盧美華，方玲玲

(江西科技學(xué)院，330098，南昌)

一類排隊(duì)博弈的均衡分析

盧美華1，方玲玲2*

(江西科技學(xué)院，330098，南昌)

擴(kuò)展一般排隊(duì)模型為經(jīng)濟(jì)排隊(duì)模型，把博弈論方法嵌入到經(jīng)典排隊(duì)模型中來，分析了一類排隊(duì)均衡。結(jié)合現(xiàn)實(shí)問題分析了排隊(duì)博弈均衡的現(xiàn)實(shí)意義，對一些廣泛存在于醫(yī)療排隊(duì)和競爭問題給出了一些解決方法。

排隊(duì)論；排隊(duì)博弈；均衡分析

0 引言

自1910年A K Erlang提出排隊(duì)論以來，經(jīng)典排隊(duì)論取得了豐碩成果，研究了各類到達(dá)和服務(wù)特征下隊(duì)長、排隊(duì)長、時間和費(fèi)用等問題，并推進(jìn)到應(yīng)用層面上，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)、交通運(yùn)輸、庫存等資源共享的隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。經(jīng)濟(jì)學(xué)上排隊(duì)是分配稀缺商品、服務(wù)、資源的典型方法，由此，Naor[1]在1969年率先提出排隊(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)(Economics of Queues)，研究了怎樣管理和控制可視M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)的問題，Naor也發(fā)現(xiàn)可視排隊(duì)系統(tǒng)中個體決策會背離預(yù)設(shè)社會整體利益最好的列隊(duì)機(jī)制，預(yù)示策略性相機(jī)行為，這要求把博弈理論嵌入到排隊(duì)系統(tǒng)中來。Lippman 和Stidham[2]較早分析了顧客間博弈行為(服務(wù)機(jī)構(gòu)不參與博弈)。由此博弈嵌入排隊(duì)系統(tǒng)形成排隊(duì)博弈(Queueing Game)廣泛的研究，見R Hassin[3]、B Nalebuff[4]、C Larsen[5]、Wei Sun[6]等工作。這些文獻(xiàn)偏重于數(shù)理排隊(duì)理論，考慮服務(wù)機(jī)構(gòu)間的市場博弈更能深入實(shí)際，解釋現(xiàn)實(shí)問題而不僅是數(shù)理推導(dǎo)。

考慮現(xiàn)實(shí)問題，廣泛的服務(wù)機(jī)構(gòu)處于競爭市場，顧客具有差異性偏好。例如，醫(yī)療市場顯然是競爭的，就我國醫(yī)療系統(tǒng)而言，為何廣泛的顧客集中到省級醫(yī)院而縣級醫(yī)院卻業(yè)務(wù)量十分稀少(除去經(jīng)濟(jì)和醫(yī)療技術(shù)方面的原因，某些競爭策略也是重要根源)。事實(shí)上，一些常規(guī)疾病完全可以在縣級醫(yī)院得到優(yōu)質(zhì)的治療，而到省城醫(yī)院可能是過分的治療。同時，我國醫(yī)療系統(tǒng)在身份上也差異化了顧客，公費(fèi)/自費(fèi)醫(yī)療、社保/醫(yī)保醫(yī)療等，不同身份顧客在約束下具有偏好差異定位，也由此形成一些顧客沒有得到應(yīng)有的醫(yī)療服務(wù)。民航和鐵路(高鐵)提供了差異性交通服務(wù)，也構(gòu)成服務(wù)機(jī)構(gòu)的市場博弈。這類排隊(duì)博弈廣泛存在，顧客進(jìn)入服務(wù)市場的機(jī)制卻都可以用排隊(duì)數(shù)理模型刻畫。本文從多服務(wù)主體出發(fā)，在市場既定到達(dá)機(jī)制下顧客偏好均勻分布條件下，分析多服務(wù)主體間博弈策略和均衡，由此進(jìn)入服務(wù)福利分析，并回到現(xiàn)實(shí)問題給出調(diào)節(jié)市場的政策建議。

1 基本Queueing Game模型設(shè)計(jì)

排除具體行業(yè)服務(wù)特性，本文假設(shè)顧客群體隨機(jī)進(jìn)入競爭性服務(wù)市場，市場有2家服務(wù)公司，是排隊(duì)博弈的局中人集合g={i,j}，整個服務(wù)系統(tǒng)流程結(jié)構(gòu)如圖1刻畫。

圖1 排隊(duì)博弈時序結(jié)構(gòu)

