劉新竹，康志忠

(中國地質(zhì)大學(xué)(北京)土地科學(xué)技術(shù)學(xué)院，北京 100083)

后方交會模型病態(tài)問題分析與改善

劉新竹，康志忠

(中國地質(zhì)大學(xué)(北京)土地科學(xué)技術(shù)學(xué)院，北京 100083)

病態(tài)性問題一直廣泛存在于各種數(shù)據(jù)處理中。攝影測量學(xué)中的許多基本模型在有些條件下也容易使方程組產(chǎn)生病態(tài)，如在后方交會時加入自檢校解算內(nèi)方位元素等情況下易得到不穩(wěn)定的解。主要介紹攝影測量中的一種基本模型——后方交會，以及病態(tài)性的基本概念、幾何含義、危害性和幾種改善算法。實驗部分對后方交會中的病態(tài)問題進(jìn)行研究，并利用嶺估計及截斷奇異值法進(jìn)行改善分析，提高解算精度。

病態(tài)問題；后方交會；截斷奇異值分解；條件數(shù)

測量學(xué)中的很多問題，經(jīng)過歸納和分析最后都可以歸結(jié)為解算方程組：將觀測值帶入模型中，通過測量平差的手段求得未知量的估計值。近些年來，隨著空間科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和人類社會生活模式的改變，人們對地理信息的需求也在發(fā)生轉(zhuǎn)變，測量技術(shù)和測量手段也都發(fā)生了翻天覆地的變化，測量數(shù)據(jù)的處理過程變得復(fù)雜起來。而某些特殊情況下，系統(tǒng)對數(shù)據(jù)的微小擾動有非常強(qiáng)的敏感性，此時稱系統(tǒng)為病態(tài)的[1]。如果平差模型的設(shè)計陣呈現(xiàn)病態(tài)，則法方程系數(shù)矩陣更加病態(tài)，使用最小二乘法雖然能夠得到最優(yōu)的線性無偏估計，保證在無偏的條件下方差最小，但這時的估計值偏離真實值的幅度變得很大，片面追求無偏估計已經(jīng)不是最優(yōu)答案。因此，對于病態(tài)問題，必須尋找其他方法來改善解的精度。

從20世紀(jì)60年代以來，數(shù)學(xué)界對病態(tài)問題的研究已經(jīng)得到高度的重視，70年代末開始，國外學(xué)者不同領(lǐng)域?qū)δＰ筒B(tài)問題進(jìn)行長期大量的研究。M.M.Lavrent’ev,V.G.Romanov在1986年對一些常見病態(tài)問題的原理和成因進(jìn)行研究，并分析數(shù)學(xué)、物理中的一些病態(tài)性例子，為后人的研究和處理奠定一定的基礎(chǔ)。國內(nèi)一些專家也于80年代開始針對測量工程、巖土工程、土木工程等領(lǐng)域?qū)ΣB(tài)性進(jìn)行探究。王志中等于1988年從病態(tài)問題的實質(zhì)和幾何意義出發(fā)，給出評估方程病態(tài)的指標(biāo)；在測量工程領(lǐng)域里，1987年鄭肇葆在其文章中分析病態(tài)方程的表現(xiàn)，針對幾種求解病態(tài)方程的方法進(jìn)行對比。郭建鋒在其碩士學(xué)位論文[1]中，詳述病態(tài)性的成因和診斷，分析復(fù)共線性與其之間的關(guān)系，對病態(tài)性的本質(zhì)進(jìn)行深入的研究。葉松林在多篇文章中就矩陣奇異值分解法和廣義嶺估計對解算病態(tài)性問題的思想、途徑、適用范圍、工作量大小等方面進(jìn)行論述，并實驗證明其改善效果。

1 后方交會模型的病態(tài)性分析

1.1 后方交會模型概述

攝影測量中，描述每一個像點、攝影中心與對應(yīng)地面點都滿足位于一條直線上的關(guān)系的模型就是共線條件方程

(1)

單像空間后方交會是指利用地面控制點及其在像片上的像點，確定1張像片外方位元素，恢復(fù)其空間姿態(tài)的方法。進(jìn)行解算的理論基礎(chǔ)就是對共線條件方程的線性化及泰勒公式展開，得到如下誤差方程式

(2)

式中：vx，vy是像點坐標(biāo)的改正數(shù)，(x)，(y)為函數(shù)的近似值，是將外方位元素初值XS0，YS0，ZS0，φ0，ω0，κ0代入共線方程中所得到的值。

