別 佩，張步涵，鄧韋斯，吳俊利，曾遠(yuǎn)方

（華中科技大學(xué)強(qiáng)電磁工程與新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢 430074）

計(jì)及輸入變量強(qiáng)相關(guān)性的概率潮流計(jì)算模型

別 佩，張步涵，鄧韋斯，吳俊利，曾遠(yuǎn)方

（華中科技大學(xué)強(qiáng)電磁工程與新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢 430074）

利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，以風(fēng)電場(chǎng)出力為例，對(duì)其大量歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析，將具有強(qiáng)相關(guān)性的隨機(jī)變量用最小二乘進(jìn)行線性擬合，并用其中一個(gè)變量的線性表達(dá)式表示，從而消去隨機(jī)變量之間的強(qiáng)相關(guān)性，并認(rèn)為余下的呈弱相關(guān)或不相關(guān)的隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立，以便采用半不變量法計(jì)算概率潮流。

風(fēng)電；概率潮流；半不變量法；相關(guān)性；最小二乘法

現(xiàn)代電網(wǎng)中，可再生能源（如風(fēng)電、光伏發(fā)電）越來(lái)越多地應(yīng)用到發(fā)電系統(tǒng)。它們具有隨機(jī)性、間歇性和波動(dòng)性的特點(diǎn)，加劇了系統(tǒng)的不確定性。如何實(shí)現(xiàn)多元能源系統(tǒng)間的良性互動(dòng)和各種資源的綜合高效優(yōu)化利用，是當(dāng)前和未來(lái)都需要解決的重要課題。“源—網(wǎng)—荷”互動(dòng)（電源、電網(wǎng)、負(fù)荷相互之間良性互動(dòng)）是應(yīng)對(duì)未來(lái)電網(wǎng)能源結(jié)構(gòu)變革的重要手段，也是未來(lái)電網(wǎng)快速發(fā)展的必然趨勢(shì)［1］。

潮流計(jì)算是電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的確定性潮流計(jì)算需要負(fù)荷節(jié)點(diǎn)功率、發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)注入功率的確切值，且只能反映電力系統(tǒng)在某種確定工況下的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行狀況，不能用于計(jì)及不確定性因素場(chǎng)景的分析?？紤]系統(tǒng)的不確定性因素計(jì)算潮流的主要方法有概率潮流、區(qū)間潮流和模糊潮流。其中，概率潮流將不確定性變量表示為呈一定概率分布的隨機(jī)變量，根據(jù)輸入的隨機(jī)變量的概率特性求出各節(jié)點(diǎn)電壓幅值、相角和線路潮流的概率分布，相比模糊潮流和區(qū)間潮流，概率潮流能給出更為全面的電網(wǎng)信息。而解概率潮流方程的過(guò)程就是根據(jù)輸入隨機(jī)變量的期望、方差或概率分布來(lái)確定輸出隨機(jī)變量的期望、方差或概率分布［2］。

目前，概率潮流的計(jì)算方法主要有蒙特卡羅模擬法（Monte Carlo simulation method，MCSM）［3］、點(diǎn)估計(jì)法（point estimate method，PEM）［4］和卷積法［5－7］。蒙特卡羅模擬法是一種包含了狀態(tài)變量（節(jié)點(diǎn)電壓和幅值）和支路潮流的概率密度函數(shù)的算法，它通過(guò)對(duì)輸入隨機(jī)變量的概率分布重復(fù)采樣，從而得到一系列樣本，然后進(jìn)行多次確定性潮流計(jì)算，最終得到輸出變量的統(tǒng)計(jì)分布特性。盡管當(dāng)采集樣本足夠大時(shí)，蒙特卡羅模擬法可以得到較為精確的解，但是十分耗時(shí)，并不適用于系統(tǒng)的在線實(shí)時(shí)應(yīng)用。通常將蒙特卡羅模擬法更多地作為標(biāo)準(zhǔn)驗(yàn)證其它概率潮流計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。點(diǎn)估計(jì)法雖然有較快的計(jì)算速度，但是輸出變量的高階矩誤差較大［8］。卷積法通過(guò)將潮流方程線性化，將狀態(tài)變量和支路潮流用輸入變量的線性表達(dá)式表示，但是計(jì)算量大，需要大量存儲(chǔ)空間和時(shí)間開(kāi)銷，同樣不適合大系統(tǒng)求解。