顧客源有3個基本特征，在(0,t)時段內(nèi)到達(dá)服務(wù)市場的顧客數(shù)服從泊松分布，其分布列為P{X=k} =(λt)kexp(-λt)/k!。顧客具有服務(wù)偏好異質(zhì)定位x(作為顧客標(biāo)號)，偏好定位可標(biāo)準(zhǔn)化映射到[0,1](稱為偏好定位空間)，顧客偏好均勻分布在定位空間上，服務(wù)公司提供固定定位的服務(wù)(未必在顧客偏好x上)，由此顧客產(chǎn)生偏好的移動成本，一單位的偏好移動成本為d。顧客從服務(wù)中獲得效用為a，排除服務(wù)價(jià)格p、排隊(duì)期望成本g、偏好移動成本d后形成凈效用函數(shù)U(p,g,d,g)，顧客凈效用函數(shù)由這4個要素決定。

2個服務(wù)公司集合g={i,j}，設(shè)公司i提供服務(wù)位于偏好定位空間[0,1]的左端0上，公司j的服務(wù)定位于右端1上。pi、pj分別是2家公司服務(wù)的價(jià)格，同時i、j兩公司分別為各自的服務(wù)能力承擔(dān)成本ciμi、cjμj，ci、cj為2個公司提高服務(wù)能力的單位成本，i、j兩公司服務(wù)顧客的時間分別為服從參數(shù)為μi、μj的負(fù)指數(shù)分布(μi、μj也是2個博弈公司單位時間內(nèi)服務(wù)期望人數(shù),它刻畫著公司服務(wù)能力)。公司i、j承擔(dān)服務(wù)能力的成本后，博弈分割服務(wù)市場的顧客流，λi、λj為公司i、j的凈到達(dá)率，兩公司服務(wù)顧客都運(yùn)行M/M/1排隊(duì)，都實(shí)行先到先服務(wù)(FCFS規(guī)則)。公司i、j可能依據(jù)不同博弈參數(shù)形成不同類型，如果公司i、j分擔(dān)的顧客源沒有重疊，則兩公司是非市場爭奪型；如果公司i、j分擔(dān)的顧客源部分重疊，則兩公司是市場爭奪型。

顧客獲取不同公司服務(wù)就進(jìn)入不同的排隊(duì)系統(tǒng)，設(shè)h為顧客在服務(wù)系統(tǒng)中耗時的單位成本，顧客進(jìn)入公司i或j的排隊(duì)期望成本分別為gi、gj，gi=h/(μi-λi)、gj=h/(μj-λj)，其中1/(μi-λi)、gj=1/(μj-λj)分別是公司i和j中顧客期望逗留時間(包括等待時間和服務(wù)時間)，μi=(h/gi+λi)、μj=(h/gj+λj)。為方便處理，特別利用子博弈簡化方法，可以把顧客獲取不同公司i、j的服務(wù)價(jià)格和排隊(duì)期望成本合并為不同公司的總價(jià)格Ti、Tj，Ti=pi+gi、Tj=pj+gj(是顧客承擔(dān)的總價(jià)格)。顧客x獲取公司i、j的服務(wù)分別產(chǎn)生偏好移動成本di、dj，di=dx、dj=d(1-x)。

顧客x獲取i公司服務(wù)的凈效用U(p,g,d,g)簡記為Ui(x,Ti)=a-Ti-dx。

顧客x獲取j公司服務(wù)的凈效用U(p,g,d,g)簡記為Uj(x,Tj)=a-Ti-d(1-x)。

在非市場爭奪型公司下，由Ui(x,Ti)=a-Ti-dx=0，確定x=(a-Ti)/d，偏好定位空間x左端全為公司i市場份額(份額為x)，從而公司i的顧客實(shí)際到達(dá)率λi=λ(a-Ti)/d。由Uj(x,Tj)=0,則a-Tj-d(1-x)=0，得x=1-(a-Tj)/d，偏好定位空間中x的右端全為公司j的市場份額(份額為1-x=y)，y=(a-Ti)/d。公司j的顧客實(shí)際到達(dá)率λj=λ(a-Tj)/d。非市場爭奪型公司條件為x+y<1，此時到達(dá)市場某部分顧客并不去獲取任何公司服務(wù)。

x+y>1下公司是市場爭奪型，中位顧客xm滿足Ui(xm,Ti)=Uj(xm,Tj)，中位顧客為xm=1/2+(Tj-Ti)/2d。由效用Ui(x,Ti)、Uj(x,Tj)的連續(xù)性，中位顧客xm左右兩端分別為公司i、公司j的市場份額，此時公司i的顧客實(shí)際到達(dá)率λi=λxm；公司j的顧客實(shí)際到達(dá)率λj=λ(1-xm)；市場爭奪型公司完全分擔(dān)服務(wù)市場的顧客到達(dá)率。作為直接參與排隊(duì)博弈的公司i、j，目標(biāo)函數(shù)就是最大化單位時間上的服務(wù)期望利潤,由基本模型設(shè)計(jì)，公司i的目標(biāo)函數(shù)為Li(pi,μi)=λipi-ciμi；公司j的目標(biāo)函數(shù)為Lj(pj,μj)=λjpj-cjμj。公司策略是配置服務(wù)能力和服務(wù)價(jià)格。