將像點坐標(biāo)及對應(yīng)地面點坐標(biāo)代入方程，并把誤差方程式化為間接平差V=AX-l的形式，運用最小二乘法進(jìn)行平差計算x=(ATA)-1ATl，最后由逐步趨近的方法進(jìn)行迭代，得到外方位元素的準(zhǔn)確值。

1.2 后方交會模型病態(tài)性分析

在后方交會中，由于地形的特殊性常常會導(dǎo)致模型出現(xiàn)病態(tài)問題。當(dāng)選擇的控制點處于近似的水平高度上，或近似分布于同一斜面上，所組成的方程組中就較容易存在復(fù)共線關(guān)系。在實際測量中，模型本身構(gòu)造的優(yōu)劣、解算方法的不當(dāng)、觀測時圖形的幾何構(gòu)型較差以及過度參數(shù)化都有可能導(dǎo)致病態(tài)問題的出現(xiàn)，從而導(dǎo)致解的失真。

假設(shè)存在理想狀態(tài)，如圖1所示。

圖1 理想情況下求解外方位元素

已知數(shù)據(jù)設(shè)定為：相機(jī)主距f=150 mm，像片大小為23 cm×23 cm，且呈水平，像平面坐標(biāo)系x軸與地面坐標(biāo)系X軸在豎直面平行；航高為

150 m，攝影中心的準(zhǔn)確坐標(biāo)為(0，0，150)，此時外方位角元素真實值為(0,0,0)。根據(jù)相似關(guān)系，假設(shè)像片上有4個控制點的像點和地面坐標(biāo)分別為

(50,50)，(-50,50)，(-50,-50)，(50,-50)，單位為mm;

(50,50)，(-50,50)，(-50,-50)，(50,-50)，單位為m。

對像點坐標(biāo)和地面點坐標(biāo)真實值分別加入0.001 mm、0.005 m的隨機(jī)誤差，用最小二乘方法對線性化之后的平差模型進(jìn)行解算，結(jié)果如表1所示。

表1 理想情況下模擬實驗結(jié)果

表1中線元素的結(jié)果偏離真實值較大，可見該模型在選點均勻、誤差合理的情況下解算結(jié)果仍不理想，說明模型本身的構(gòu)造就存在不穩(wěn)定性，易出現(xiàn)病態(tài)問題。

另外,在相機(jī)自檢校的過程中，把內(nèi)方位元素x0,y0,f當(dāng)作未知參數(shù)，利用多余觀測對內(nèi)外方位元素同時開放求解，也易出現(xiàn)最小二乘解不穩(wěn)定的情況，本文將在實驗部分針對這種情況作詳細(xì)闡述。

2 病態(tài)問題的基本原理

2.1 病態(tài)性原理概述

對于線性方程組

(3)

由最小二乘理論可得到法方程

(4)

(5)

(6)

將變得很大；在這種情況下求解得到的值在數(shù)值上是極不穩(wěn)定的，觀測值或是系數(shù)矩陣的微小變化很可能引起解的巨大波動，解的精度和準(zhǔn)確度很差，這樣的模型稱其存在病態(tài)問題。

2.2 病態(tài)問題的診斷方法

條件數(shù)指標(biāo)是在各領(lǐng)域病態(tài)性研究中相對來說最成熟的衡量指標(biāo)。

(7)

那么在數(shù)值上，稱

(8)

被稱為法矩陣N的條件數(shù)，λ1，λn表示N矩陣最小、最大特征值。

通過幾十年的研究，總結(jié)出用條件數(shù)評價方程組病態(tài)程度的量化標(biāo)準(zhǔn)[2-3]：

1)條件數(shù)小于100可以認(rèn)為沒有病態(tài)問題；

2)條件數(shù)在100～1000之間認(rèn)為存在中等程度的病態(tài)；

3)條件數(shù)超過1000認(rèn)為存在嚴(yán)重病態(tài)性。

用條件數(shù)法診斷病態(tài)性的優(yōu)勢在于它運用一個相對的數(shù)值代替判斷特征根最小值“很接近于0”這種模糊的說法，度量法方程系數(shù)陣特征根的大小分散程度，判斷起來也較為方便。

3 病態(tài)問題的改善算法

3.1 嶺估計法

(9)

3.2 奇異值分解法

(10)

式中：U，V為正交矩陣，ui，vi為U，V的第i列，S=diag([σ1，σ2，…，σt])為A的奇異值按從大到小排列的對角陣。該模型的廣義逆解為

(11)

