quán)值變化量的模糊化。把兩個輸入變量劃分為4個模糊集： 小(S)、 中小(MS)、 中大(ML)和大(L)； 把輸出變量劃分為5個模糊集： 負(fù)大(NB)、 負(fù)小(NS)、 零(Z)、 正小(PS)和正大(PB)[13]。由于0

慣性權(quán)值變化量的隸屬度函數(shù)為

FPSO算法中, 合適的慣性權(quán)值因子可使粒子群具有比較均衡的搜索能力和進(jìn)化度, 根據(jù)專家的經(jīng)驗和推理, 得出FPSO算法慣性權(quán)值變化量調(diào)整的模糊控制規(guī)則表[15](見表1)。

表1 模糊控制規(guī)則表

在慣性權(quán)值變化量的動態(tài)調(diào)整中, 對進(jìn)化度因子和離散度因子采用隸屬度函數(shù)進(jìn)行模糊化處理, 得到各模糊集對應(yīng)的隸屬度。然后根據(jù)模糊控制規(guī)則表進(jìn)行推理, 按照規(guī)則對應(yīng)元素取min(∧)運算, 再對得到的結(jié)果取max(∨)運算進(jìn)行組合[16], 得到慣性權(quán)值變化量模糊集的隸屬度, 然后應(yīng)用最大平均法反模糊化[17], 得到慣性權(quán)值變化量Δω的精確值, 由ω=ω+Δω實現(xiàn)慣性權(quán)值的動態(tài)調(diào)整。

1.2 模糊粒子群模擬退火算法

1) FPSO-SA算法的新狀態(tài)生成機(jī)制。SA算法的新狀態(tài)生成主要是靠隨機(jī)擾動。只有給SA算法足夠高的初始溫度、 較小的降溫策略才能找到全局最優(yōu)值, 且其尋優(yōu)過程很漫長。因此, 筆者采用FSPO算法的更新公式作為SA算法的狀態(tài)生成函數(shù), 根據(jù)粒子群向全局最優(yōu)位置運動的軌跡特性產(chǎn)生FPSO-SA算法的新狀態(tài), 以便提高新狀態(tài)的有效性, 降低無效狀態(tài)出現(xiàn)的頻率。

2) FPSO-SA算法的狀態(tài)選擇機(jī)制。筆者采用SA算法的核心部分Metropolis算法作為FPSO-SA算法的狀態(tài)選擇機(jī)制。其基本思想是： 從高溫到低溫, 不斷調(diào)用Metropolis算法, 使系統(tǒng)在每個溫度上都達(dá)到熱平衡, 最后在某個低溫處能量達(dá)到全局最小[18]。

Metropolis算法定義了狀態(tài)遷移概率(狀態(tài)遷移接受概率)[19], 即在當(dāng)前溫度T下狀態(tài)s遷移至狀態(tài)s′的概率

其中ΔE=E(s′)-E(s)是狀態(tài)遷移造成的能量變化,s為當(dāng)前狀態(tài),s′為由狀態(tài)生成函數(shù)生成的。當(dāng)ΔE<0時, 系統(tǒng)向低能態(tài)方向運動, 能量向極小方向運動, 則Metropolis算法無條件的接受隨機(jī)產(chǎn)生的新狀態(tài)s′, 狀態(tài)遷移概率p=1； 當(dāng)ΔE>0時, 系統(tǒng)向高能態(tài)方向運動, 為了避免局部能量極小, Metropolis算法并不完全拒絕新狀態(tài), 而是以一定概率接受隨機(jī)產(chǎn)生的新狀態(tài)s′, 狀態(tài)遷移概率p=exp(-ΔE/T)。

采用Metropolis算法反復(fù)以狀態(tài)遷移概率接受FPSO-SA算法產(chǎn)生的新狀態(tài), 直到粒子群到達(dá)全局最好位置。同時Metropolis算法允許FPSO-SA算法產(chǎn)生的狀態(tài)充分震蕩, 并以一定的概率接受粒子個體向非全局最好位置方向移動后的位置, 所以避免了FPSO-SA算法出現(xiàn)局部極值問題。

3) FPSO-SA算法的實現(xiàn)過程。FPSO-SA算法流程圖如圖1所示。

圖1 FPSO-SA算法流程圖Fig.1 Flow chart FPSO-SA

2 威布爾分布及其參數(shù)估計過程

2.1 三參數(shù)威布爾分布

威布爾分布是設(shè)備故障研究中應(yīng)用最廣泛的分布模型之一。威布爾分布有3個參數(shù), 分別是尺度參數(shù)、 形狀參數(shù)和位置參數(shù), 其分布函數(shù)[20]分別為