2 Queueing Game模型分析

顧客特征是決定服務(wù)市場的前件，如果一單位偏好移動成本d充分大，部分或全部顧客獲取任何一個公司的服務(wù)后的凈效用為負(fù)，從而不會尋求服務(wù)就離開市場。這就形成市場隔離，那么參與博弈的公司是非市場爭奪型。

命題1：在d足夠大的前提下，以至x+y<1，參與博弈的公司是非市場爭奪型。

以上命題說明非市場爭奪公司可以由服務(wù)系統(tǒng)的成本結(jié)構(gòu)外生決定，但仍可由公司策略內(nèi)生性形成非市場爭奪。公司進(jìn)行市場爭奪，必須降低pi、pj，提高服務(wù)能力μi、μj以降低gi、gj，如果導(dǎo)致單位時間利潤小于非市場爭奪時利潤時，公司會內(nèi)生性選擇非市場爭奪。

給定公司j的總價(jià)格Tj，均衡分析先分析公司i的策略。公司i的顧客到達(dá)率由市場份額決定，為λi=λ(a-Ti)/d，服務(wù)能力成本為ciμi，由gi=h/(μi-λi)可得μi=λi+h/gi。

公司i面臨問題：max(pi,μi)Li(pi,μi)=λipi-ciμi

s.t：(a-Ti)/d+(a-Tj)/d<1。

變換目標(biāo)函數(shù)max(pi,μi)Li(pi,μi)=λipi-ciμi和約束(a-Ti)/d+(a-Tj)/d<1形式為：

max(pi,gi)Li(pi,gi)=(λ/d)(a-Ti)(Ti-gi-ci)-ci(λi+h/gi)

(1)

s.t：2a-d-Tj≤Ti≤a

maxLi(Ti)=(λ/d)[(a-Ti)(Ti-ci)-2(dhci/λ(a-Ti))1/2]

(2)

s.t：2a-d-Tj≤Ti≤a

式(2)中Ti=a仍然可以是最優(yōu)解，因?yàn)門i在約束區(qū)間上，式(2)可能全取到負(fù)值，而Ti=a公司i不會吸引任何顧客也不會承受成本，至少不會承受負(fù)利潤。顯然，式(2)中(a-Ti)(Ti-ci)關(guān)于Ti是嚴(yán)格凹的，dhci/λ充分大式(2)就不會正值。公司i內(nèi)生地服務(wù)公司j全部的剩余市場，或選擇Ti=a總價(jià)格，本質(zhì)上都是最大化問題取到“角點(diǎn)解”而已，由此可得以下命題。

命題2：有競爭力的服務(wù)價(jià)格可提高公司市場份額，大市場份額擴(kuò)大顧客排隊(duì)期望成本，服務(wù)價(jià)格和排隊(duì)期望成本策略互補(bǔ)，如果任何一個公司最大化單位時間利潤可能取到角點(diǎn)解，那么2個公司是內(nèi)生非市場爭奪型的。

考察公司i最優(yōu)單位時間利潤問題的內(nèi)點(diǎn)解，式(1)仍然適用逆向歸納方法，第一次優(yōu)化策略是固定Ti條件下公司選擇最優(yōu)的gi，實(shí)際上就是確定服務(wù)價(jià)格和服務(wù)能力的配置關(guān)系，然后考察單位時間利潤對Ti的反應(yīng)，只需考察式(2)對Ti導(dǎo)數(shù)。

?Li(Ti)/?Ti=(λ/d)(a-2Ti+ci+(dhci/λ)1/2/(a-Ti)1/2)

(3)

(4)

由式(4)可確定Li(Ti)關(guān)于Ti的凹凸區(qū)間，凹區(qū)間為[2a-d-Ti,a-(dhci/16λ)1/3]，凸區(qū)間為[a-(dhci/16λ)1/3,a]，雖然式(3)并不能解出最優(yōu)單位時間利潤問題的顯式內(nèi)點(diǎn)解(Wei Sun2010年以及其他廣泛的排隊(duì)文獻(xiàn)的數(shù)值模擬方法求解)，但可直接驗(yàn)證凸區(qū)間上不存在最優(yōu)解。所以，若式(2)有最優(yōu)內(nèi)點(diǎn)解，則內(nèi)點(diǎn)解是凹區(qū)間內(nèi)唯一的。