采用半不變量法計(jì)算概率潮流則具有計(jì)算簡(jiǎn)單和計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)，該方法用Gram－Charlier展開(kāi)級(jí)數(shù)來(lái)擬合輸出隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，能大大減小所需的存儲(chǔ)空間，因此非常適合用于實(shí)時(shí)在線系統(tǒng)中。但該方法要求各個(gè)輸入隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立。隨著新能源的大規(guī)模并網(wǎng)，這個(gè)條件并不總能滿足。以風(fēng)電為例，當(dāng)幾個(gè)風(fēng)電場(chǎng)的地理位置較為接近時(shí)，它們的出力就具有明顯的正相關(guān)性，因此無(wú)法直接利用半不變量法求解。

為此，本文利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，對(duì)電力系統(tǒng)中的不確定因素進(jìn)行相關(guān)性分析，并以風(fēng)電為例，近似認(rèn)為風(fēng)電出力服從正態(tài)分布。將具有強(qiáng)相關(guān)性的隨機(jī)變量進(jìn)行線性擬合，從而減少隨機(jī)變量元，并近似認(rèn)為具有弱相關(guān)性的隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立。

1 相關(guān)性分析方法

1.1 相關(guān)性分析概述

相關(guān)性分析是指對(duì)兩個(gè)或多個(gè)具備相關(guān)性的變量元素進(jìn)行分析，從而衡量?jī)蓚€(gè)變量因素的相關(guān)密切程度。未來(lái)電網(wǎng)的一次能源具有多樣性（如水電、風(fēng)電、光伏發(fā)電、生物質(zhì)發(fā)電、海洋能發(fā)電等），其時(shí)空分布和動(dòng)態(tài)特性均存在一定的相關(guān)性。為避免尋找電力系統(tǒng)中各部分復(fù)雜的內(nèi)部相互關(guān)聯(lián)的機(jī)理，可以從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度出發(fā)，對(duì)大量歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性研究。相關(guān)性分析的主要內(nèi)容包括：確定現(xiàn)象之間是否存在相關(guān)關(guān)系以及相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式、確定相關(guān)關(guān)系的密切程度、確定相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即回歸方程式和驗(yàn)估計(jì)值的誤差。

與函數(shù)關(guān)系不同，函數(shù)關(guān)系是指現(xiàn)象間所具有的嚴(yán)格的確定性的依存關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是指客觀現(xiàn)象間確實(shí)存在關(guān)系，但數(shù)量上不是嚴(yán)格對(duì)應(yīng)的依存關(guān)系。電力系統(tǒng)中的隨機(jī)因素有很多，近年來(lái)由于風(fēng)電的迅速發(fā)展和大規(guī)模并網(wǎng)，風(fēng)電已經(jīng)成為“源—網(wǎng)—荷”互動(dòng)環(huán)境下不確定因素中極為重要的一個(gè)部分。本文以風(fēng)電為例，來(lái)研究不同風(fēng)電場(chǎng)出力的相關(guān)性及其在概率潮流中的應(yīng)用。

1.2 相關(guān)性分析數(shù)學(xué)描述

設(shè)隨機(jī)變量y與x之間存在著某種相關(guān)關(guān)系。這里x是可以控制或可以精確測(cè)量觀測(cè)的普通變量。對(duì)于x取定的一組不完全相同的值x1，x2，…，xn，作獨(dú)立試驗(yàn)得到n對(duì)觀測(cè)結(jié)果：

其中yi是x＝xi（i＝1，2，…，n）處對(duì)隨機(jī)變量y觀測(cè)的結(jié)果。這n對(duì)觀測(cè)結(jié)果就是一個(gè)容量為n的樣本，將每對(duì)觀測(cè)值（xi，yi）在直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，得到試驗(yàn)的散點(diǎn)圖。在這n個(gè)點(diǎn)之間盡量地?cái)M合出一條光滑曲線，使這n個(gè)點(diǎn)盡可能地“接近”這條曲線，并可以認(rèn)為該曲線的方程反映了y與x的相關(guān)關(guān)系。

在直線相關(guān)的條件下，用以反映兩變量間線性相關(guān)密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，用r表示

