例說數(shù)學模型的構(gòu)造

四川師大附中(610066)姚友春

構(gòu)造法是通過對問題的觀察、分析和改造，恰當?shù)貥?gòu)造新的數(shù)學模型，利用數(shù)學模型的相關(guān)知識解決數(shù)學問題的方法.本文通過數(shù)例介紹數(shù)學模型的構(gòu)造，旨在拋磚引玉.

一、構(gòu)造二次函數(shù)模型

例1設(shè)a、b、c為實數(shù)，4a-4b+c>0,a+2b+c<0,則正確.

A.b2≤acB.b2>ac

C.b2>ac且a>0D.b2>ac且a<0

分析在解題時易受題設(shè)條件的干擾，企圖從已知不等式出發(fā)，4b<4a+c①,2b<-(a+c)②,①×②不等式的方向無法確定，思維受阻.但觀察到題目結(jié)論提供的選擇支，不難想到二次方程的判別式，從而啟發(fā)我們構(gòu)造二次函數(shù).

令f(x)=ax2+2bx+c,∴f(-2)=4a-4b+c>0,f(1)=a+2b+c<0.

若a≠0，Δ=4b2-4ac>0b2>ac

若a=0，則b≠0，∴b2>ac

綜上所述，答案選B.

二、構(gòu)造數(shù)列模型

例2若實數(shù)a,b,x,y滿足方程組ax+by=3,ax2+by2=7,ax3+by3=16,ax4+by4=42,求ax5+by5.

分析且慢做題，本題字母多，字母的次數(shù)高，容易阻礙思維的進程.但觀察到條件和結(jié)論提供的方程組結(jié)構(gòu)，容易聯(lián)想到數(shù)列的通項，故設(shè)Tn=axn+byn,(n∈N*).

∴Tn=axn-1(x+y)-yaxn-1+byn-1(x+y)-xbyn-1=(x+y)Tn-1-xyTn-2(n≥3)

又已知T1=3,T2=7,T3=16,T4=42.

∴T3=(x+y)T2-xyT1

T4=(x+y)T3-xyT2x+y=-14

xy=-38

∴T5=ax5+by5=-14×42+38×16=20

三、構(gòu)造三角函數(shù)模型

例3實數(shù)x,y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)S=x2+y2,則1Smax+1Smin的值為.

分析由條件S=x2+y2,構(gòu)造x=Scosθ,y=ssinθ.由4x2-5xy+4y2=5.得4S-5Ssinθcosθ=5,S=54-5sinθcosθ

1S=4-5sinθcosθ5=8-5sin2θ10,

1Smax+1Smin=85.

四、構(gòu)造向量模型

例4設(shè)a,b,c,x,y,z∈R,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,求a+b+cx+y+z的值.

分析由a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到向量的模，由ax+by+cz=30的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到向量的數(shù)量積，故設(shè)m=(a,b,c),n=(x,y,z),則|m|=5,|n|=6,且有m·n=ax+by+cz=30=|m|·|n|,∴m與n方向相同.令m=λn,其中λ>0，λ=|m||n|=56,∴ax=by=cz=56.

∴a+b+cx+y+z=56.

五、構(gòu)造線性規(guī)劃模型

例5若直線l:ax+y+2=0與線段AB有公共點，其中A（-2,3),B(3,2)，求a的取值范圍.

解由ax+y+2=0y=-ax-2,∴直線l過點（0，-2）,作圖分析可知A、B兩點必位于直線l兩側(cè)或直線過其中一點，∴(-2a+3+2)(3a+2+2)≤0,∴a≤-43或a≥52.

點評此題若采用斜率公式求解，由于斜率與傾斜角關(guān)系不易掌握，還得分類討論，易出錯，而本題解法運用了兩點位于直線l兩側(cè)或直線l過其中一端點，利用線性規(guī)劃思想，很巧妙地列出不等式，易于理解和操作.