其中α>0為尺度參數(shù),β>0為形狀參數(shù),γ>0為位置參數(shù)。

2.2 威布爾分布參數(shù)估計過程

2.2.1 威布爾分布的線性相關(guān)系數(shù)函數(shù)

為求得威布爾分布的線性相關(guān)系數(shù)函數(shù), 首先假定參數(shù)位置γ已知, 然后通過最小二乘法將威布爾分布轉(zhuǎn)化為線性方程, 從而將其線性相關(guān)系數(shù)表示為γ參數(shù)的函數(shù)。

對式(7)左右兩邊做兩次對數(shù)變換, 得到

令

則式(8)可轉(zhuǎn)換為線性方程Y=a+bX。

設(shè)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)為一組試驗數(shù)據(jù), 令

得到

由最小二乘法[21], 得到待定的系數(shù)a和b以及線性相關(guān)系數(shù)ρ分別為

由式(12)可得威布爾分布的線性相關(guān)系數(shù)函數(shù)。

2.2.2 基于FPSO-SA算法的威布爾分布位置參數(shù)估計

由式(12)求出威布爾分布的線性相關(guān)系數(shù)是關(guān)于位置參數(shù)的函數(shù),γ參數(shù)的值必須使線性相關(guān)系數(shù)的絕對值取最大, 即

直接計算式(13)很復(fù)雜, 因此采用FPSO-SA算法確定最優(yōu)線性相關(guān)系數(shù)。

將威布爾分布線性相關(guān)系數(shù)函數(shù)ρ(γ)的絕對值取負(fù)作為FPSO-SA算法的適應(yīng)度函數(shù),其中ρ(γ)由式(12)確定。由于威布爾分布的線性相關(guān)系數(shù)0≤ρ≤1, 因此FPSO-SA算法的適應(yīng)度函數(shù)取值范圍為-1≤-|ρ(γ)|≤0。運用FPSO-SA算法粒子群尋找全局最好位置γ, 使適應(yīng)度函數(shù)-|ρ(γ)|取最小值, 當(dāng)適應(yīng)度函數(shù)取最小值-1時, 算法輸出當(dāng)前粒子群的全局最好位置即為威布爾分布位置參數(shù)的全局最優(yōu)估計值。

2.2.3 威布爾分布其他參數(shù)的確定

通過基于FPSO-SA算法的威布爾分布參數(shù)估計得到位置參數(shù)γ的估計值, 由式(12)可知, 系數(shù)a和b都是關(guān)于γ的函數(shù)。因此, 將γ的估計值代入式(12)計算得到系數(shù)a和b的估計值, 再由式(9)根據(jù)系數(shù)a和b的估計值, 便可計算得出威布爾分布尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的估計值, 從而實現(xiàn)威布爾分布的三參數(shù)估計。

3 模擬實例

筆者分別采用基于FPSO-SA算法、 模擬退火粒子群(SA-PSO: Simulated Annealing-Particle Swarm Optimization)算法和FPSO算法的威布爾分布參數(shù)估計方法, 對尺度參數(shù)α=2、 形狀參數(shù)β=3、 位置參數(shù)γ=4威布爾分布的30個隨機(jī)樣本進(jìn)行參數(shù)估計模擬。對FPSO-SA算法, 取c1=c2=2.15,n=50,m=30,ω0=0.7,T0=150,Tend=0.01,L=500, 降溫策略為T(k)=0.95T(k-1)； 對于SA-PSO算法, 參數(shù)取值和降溫策略均與FPSO-SA算法相同, 唯一不同的是SA-PSO算法慣性權(quán)值ω的最大值與最小值分別取ωmax=0.99,ωmin=0.35； 對于FPSO算法, 取c1=c2=2.15,n=50,m=30, 慣性權(quán)值由粒子群的進(jìn)化度和離散度確定； 同時3種算法的適應(yīng)度函數(shù)均取fFitness=-|ρ(γ)|。