式中，Sx、Sy分別為隨機(jī)變量x與y的標(biāo)準(zhǔn)差，S2xy為x與y的協(xié)方差。

若兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)很高（比如大于0.9），那么就可以用最小二乘法擬合出一條直線，指定x為自變量，那么y就可以用x的線性表達(dá)式y(tǒng)＝a＋bx來(lái)表示。表達(dá)式中參數(shù)的確定如下式所示：

2 考慮輸入變量強(qiáng)相關(guān)性的半不變量法模型修改

潮流問(wèn)題可以用下面兩個(gè)非線性的方程組描述：

其中，X為節(jié)點(diǎn)電壓幅值和相角；Y為節(jié)點(diǎn)注入有功和無(wú)功功率；Z為未知輸出變量向量（網(wǎng)絡(luò)元件的有功和無(wú)功功率潮流）；g、h為潮流函數(shù)。

將式（1）在X0處線性化，得到：

式中K＝－J－1（X0）是基于X0的雅克比矩陣的逆矩陣

對(duì)于輸出變量Z，可以通過(guò)相同的方式得到Z和Y之間的線性關(guān)系。然后將式（1）、（2）在點(diǎn)（X0，Y0）和（X0，Z0）線性化得到

對(duì)于有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)，假定第1～m號(hào)節(jié)點(diǎn)為PQ節(jié)點(diǎn)，第m＋1～n－1號(hào)節(jié)點(diǎn)為PV節(jié)點(diǎn)，第n號(hào)節(jié)點(diǎn)為平衡節(jié)點(diǎn)。則可列寫(xiě)如下的潮流方程式：

現(xiàn)假定節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)2為風(fēng)電節(jié)點(diǎn)，ΔP1、ΔP2均為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且其期望為0。并假設(shè)這兩個(gè)風(fēng)電場(chǎng)出力具有強(qiáng)相關(guān)性，而其它節(jié)點(diǎn)功率相互獨(dú)立。因此可近似認(rèn)為ΔP2＝bΔP1，參數(shù)b可以通過(guò)式（2）計(jì)算得到（由于兩個(gè)隨機(jī)變量的均值為0，因此參數(shù)a＝0）。這樣，修正方程應(yīng)該修改為：

記修改后的靈敏度系數(shù)矩陣為K′，同理修改式（3）中的靈敏度系數(shù)矩陣得到T′，從而消去了隨機(jī)變量ΔP2，剩下的隨機(jī)變量均相互獨(dú)立，因此可以采用半不變量法進(jìn)行求解。

3 算法流程

針對(duì)節(jié)點(diǎn)注入功率具有強(qiáng)相關(guān)性的情況，通過(guò)線性擬合來(lái)消去強(qiáng)相關(guān)性的隨機(jī)變量元，從而滿足半不變量法求解概率潮流的要求。計(jì)算步驟如下：

1）輸入原始數(shù)據(jù)，包括支路參數(shù)、發(fā)電機(jī)及負(fù)荷注入功率等一般潮流計(jì)算所需的數(shù)據(jù)，此外還要求給出有關(guān)節(jié)點(diǎn)注入量隨機(jī)分布的信息，例如對(duì)正態(tài)分布的負(fù)荷和風(fēng)機(jī)出力要給出其期望值和方差等。

2）用確定性潮流計(jì)算方法給出正常運(yùn)行情況的潮流分布，從而求得在基準(zhǔn)運(yùn)行點(diǎn)上的狀態(tài)變量X0、雅可比矩陣J0，求出靈敏度矩陣K0。

3）對(duì)具有強(qiáng)相關(guān)性的節(jié)點(diǎn)注入功率進(jìn)行線性擬合，并按照式（4）修改修正方程，得到修改后的靈敏度系數(shù)矩陣K′。

4）計(jì)算各個(gè)獨(dú)立輸入隨機(jī)變量的原點(diǎn)矩或者中心矩，進(jìn)而求出各階半不變量。并由此求出ΔX、ΔZ的各階半不變量。最后應(yīng)用Gram－Charlier展開(kāi)級(jí)數(shù)，求出狀態(tài)變量和支路功率的隨機(jī)分布［9］。