六、構(gòu)造點到直線距離模型

例6設(shè)a,b∈R,且關(guān)于x的方程x4+ax3+bx2+ax+1=0有實數(shù)根，求S=a2+b2的最小值.

分析本題條件與結(jié)論無明顯聯(lián)系，考慮到方程的次數(shù)高，迫使我們降次.故有

x4+ax3+bx2+ax+1=0

(x2+1x2)+a(x+1x)+b=0

(x+1x)2+a(x+1x)+b-2=0

令t=x+1x,則|t|≥2

∴t2+at+b-2=0在（-∞,-2］∪［2,+∞)上有解.

把tm+n+t2-2=0看作關(guān)于m,n的直線方程，且（a,b)是直線上一點，a2+b2=(a-0)2+(b-0)2看作是原點到直線上一點（a,b)的距離.

a2+b2≥t2-2t2+1a2+b2≥(t2+1-3)2t2+1=t2+1+9t2+1-6(t2≥4).設(shè)f(x)=x+9x-6,容易證明f(x)在［3,+∞)上遞增.

∴f(t2+1)=t2+1+9t2+1-6≥45(t2=4時不等式取等號）.∴a2+b2≥45,即S的最小值為45.

七、構(gòu)造圓錐曲線模型

例7已知在△ABC中，|AC|+|BC|=10，|AB|=8，試求tanA2·tanB2的值.

圖1解析機敏的讀者一下發(fā)現(xiàn)了一個熟悉的模型：橢圓.這樣，思維納入了解析幾何的軌道：如圖1.設(shè)橢圓的長軸為2a，焦距為2c.

則|BC|sinA=|AC|sinB=|AB|sin(A+B)

|BC|+|AC|sinA+sinB=|AB|sin(A+B)

2asinA+sinB=2csin(A+B)

sin(A+B)sinA+sinB=ca=45

2sinA+B2cosA+B22sinA+B2cosA-B2=45,

cosA2cosB2-sinA2sinB2cosA2cosB2+sinA2sinB2=45

∴tanA2tanB2=19.

八、構(gòu)造復數(shù)模型

例8函數(shù)f(x)=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1的最大值是.

分析f(x)=（x2-2)2+(x-3)2-(x2-1)2+x2

聯(lián)想到復數(shù)的模也有類似形式

令z1=(x2-2)+(x-3)i

|z1|=（x2-2)2+(x-3)2

z2=(x2-1)+xi

|z2|=(x2-1)2+x2

∴f(x)=|z1|-|z2|

≤|z1-z2|=|-1-3i|=10

∴f(x)的最大值為10.(收稿日期：2013-12-04)

例說數(shù)學模型的構(gòu)造

四川師大附中(610066)姚友春

構(gòu)造法是通過對問題的觀察、分析和改造，恰當?shù)貥?gòu)造新的數(shù)學模型，利用數(shù)學模型的相關(guān)知識解決數(shù)學問題的方法.本文通過數(shù)例介紹數(shù)學模型的構(gòu)造，旨在拋磚引玉.

一、構(gòu)造二次函數(shù)模型

例1設(shè)a、b、c為實數(shù)，4a-4b+c>0,a+2b+c<0,則正確.

A.b2≤acB.b2>ac

C.b2>ac且a>0D.b2>ac且a<0

分析在解題時易受題設(shè)條件的干擾，企圖從已知不等式出發(fā)，4b<4a+c①,2b<-(a+c)②,①×②不等式的方向無法確定，思維受阻.但觀察到題目結(jié)論提供的選擇支，不難想到二次方程的判別式，從而啟發(fā)我們構(gòu)造二次函數(shù).

令f(x)=ax2+2bx+c,∴f(-2)=4a-4b+c>0,f(1)=a+2b+c<0.

若a≠0，Δ=4b2-4ac>0b2>ac

若a=0，則b≠0，∴b2>ac

綜上所述，答案選B.

