薛美盛，胡岸，薛生輝，任俊超

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 自動(dòng)化系，合肥 230026)

PID控制器在工業(yè)控制領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用，一方面它使用簡(jiǎn)單、容易操作，另一方面是由于它對(duì)于絕大多數(shù)工業(yè)對(duì)象都能夠提供良好的控制性能。當(dāng)控制要求較高時(shí)，可以組合額外的控制方案顯著地提高控制性能(設(shè)定點(diǎn)權(quán)重、前饋控制等)。然而，這些方案大多都是針對(duì)單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)[1]。對(duì)于鋼球磨煤機(jī)等一類多變量、大時(shí)滯的工業(yè)控制對(duì)象，要復(fù)現(xiàn)上述方案會(huì)比較困難。以往的控制系統(tǒng)常常以手動(dòng)控制為主[2]。文獻(xiàn)[3]將魯棒整定的PID引入了球磨機(jī)控制中并取得了較好的控制效果，但由于未加入解耦環(huán)節(jié)，兩個(gè)回路間的耦合較嚴(yán)重，使得該方法仍有一定的局限性。

對(duì)于球磨機(jī)存在耦合的溫度和負(fù)壓回路，用熱風(fēng)量控制球磨機(jī)出口溫度，再用循環(huán)風(fēng)量控制其入口溫度可得到雙輸入雙輸出(TITO)控制系統(tǒng)。針對(duì)該特性，筆者首先設(shè)計(jì)解耦環(huán)節(jié)來(lái)實(shí)現(xiàn)完全解耦，再根據(jù)穩(wěn)態(tài)裕量模型簡(jiǎn)化法將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)H(s)中元素降階為一階加純滯后(FOPFT)形式。然后，根據(jù)簡(jiǎn)化模型設(shè)計(jì)出前饋補(bǔ)償環(huán)節(jié)并整定PI參數(shù)。最后將本文提出的方法與現(xiàn)有方法進(jìn)行仿真對(duì)比驗(yàn)證有效性。

1 解耦環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

解耦環(huán)節(jié)應(yīng)該滿足如下的要求[4]： 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)PD應(yīng)該為對(duì)角形；不具有高通濾波特性；應(yīng)該盡可能少地含有動(dòng)態(tài)特性和時(shí)滯環(huán)節(jié)；應(yīng)該能夠滿足自動(dòng)控制系統(tǒng)的一些特殊要求。

帶有純滯后的TITO系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣形式如下：

(1)

式中：pi j(s)=ki jpo i j(s)e-θi js，其中i，j=1， 2;po i j(s)——無(wú)滯后、正則且穩(wěn)定的傳遞函數(shù)；ki j——穩(wěn)態(tài)增益。解耦矩陣可以表示為如下形式：

(2)

那么解耦后的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為

(3)

如果令副對(duì)角線上元素為0，系統(tǒng)可以被等效地轉(zhuǎn)化為2個(gè)SISO系統(tǒng)，從而輸入到輸出可以實(shí)現(xiàn)完全解耦。由上面邏輯得到方程組：

(4)

(5)

為便于物理實(shí)現(xiàn)，解耦矩陣的所有元素不能含有超前項(xiàng)，可對(duì)矩陣元素配置如下：

(6)

(7)

為了獲得期望的解耦目標(biāo)函數(shù)，也可以利用下面的配置方法：

(8)

根據(jù)式(8)，可以確定出相應(yīng)的解耦矩陣形式：

(9)

2 基于穩(wěn)態(tài)裕度的模型簡(jiǎn)化規(guī)則

由于加入解耦矩陣后開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的形式如式(3)，具有比較復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特性，傳統(tǒng)的PID整定原則無(wú)法使用，模型簡(jiǎn)化技術(shù)就顯得比較重要。很多文獻(xiàn)都提到過(guò)將復(fù)雜模型用FOPDT模型來(lái)近似[5]。雖然FOPDT模型不能體現(xiàn)復(fù)雜模型的所有特點(diǎn)，但是它在穩(wěn)態(tài)增益、時(shí)間常數(shù)和過(guò)程等效時(shí)滯等方面對(duì)系統(tǒng)特性比較合理地進(jìn)行描述。筆者將以上特點(diǎn)針對(duì)一些動(dòng)態(tài)過(guò)程不是十分劇烈的被控對(duì)象，根據(jù)穩(wěn)定裕度等頻率特性，弱化過(guò)渡過(guò)程對(duì)系統(tǒng)的影響，提出一種近似的模型簡(jiǎn)化技術(shù)。