圖2 適應(yīng)度函數(shù)值對比圖Fig.2 Comparison figure of fitness values

通過Matlab軟件運行算法程序后, 3種算法得到各自的最小適應(yīng)值, 圖2是FPSO-SA算法、 FPSO算法和SA-PSO算法迭代過程中適應(yīng)度函數(shù)值對比圖。由圖2可知, FPSO-SA算法和SA-PSO算法最終粒子群均找到了全局最好位置, 適應(yīng)度函數(shù)為-1, 但FPSO-SA算法比SA-PSO算法提前進(jìn)入全局最優(yōu)解的平穩(wěn)搜索, SA-PSO算法在31步才開始進(jìn)入平穩(wěn)搜索區(qū)域, FPSO-SA算法則在第18步就進(jìn)入了最優(yōu)解區(qū)間； 而FPSO算法由于粒子群沒有找到全局最好位置, 在50步的迭代中最小適應(yīng)值為-0.897 2, 沒有收斂到全局最優(yōu)值-1； 但對比FPSO算法曲線和SA-PSO算法曲線可知, 雖然FPSO算法沒有收斂到全局最優(yōu)值, 但FPSO算法收斂速率高于SA-PSO算法。綜上分析, 說明引入FPSO算法, 提高了FPSO-SA算法的收斂速率； FPSO算法與SA算法結(jié)合, 提高了FPSO-SA算法獲得全局最優(yōu)解的能力。

由3種算法輸出的最優(yōu)位置參數(shù)估計值, 根據(jù)式(12)計算得到系數(shù)a和b的估計值, 再根據(jù)式(9)計算得出威布爾分布尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的估計值。表2給出3種算法的模擬結(jié)果, 包括各算法的最小適應(yīng)值、 最優(yōu)位置參數(shù)估計值及其對應(yīng)的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)估計值。由表2可知, FPSO-SA算法與SA-PSO算法得出的3個參數(shù)估計值均接近于實際值, 但FPSO-SA算法的數(shù)據(jù)結(jié)果更接近于實際值； 且由圖2知, 該算法收斂速率相對FPSO-SA算法較慢； FPSO算法得到的最小適應(yīng)值為-0.897 2, 因此, 該方法得出的, 三參數(shù)估計值與真實值差距較大。

表2 模擬結(jié)果

4 結(jié) 語

筆者通過模糊理論動態(tài)調(diào)整慣性權(quán)值因子改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法, 提高PSO算法收斂速率, 并將FPSO算法與SA算法結(jié)合, 提高了FPSO-SA算法獲得全局最優(yōu)解的能力； 同時將FPSO-SA算法應(yīng)用于威布爾分布參數(shù)估計中, 解決了常規(guī)方法很難直接對威布爾分布進(jìn)行參數(shù)估計的問題。通過模擬實例說明： 基于FPSO-SA算法的威布爾分布參數(shù)估計具有收斂速度快、 獲得全局最優(yōu)參數(shù)估計值能力強(qiáng)、 魯棒性高等優(yōu)點。該方法不僅適用于威布爾分布, 還可運用于其他復(fù)雜分布模型, 且在進(jìn)行分布模型的參數(shù)估計方面具有通用性。

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(責(zé)任編輯： 張潔)

Research on Estimating Parameters of Weibull Distribution Model Based on FPSO-SA

WANG Qiong, WANG Lei, REN Weijian
(College of Electrical Information Engineering, Northeast Petroleum University, Daqing 163318, China)

To solve the problem of the difficulty in estimating the parameters of Weibull distribution model, a new algorithm based on FPSO(Fuzzy Particle Swarm Optimization) with SA(Simulated Annealing) for estimating the parameters of Weibull distribution model was presented. In this intelligent algorithm, the inertia factor of PSO was turned by adopting fuzzy logic reasoning to improve the convergence rate of the PSO(Particle Swarm Optimization) according to the characteristic of particle’s motion trajectory in longitudinal direction and lateral direction. Then combine the FPSO and SA, use the update formulas of FPSO as the state generating function of SA, and use Metropolis algorithm to accept the new state with probability to get the global optimal parameters’ estimations. The parameter estimation method based on the intelligent algorithm above-mentioned was used to estimate the parameters of Weibull distribution model, and the parameter estimation accuracy was improved. Practical application in the complex distribution model parameter estimation showed that the method was feasible and effective.

weibull distribution; estimate parameter; fuzzy logic; particle swarm optimization; simulated annealing algorithm

1671-5896(2014)05-0476-08

2014-01-23

國家自然科學(xué)基金資助項目(61374127)； 黑龍江省青年基金資助項目(QC2013C066)； 黑龍江省博士后科研啟動基金資助項目(LBH-Q12143)

王瓊(1969— ), 女, 黑龍江大慶人, 東北石油大學(xué)教授, 博士, 主要從事智能控制理論與應(yīng)用研究, (Tel)86-13836955000(E-mail)eienepu@163.com；

： 任偉建(1963— ), 女, 黑龍江泰來人, 東北石油大學(xué)教授, 博士生導(dǎo)師, 主要從事復(fù)雜系統(tǒng)的建模與控制研究, (Tel)86-13845901386(E-mail)renwj@126.com。

TP399

： A