二、構(gòu)造數(shù)列模型

例2若實數(shù)a,b,x,y滿足方程組ax+by=3,ax2+by2=7,ax3+by3=16,ax4+by4=42,求ax5+by5.

分析且慢做題，本題字母多，字母的次數(shù)高，容易阻礙思維的進程.但觀察到條件和結(jié)論提供的方程組結(jié)構(gòu)，容易聯(lián)想到數(shù)列的通項，故設(shè)Tn=axn+byn,(n∈N*).

∴Tn=axn-1(x+y)-yaxn-1+byn-1(x+y)-xbyn-1=(x+y)Tn-1-xyTn-2(n≥3)

又已知T1=3,T2=7,T3=16,T4=42.

∴T3=(x+y)T2-xyT1

T4=(x+y)T3-xyT2x+y=-14

xy=-38

∴T5=ax5+by5=-14×42+38×16=20

三、構(gòu)造三角函數(shù)模型

例3實數(shù)x,y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)S=x2+y2,則1Smax+1Smin的值為.

分析由條件S=x2+y2,構(gòu)造x=Scosθ,y=ssinθ.由4x2-5xy+4y2=5.得4S-5Ssinθcosθ=5,S=54-5sinθcosθ

1S=4-5sinθcosθ5=8-5sin2θ10,

1Smax+1Smin=85.

四、構(gòu)造向量模型

例4設(shè)a,b,c,x,y,z∈R,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,求a+b+cx+y+z的值.

分析由a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到向量的模，由ax+by+cz=30的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到向量的數(shù)量積，故設(shè)m=(a,b,c),n=(x,y,z),則|m|=5,|n|=6,且有m·n=ax+by+cz=30=|m|·|n|,∴m與n方向相同.令m=λn,其中λ>0，λ=|m||n|=56,∴ax=by=cz=56.

∴a+b+cx+y+z=56.

五、構(gòu)造線性規(guī)劃模型

例5若直線l:ax+y+2=0與線段AB有公共點，其中A（-2,3),B(3,2)，求a的取值范圍.

解由ax+y+2=0y=-ax-2,∴直線l過點（0，-2）,作圖分析可知A、B兩點必位于直線l兩側(cè)或直線過其中一點，∴(-2a+3+2)(3a+2+2)≤0,∴a≤-43或a≥52.

點評此題若采用斜率公式求解，由于斜率與傾斜角關(guān)系不易掌握，還得分類討論，易出錯，而本題解法運用了兩點位于直線l兩側(cè)或直線l過其中一端點，利用線性規(guī)劃思想，很巧妙地列出不等式，易于理解和操作.

六、構(gòu)造點到直線距離模型

例6設(shè)a,b∈R,且關(guān)于x的方程x4+ax3+bx2+ax+1=0有實數(shù)根，求S=a2+b2的最小值.

分析本題條件與結(jié)論無明顯聯(lián)系，考慮到方程的次數(shù)高，迫使我們降次.故有

x4+ax3+bx2+ax+1=0

(x2+1x2)+a(x+1x)+b=0

(x+1x)2+a(x+1x)+b-2=0

令t=x+1x,則|t|≥2

∴t2+at+b-2=0在（-∞,-2］∪［2,+∞)上有解.

把tm+n+t2-2=0看作關(guān)于m,n的直線方程，且（a,b)是直線上一點，a2+b2=(a-0)2+(b-0)2看作是原點到直線上一點（a,b)的距離.

a2+b2≥t2-2t2+1a2+b2≥(t2+1-3)2t2+1=t2+1+9t2+1-6(t2≥4).設(shè)f(x)=x+9x-6,容易證明f(x)在［3,+∞)上遞增.

∴f(t2+1)=t2+1+9t2+1-6≥45(t2=4時不等式取等號）.∴a2+b2≥45,即S的最小值為45.

七、構(gòu)造圓錐曲線模型

例7已知在△ABC中，|AC|+|BC|=10，|AB|=8，試求tanA2·tanB2的值.