設(shè)化簡(jiǎn)前的傳遞函數(shù)為h(s)，化簡(jiǎn)后的FOPDT模型如下：

(10)

化簡(jiǎn)前系統(tǒng)的穿越頻率為ωx，滿足

∠h(jωx)=(2k+1)π

(11)

q(s)傳遞函數(shù)包含3個(gè)未知參數(shù)。利用簡(jiǎn)化前后方程的幅值裕度與穿越頻率相同，在穿越頻率處兩者相角也相同，即得到3個(gè)方程：

(12)

對(duì)上述方程組進(jìn)行計(jì)算，可以得到結(jié)論：

(13)

式中：h——穿越頻率處的幅值裕度。注意： 有時(shí)由于傳遞函數(shù)的特殊性，無(wú)法獲得穿越頻率，需要利用截止頻率ωc處的相角特性和幅值特性構(gòu)建方程，其計(jì)算方法如下：

|h(jωc)|=1

(14)

q(s)傳遞函數(shù)同樣包含3個(gè)未知參數(shù)，需要構(gòu)建3個(gè)方程。利用簡(jiǎn)化前后的相角裕度相同，并且在截止頻率處相角也相同，即可得到如下方程組：

(15)

式中：γ——h(s)的相角裕度。

為了驗(yàn)證上述化簡(jiǎn)方法，將Wood-Berry[6]蒸餾塔模型解耦后獲得的廣義開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)對(duì)角元素如下：

為了使用下文中的PI控制器，應(yīng)該將h1(s)和h2(s)化簡(jiǎn)成為FOPDT的形式，利用上述方法得到化簡(jiǎn)后的對(duì)象表達(dá)式為

通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)化前后的h(s)和q(s)的階躍響應(yīng)曲線進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)該簡(jiǎn)化方法較好地復(fù)現(xiàn)了原函數(shù)的特性，如圖1所示。

a) h1(s)與q1(s)的階躍響應(yīng)曲線

b) h2(s)與q2(s)的階躍響應(yīng)曲線

3 前饋補(bǔ)償環(huán)節(jié)和PI控制器設(shè)計(jì)

3.1 前饋補(bǔ)償環(huán)節(jié)

前饋補(bǔ)償環(huán)節(jié)能夠提高系統(tǒng)的設(shè)定點(diǎn)跟蹤性能，針對(duì)SISO系統(tǒng)已有很多成功的應(yīng)用，如設(shè)定點(diǎn)權(quán)重[7]、Bang-Bang控制[8]等。然而，如何應(yīng)用到如球磨機(jī)等TITO對(duì)象還沒(méi)被太多的研究過(guò)，筆者將從這一點(diǎn)出發(fā)對(duì)其進(jìn)行探索。SISO對(duì)象的前饋補(bǔ)償加PID環(huán)節(jié)的控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 針對(duì)SISO對(duì)象的前饋補(bǔ)償加PID環(huán)節(jié)的控制結(jié)構(gòu)示意

令M(s)為參考模型，用于確定系統(tǒng)對(duì)于設(shè)定點(diǎn)變化的期望響應(yīng)，并且應(yīng)該包含被控對(duì)象傳遞函數(shù)P(s)的非最小相位環(huán)節(jié)。由于M(s)與P(s)的階次相同，從而可以確定出G(s)的形式：

(16)

使用該種補(bǔ)償方法，前饋補(bǔ)償器包含了一個(gè)對(duì)象模型和超前滯后網(wǎng)絡(luò)[9]。如果M(s)的時(shí)滯小于P(s)時(shí)，該方法并不能夠直接應(yīng)用到多輸入多輸出(MIMO)環(huán)節(jié)，甚至是TITO環(huán)節(jié)。因?yàn)榍梆伃h(huán)節(jié)會(huì)出現(xiàn)純超前的形式，無(wú)法物理實(shí)現(xiàn)。

設(shè)經(jīng)過(guò)解耦并化簡(jiǎn)后的模型為FOPDT形式，有以下模型簡(jiǎn)化方法：

(17)

根據(jù)解耦后對(duì)象的輸出響應(yīng)的特點(diǎn)，同時(shí)為了確保方案的可實(shí)現(xiàn)性，將參考模型的形式設(shè)定為如下形式：

(18)

在實(shí)際對(duì)系統(tǒng)快速性要求比較高而執(zhí)行器性能較好的控制場(chǎng)合，也可以根據(jù)需要將上式的純滯后環(huán)節(jié)去掉，進(jìn)而使得響應(yīng)過(guò)程更迅速。因此可以得到：

(19)