命題3:由式(2)界定的內(nèi)生非市場爭奪型服務(wù)公司在策略排隊(duì)中，若存在內(nèi)點(diǎn)解，則內(nèi)點(diǎn)解唯一。由于公司非市場爭奪，所以公司服務(wù)的總價(jià)格由顧客的市場特征決定，但公司仍然具有配置服務(wù)價(jià)格和服務(wù)能力之間的策略選擇。

以上推導(dǎo)中，如果2個公司服務(wù)成本對稱，那么均衡策略中價(jià)格相等，總服務(wù)價(jià)格也相等，2個公司平分市場，可以發(fā)現(xiàn)(2hci/λ)1/2正是公司服務(wù)每個顧客的成本中的能力空置成本。

市場爭奪策略依賴于服務(wù)價(jià)格和服務(wù)能力，2個公司自然市場部分重疊就是x+y>1，x=1-(a-Tj)/d<(a-Ti)/d=x,存在中位顧客xm,x=1-(a-Tj)/d

max(pi,μi)Li(pi,μi,Tj)=λipi-ciμi=piλxm-ci(λxm+h/gi)

s.t： max{y,0}

同樣，公司i先配置服務(wù)價(jià)格和服務(wù)能力，為此，把最大化單位時間上期望利潤處理為：

max(Ti,gi)Li(Ti,gi,Tj)=(λ/2d)(Ti-gi-ci)(Tj-Ti+d)-hci/gi

s.t： max{Tj-d,0}≤Ti≤min{2a-Tj-d,Tj+d}

max(Ti)Li(Ti,Tj)=(λ/2d)[(Ti-ci)(Tj-Ti+d)-2(dhci(Tj-Ti+d)/λ)1/2]

(5)

s.t： max{Tj-d,0}≤Ti≤min{2a-Tj-d,Tj+d}

上式約束中，約束區(qū)間非緊，可能導(dǎo)致最大值不存在，但無論Ti→2a-Tj-d或Ti→Tj+d，公司i都逐步退出全部市場，可退化為非市場爭奪型，Ti→Tj+d所有市場都暴露在競爭之下，左端點(diǎn)顧客從公司i獲得凈效用逼近于從競爭公司中獲得的效用a-(Tj+d)；而Ti→2a-Tj-d時，左端點(diǎn)顧客從公司i獲得凈效用a-Ti-dx=a-(2a-Tj-d)=Tj+d-a將在更早退出公司i的服務(wù)。公司i以Tj-d為總價(jià)格會和競爭公司所有市場重合?？疾焓?5)的內(nèi)點(diǎn)解，式(5)對Ti的兩階偏導(dǎo)數(shù)為：

?Li(Ti,Tj)/?Ti=(λ/2d)(Tj-2Ti+d+ci+(2dhci/λ)1/2/(Tj-Ti+d)1/2)

(6)

(7)

式(7)說明式(5)的目標(biāo)函數(shù)對Ti是可劃分凹凸區(qū)間的?？芍苯域?yàn)證凸區(qū)間不存在最優(yōu)解，凹區(qū)間為[max{Tj-d,0}，min{2a-Tj-d,Tj+d-1/2(dhci/λ)1/3}]。若式(5)存在內(nèi)點(diǎn)解，則內(nèi)點(diǎn)解必在凹區(qū)間上唯一。

命題4：由式(5)界定的市場爭奪型服務(wù)公司在策略排隊(duì)中，若存在內(nèi)點(diǎn)解，則內(nèi)點(diǎn)解必在凹區(qū)間上唯一的存在。由于公司市場爭奪，公司服務(wù)的總價(jià)格由市場特征和競爭公司的總價(jià)格決定。公司首先配置服務(wù)價(jià)格和服務(wù)能力，可能在凸區(qū)間退化為非市場爭奪型。

由兩單個公司的策略組合成排隊(duì)博弈的策略對，一組Nash均衡策略是({pi,gi},{pj,gj})取值——給定對方策略取值后任何公司不會單方面改變策略取值。由于價(jià)格和時間等待成本是同等地進(jìn)入顧客的效用函數(shù)，這里排隊(duì)博弈只需分析總價(jià)格，本質(zhì)上這是子博弈分析方法。在既定的總價(jià)格下，公司配置服務(wù)價(jià)格和服務(wù)能力不會改變外部顧客和競爭公司的行為，并且服務(wù)價(jià)格和服務(wù)能力的最優(yōu)配置方式是唯一的。由以上4個命題可得如下。