圖1解析機敏的讀者一下發(fā)現(xiàn)了一個熟悉的模型：橢圓.這樣，思維納入了解析幾何的軌道：如圖1.設(shè)橢圓的長軸為2a，焦距為2c.

則|BC|sinA=|AC|sinB=|AB|sin(A+B)

|BC|+|AC|sinA+sinB=|AB|sin(A+B)

2asinA+sinB=2csin(A+B)

sin(A+B)sinA+sinB=ca=45

2sinA+B2cosA+B22sinA+B2cosA-B2=45,

cosA2cosB2-sinA2sinB2cosA2cosB2+sinA2sinB2=45

∴tanA2tanB2=19.

八、構(gòu)造復數(shù)模型

例8函數(shù)f(x)=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1的最大值是.

分析f(x)=（x2-2)2+(x-3)2-(x2-1)2+x2

聯(lián)想到復數(shù)的模也有類似形式

令z1=(x2-2)+(x-3)i

|z1|=（x2-2)2+(x-3)2

z2=(x2-1)+xi

|z2|=(x2-1)2+x2

∴f(x)=|z1|-|z2|

≤|z1-z2|=|-1-3i|=10

∴f(x)的最大值為10.(收稿日期：2013-12-04)

例說數(shù)學模型的構(gòu)造

四川師大附中(610066)姚友春

構(gòu)造法是通過對問題的觀察、分析和改造，恰當?shù)貥?gòu)造新的數(shù)學模型，利用數(shù)學模型的相關(guān)知識解決數(shù)學問題的方法.本文通過數(shù)例介紹數(shù)學模型的構(gòu)造，旨在拋磚引玉.

一、構(gòu)造二次函數(shù)模型

例1設(shè)a、b、c為實數(shù)，4a-4b+c>0,a+2b+c<0,則正確.

A.b2≤acB.b2>ac

C.b2>ac且a>0D.b2>ac且a<0

分析在解題時易受題設(shè)條件的干擾，企圖從已知不等式出發(fā)，4b<4a+c①,2b<-(a+c)②,①×②不等式的方向無法確定，思維受阻.但觀察到題目結(jié)論提供的選擇支，不難想到二次方程的判別式，從而啟發(fā)我們構(gòu)造二次函數(shù).

令f(x)=ax2+2bx+c,∴f(-2)=4a-4b+c>0,f(1)=a+2b+c<0.

若a≠0，Δ=4b2-4ac>0b2>ac

若a=0，則b≠0，∴b2>ac

綜上所述，答案選B.

二、構(gòu)造數(shù)列模型

例2若實數(shù)a,b,x,y滿足方程組ax+by=3,ax2+by2=7,ax3+by3=16,ax4+by4=42,求ax5+by5.

分析且慢做題，本題字母多，字母的次數(shù)高，容易阻礙思維的進程.但觀察到條件和結(jié)論提供的方程組結(jié)構(gòu)，容易聯(lián)想到數(shù)列的通項，故設(shè)Tn=axn+byn,(n∈N*).

∴Tn=axn-1(x+y)-yaxn-1+byn-1(x+y)-xbyn-1=(x+y)Tn-1-xyTn-2(n≥3)

又已知T1=3,T2=7,T3=16,T4=42.

∴T3=(x+y)T2-xyT1

T4=(x+y)T3-xyT2x+y=-14

xy=-38

∴T5=ax5+by5=-14×42+38×16=20

三、構(gòu)造三角函數(shù)模型

例3實數(shù)x,y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)S=x2+y2,則1Smax+1Smin的值為.

分析由條件S=x2+y2,構(gòu)造x=Scosθ,y=ssinθ.由4x2-5xy+4y2=5.得4S-5Ssinθcosθ=5,S=54-5sinθcosθ

1S=4-5sinθcosθ5=8-5sin2θ10,

1Smax+1Smin=85.