計(jì)算流程圖見(jiàn)圖1。

圖1 計(jì)算流程圖

4 算例分析

現(xiàn)通過(guò)研究不同風(fēng)電場(chǎng)出力之間的相關(guān)性來(lái)具體說(shuō)明本文對(duì)強(qiáng)相關(guān)不確定因素的處理方法。取三個(gè)已知一整年出力的風(fēng)電場(chǎng)功率數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)均取自美國(guó)可再生能源實(shí)驗(yàn)室（NERL）公布的風(fēng)電出力數(shù)據(jù)。利用SPSS軟件計(jì)算每個(gè)風(fēng)電場(chǎng)出力兩兩之間的相關(guān)系數(shù)，得到的相關(guān)矩陣見(jiàn)表1。

表1 相關(guān)矩陣

可以看到，這3個(gè)風(fēng)電場(chǎng)出力的相關(guān)系數(shù)都很高，均大于0.9，故其相關(guān)性很強(qiáng)。以風(fēng)電場(chǎng)1和風(fēng)電場(chǎng)2為例，采用最小二乘法得到線性回歸方程為：

y＝0.985x其中x表示風(fēng)電場(chǎng)1的出力與期望的差值，y表示風(fēng)電場(chǎng)2的出力與期望的差值。

這樣，在后續(xù)計(jì)算中，變量y均用0.985x表示，即式（5）中的b＝0.985。同理也可對(duì)風(fēng)電場(chǎng)3的出力進(jìn)行處理。這樣，就可以消去強(qiáng)相關(guān)因素隨機(jī)變量元，而剩下的隨機(jī)變量都相互獨(dú)立，滿足半不變量法計(jì)算概率潮流的要求。

5 總結(jié)

現(xiàn)代電力系統(tǒng)中新能源發(fā)電和柔性負(fù)荷的接入，使得系統(tǒng)的隨機(jī)性和不確定性大大增加，難以采用一個(gè)確定的模型來(lái)進(jìn)行描述。利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法。對(duì)電力系統(tǒng)中的電源出力值、負(fù)荷值的大量歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析，可以避免尋找電力系統(tǒng)中各部分復(fù)雜的內(nèi)部相互關(guān)聯(lián)的機(jī)理，而只從數(shù)據(jù)本身出發(fā)，得出較為直觀的結(jié)論。

本文通過(guò)分析風(fēng)電場(chǎng)出力數(shù)據(jù)，得出有些風(fēng)電場(chǎng)的出力相關(guān)性很強(qiáng)，通過(guò)最小二乘法擬合，將具有強(qiáng)相關(guān)性的隨機(jī)變量用其中一個(gè)變量的線性表達(dá)式表示，由于假定風(fēng)電出力服從正態(tài)分布，因此不相關(guān)的隨機(jī)變量就認(rèn)為相互獨(dú)立。通過(guò)消去具有強(qiáng)相關(guān)性的隨機(jī)變量，從而減少隨機(jī)變量元，同時(shí)近似認(rèn)為剩下的不相關(guān)或呈弱相關(guān)的隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立，就滿足了采用半不變量法計(jì)算概率潮流的要求。該方法還可應(yīng)用到常規(guī)電源和新能源之間、負(fù)荷與電源之間的分析當(dāng)中，從而能通過(guò)半不變量法得出更為準(zhǔn)確的概率潮流解。

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［責(zé)任編校：張巖芳］

Probabilistic Load Flow Calculation Model Considering Strong Correlation between Input Variables

BIE Pei，ZHANG Bu－h(huán)an，DENG Wei－si，WU Jun－li，ZENG Yuan－fang
（State Key Laboratory of Advanced Electromagnetic Engin.and Technology，Huazhong Univ.of Science and Tech.，Wuhan 430074，China）

Load flow is the basis of the steady－state analysis of the power system.However，the traditional power flow cannot be used in the system considering the uncertainty of the system.That′s why probabilistic load flow comes into being.Among different kinds of methods solving probabilistic load flow，the cumulant method is simple and has fast calculation speed.But it requires that the input variables should be independent，so it is necessary to analyze the correlation between input variables.In this paper，the statistic method was applied and the outputs of different wind farms were analyzed.If they have strong correlation，they can be expressed with only one random variable by using the least squares.Then the rest random variable which are irrelevant or has weak correlation can be considered independent，so that the cumulant method can be applied.

wind power；probabilistic load flow；cumulant method；correlation；least squares

TM 712

A

1003－4684（2014）01－0049－04

2013－11－28

別 佩（1990－），女，湖北宜昌人，華中科技大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)分析計(jì)算