3.2 PI整定規(guī)則

為便于在DCS使用，對(duì)于球磨機(jī)采用PI控制器：

(20)

對(duì)于PI控制器參數(shù)的選擇，可以使用Hagglund[1]使用的IAE整定規(guī)則，即

(21)

式中：e(t)——系統(tǒng)的控制誤差。根據(jù)Visioli[10]提出的ITAE指標(biāo)，使得下面目標(biāo)函數(shù)(i=1， 2)：

(22)

最小的情況下選取相應(yīng)的參數(shù)KC，TI。在計(jì)算準(zhǔn)確的情況下，上述方法均可獲得良好控制效果。在工業(yè)條件下，為了在方便地整定參數(shù)的同時(shí)獲得良好的控制效果，筆者在查閱相關(guān)PID參數(shù)整定文獻(xiàn)后，做了大量仿真實(shí)驗(yàn)，確定出專門針對(duì)球磨機(jī)的參數(shù)整定公式：

(23)

TI=Tm

(24)

4 仿 真

下面通過(guò)文獻(xiàn)[3]中提出的球磨機(jī)的模型來(lái)對(duì)上述控制效果進(jìn)行分析和驗(yàn)證。

通過(guò)分析，被控對(duì)象輸出之間存在較大的耦合作用和明顯時(shí)滯，采用傳統(tǒng)方法無(wú)法對(duì)其進(jìn)行較好地控制。由前述的解耦規(guī)則得到解耦矩陣：

解耦后的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：

從對(duì)角元素的表達(dá)式可以看出傳統(tǒng)的PID整定規(guī)則無(wú)法使用，應(yīng)先使用模型降階技術(shù)將其簡(jiǎn)化為FOPDT形式，再使用文中整定規(guī)則。穿越頻率ω11X=0.8935，ω22X=7.782K11=0.803，T11=5，τ11=2；K22=20.8，T22=5.17，τ22=1.2。

注意： 在實(shí)際應(yīng)用中得到的近似參數(shù)可能不會(huì)很好地匹配原來(lái)的對(duì)象模型，從而可對(duì)其作出一些調(diào)整，以達(dá)到滿意的效果，這里將τ22的取值調(diào)整為2?；?jiǎn)后的模型傳遞函數(shù)為

化簡(jiǎn)前后模型對(duì)階躍輸入的響應(yīng)曲線如圖3所示。除了存在較小的穩(wěn)態(tài)誤差外，模型t11能夠很好地復(fù)現(xiàn)復(fù)雜傳遞函數(shù)H11的響應(yīng)特性，而H22的階躍響應(yīng)特性可以被t22近似完全復(fù)現(xiàn)。由此，模型化簡(jiǎn)方法可以得到很好的效果。

a) H11簡(jiǎn)化前后的階躍響應(yīng)曲線對(duì)比

b) H22簡(jiǎn)化前后的階躍響應(yīng)曲線對(duì)比

由文中PI整定規(guī)則，控制器C11(s)，C22(s)的相關(guān)參數(shù)選?。篕P11=1.037，TI11=5，KP22=0.0414，TI22=5.17。

圖4 無(wú)前饋環(huán)節(jié)的控制效果與文獻(xiàn)[3]整定方法的對(duì)比曲線

圖5 加入前饋環(huán)節(jié)后與文獻(xiàn)[3]整定方法對(duì)比

從圖5中看到，加入前饋環(huán)節(jié)后系統(tǒng)仍無(wú)超調(diào)，響應(yīng)速度迅速提高，并且階躍響應(yīng)曲線十分光滑，設(shè)定點(diǎn)跟蹤性能獲得顯著提升。圖6為當(dāng)發(fā)生意外，使得PID參數(shù)變化后(KP1=1.4，KP2=0.05)時(shí)對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線。其中a)圖中為加入前饋環(huán)節(jié)后的響應(yīng)曲線，在PID參數(shù)失配時(shí)仍無(wú)超調(diào)，且響應(yīng)速度比無(wú)前饋環(huán)節(jié)要快；b)圖中無(wú)前饋環(huán)節(jié)，曲線發(fā)生明顯的超調(diào)。

圖6 控制器失配情況下系統(tǒng)階躍輸出響應(yīng)曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

文中提出了針對(duì)球磨機(jī)的前饋補(bǔ)償環(huán)節(jié)，給出了一種有效的模型降階方法，且提出的PI控制器整定規(guī)則簡(jiǎn)單。仿真結(jié)果表明，該方法具有良好的設(shè)定點(diǎn)跟蹤性能，能夠有效地消除輸出間的耦合作用。

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