四、構(gòu)造向量模型

例4設(shè)a,b,c,x,y,z∈R,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,求a+b+cx+y+z的值.

分析由a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到向量的模，由ax+by+cz=30的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到向量的數(shù)量積，故設(shè)m=(a,b,c),n=(x,y,z),則|m|=5,|n|=6,且有m·n=ax+by+cz=30=|m|·|n|,∴m與n方向相同.令m=λn,其中λ>0，λ=|m||n|=56,∴ax=by=cz=56.

∴a+b+cx+y+z=56.

五、構(gòu)造線性規(guī)劃模型

例5若直線l:ax+y+2=0與線段AB有公共點，其中A（-2,3),B(3,2)，求a的取值范圍.

解由ax+y+2=0y=-ax-2,∴直線l過點（0，-2）,作圖分析可知A、B兩點必位于直線l兩側(cè)或直線過其中一點，∴(-2a+3+2)(3a+2+2)≤0,∴a≤-43或a≥52.

點評此題若采用斜率公式求解，由于斜率與傾斜角關(guān)系不易掌握，還得分類討論，易出錯，而本題解法運用了兩點位于直線l兩側(cè)或直線l過其中一端點，利用線性規(guī)劃思想，很巧妙地列出不等式，易于理解和操作.

六、構(gòu)造點到直線距離模型

例6設(shè)a,b∈R,且關(guān)于x的方程x4+ax3+bx2+ax+1=0有實數(shù)根，求S=a2+b2的最小值.

分析本題條件與結(jié)論無明顯聯(lián)系，考慮到方程的次數(shù)高，迫使我們降次.故有

x4+ax3+bx2+ax+1=0

(x2+1x2)+a(x+1x)+b=0

(x+1x)2+a(x+1x)+b-2=0

令t=x+1x,則|t|≥2

∴t2+at+b-2=0在（-∞,-2］∪［2,+∞)上有解.

把tm+n+t2-2=0看作關(guān)于m,n的直線方程，且（a,b)是直線上一點，a2+b2=(a-0)2+(b-0)2看作是原點到直線上一點（a,b)的距離.

a2+b2≥t2-2t2+1a2+b2≥(t2+1-3)2t2+1=t2+1+9t2+1-6(t2≥4).設(shè)f(x)=x+9x-6,容易證明f(x)在［3,+∞)上遞增.

∴f(t2+1)=t2+1+9t2+1-6≥45(t2=4時不等式取等號）.∴a2+b2≥45,即S的最小值為45.

七、構(gòu)造圓錐曲線模型

例7已知在△ABC中，|AC|+|BC|=10，|AB|=8，試求tanA2·tanB2的值.

圖1解析機敏的讀者一下發(fā)現(xiàn)了一個熟悉的模型：橢圓.這樣，思維納入了解析幾何的軌道：如圖1.設(shè)橢圓的長軸為2a，焦距為2c.

則|BC|sinA=|AC|sinB=|AB|sin(A+B)

|BC|+|AC|sinA+sinB=|AB|sin(A+B)

2asinA+sinB=2csin(A+B)

sin(A+B)sinA+sinB=ca=45

2sinA+B2cosA+B22sinA+B2cosA-B2=45,

cosA2cosB2-sinA2sinB2cosA2cosB2+sinA2sinB2=45

∴tanA2tanB2=19.

八、構(gòu)造復數(shù)模型

例8函數(shù)f(x)=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1的最大值是.

分析f(x)=（x2-2)2+(x-3)2-(x2-1)2+x2

聯(lián)想到復數(shù)的模也有類似形式

令z1=(x2-2)+(x-3)i

|z1|=（x2-2)2+(x-3)2

z2=(x2-1)+xi

|z2|=(x2-1)2+x2

∴f(x)=|z1|-|z2|

≤|z1-z2|=|-1-3i|=10

∴f(x)的最大值為10.(收稿日期：2013-12-04)