命題5：在d足夠大條件下，x+y<1，基本排隊(duì)博弈存在唯一Nash均衡策略；在其他情況下，總價(jià)格表述的排隊(duì)博弈存在Nash均衡策略，那么原排隊(duì)博弈存在Nash均衡策略；總價(jià)格表述的排隊(duì)博弈Nash均衡策略唯一，那么原排隊(duì)博弈Nash均衡策略唯一。無論λi=λ(a-Ti)/d，λj=λ(a-Tj)/d或λi=λxm、λj=λ(1-xm)(其中xm=1/2+(Tj-Ti)/2d)都是關(guān)于Ti和Tj的連續(xù)可微函數(shù)，經(jīng)過服務(wù)價(jià)格和服務(wù)能力最優(yōu)配置后的利潤在廣泛的情況下都在存在最大值，排隊(duì)博弈的Nash均衡策略存在，并且都在相應(yīng)的凹區(qū)間上唯一存在。

在一些極端參數(shù)下不存在Nash均衡策略，也在部分可視排隊(duì)下，公司類型確定后存在策略均衡，G P Cachon和P T Harker(1999)給出了各種參數(shù)條件下的給種類型均衡存在性。由于具體參數(shù)并不能總顯式解出具體的均衡策略，但廣泛的文獻(xiàn)都給出了均衡策略的仿真。而分析這些均衡結(jié)果的經(jīng)濟(jì)根源就顯得尤其重要。

3 結(jié)論和政策建議

排隊(duì)博弈的結(jié)論解釋了一些排隊(duì)競爭中廣泛特異現(xiàn)象。在社會福利水平上，非市場爭奪型可能存在部分顧客得不到服務(wù)，而市場爭奪性公司會服務(wù)整個市場，說明市場爭奪提高了社會總福利水平。這也解釋了當(dāng)前我國醫(yī)療體制下為何一

些顧客不能獲得醫(yī)療服務(wù)，雖然同一城市的醫(yī)院處于市場爭奪中，但不同區(qū)域的醫(yī)院(特別是縣級醫(yī)院)是處于市場隔離的，所以一些縣級醫(yī)院沒有動力提高服務(wù)水平。由基本模型中角點(diǎn)最優(yōu)解可知，即使是政府投入較多公共資源，縣級醫(yī)院也面臨嚴(yán)重的公共醫(yī)療任務(wù)，仍然會選擇不提高服務(wù)能力的邊界策略。由內(nèi)點(diǎn)均衡在凹區(qū)間存在的唯一性可知，排隊(duì)博弈均衡具有一定穩(wěn)定性。由于顧客的偏好定位，幾乎沒有顧客愿意下沉到縣級醫(yī)院獲取醫(yī)療服務(wù)，而是一致上浮到省級醫(yī)院形成擁擠和過度醫(yī)療，這一現(xiàn)象仍將廣泛存在。而改變這一局面在改變顧客偏好定位，克服過度醫(yī)療，醫(yī)院用特殊分流和適應(yīng)顧客定位，設(shè)置各類層次的醫(yī)院，特別是設(shè)置各類特色和特長的專科醫(yī)院。同時政府應(yīng)保障基礎(chǔ)醫(yī)療，放開自我需求性醫(yī)療，形成良好的社會辦醫(yī)局面。

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EquilibriumAnalysisofaClassQueuingGame

LU Meihua1,FANG Lingling2*

(Jiangxi University of Technology,330098,Nanchang,PRC)

This paper extends the general queuing model for economic queuing model.The game theory approach is embedded into classical queuing model to analyze some queuing game′s equilibrium.This paper analysis queuing equilibrium and practical significance,combined with practical problems,some solutions is gived for some wide issues in the medical queuing and competition.

queuing Theory;queuing game;equilibrium analysis

2014-09-01;

2014-10-15

盧美華(1978-)，女，理學(xué)碩士，講師，主要研究運(yùn)作理論、模糊數(shù)學(xué)、控制理論。

江西科技學(xué)院高等數(shù)學(xué)精品課程建設(shè)階段成果(編號:KC0801)；江西省考試院十二五規(guī)劃課題資助項(xiàng)目“排隊(duì)論模型及應(yīng)用的研究”(編號:1360)。

*通訊作者：方玲玲，女，講師，碩士，研究方向：運(yùn)作理論、模糊數(shù)學(xué)、控制理論。

10.13990/j.issn1001-3679.2014.06.023

O225

A

1001-3679(2014)06-0850-05