通過計算和推導(dǎo)可以得到，大部分情況下奇異值分解算法和最小二乘法是等價的，只是將設(shè)計矩陣表達(dá)成譜分解的形式[4]。而在實際計算中，分解得到的奇異值矩陣S會有很小的奇異值，這樣直接對S求逆會產(chǎn)生極不穩(wěn)定的解。而觀測值的噪聲是不可避免的，導(dǎo)致得到的X的估計值與準(zhǔn)確值相差很大。若想達(dá)到減小均方誤差的目的，需要去掉那些較小的奇異值或者進(jìn)行修正，以此來達(dá)到提高可靠性的目的。

3.3 截斷奇異值分解法

針對設(shè)計矩陣中奇異值存在接近于0的較小值、使均方差趨近很大的這種情況，一種比較直接的改進(jìn)方法就是將那些較小的奇異值舍去，來改善模型的病態(tài)程度。假設(shè)截斷后t-k個奇異值(即保留前k個奇異值)，由式(12)可以推得X的估計值

(12)

例如圖1 的模擬實驗中，利用截斷奇異值分解法就可以得到外方位元素準(zhǔn)確的解：線元素為(0,0,150)，角元素為(0,0,0)，精度大大提高。

3.4 改善方法參數(shù)的選取

選取嶺參數(shù)及截斷參數(shù)最常使用的方法就是L-曲線法，即在權(quán)衡殘差與解的圖像曲線中，選擇擬合曲線上曲率最大點的k值作為嶺參數(shù)或截斷參數(shù)(有時也可以選取L曲線上到原點O最短距離的點的參數(shù)作為合理值)。但有時得到的參數(shù)會呈現(xiàn)均勻減小，曲線拐點不明確，從而造成參數(shù)不易選取或帶有較大的主觀性。

4 實驗與分析

主要針對后方交會自檢校部分利用模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行實驗，并用前文提到的改善方法求解，比較其精度相對于最小二乘解是否有提高。

實驗數(shù)據(jù)由三維激光掃描儀實測地面點坐標(biāo)模擬得到,如表2所示。

模擬數(shù)據(jù)的處理方法為：將7個地面點坐標(biāo)設(shè)為真值，掃描儀內(nèi)測定的外方位元素值作為真實值，由此解算像素點坐標(biāo)真實值；再給地面點坐標(biāo)、像素點坐標(biāo)加入隨機(jī)誤差(像點隨機(jī)誤差為0.3個像素，地面點為5 mm)，由此解算的外方位元素與設(shè)定的真實值對比如表3所示。

表2 實測像點與地面點坐標(biāo)

表3 3種方法解算后方交會模型結(jié)果

表3所示為對3種方法解算外方位元素的結(jié)果與真實值作差進(jìn)行對比。該模型的法方程系數(shù)矩陣條件數(shù)K=3.046 7×1011，屬于嚴(yán)重病態(tài)，此時最小二乘解與真值相比偏離已較大。對嶺參數(shù)進(jìn)行不同的取值，得到的嶺估計解與最小二乘結(jié)果基本一致，無法從根本上改善法方程的病態(tài)性。而使用截斷奇異值法將9個特征根中后3個數(shù)量級相同的較小奇異值去掉后，得到相對于真實值較為近似的解。實驗證明截斷奇異值分解法可以有效改善后方交會模型中病態(tài)問題解的可靠性和準(zhǔn)確性。

5 結(jié)束語

簡要介紹攝影測量學(xué)中的一種基本模型——后方交會，闡述病態(tài)性產(chǎn)生的原理，以及兩種數(shù)學(xué)上常用的改善病態(tài)問題的方法，并針對后方交會的具體模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行實驗和病態(tài)性分析。實驗結(jié)果顯示：在地面攝影測量后方交會中，截斷奇異值法能更大程度地改善法方程系數(shù)矩陣的病態(tài)性，有效地提高估計值的準(zhǔn)確度和精確度，得到更優(yōu)解。

[1]郭建鋒.測量平差系統(tǒng)病態(tài)性的診斷與處理[D].鄭州: 信息工程大學(xué),2002.

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[4]歸慶明,郭建鋒,邊少鋒.基于特征系統(tǒng)的病態(tài)性診斷[J].測繪科學(xué),2002,27(2): 13-15.

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Analysis and optimization of ill-posed model in space resection

LIU Xin-zhu,KANG Zhi-zhong

(School of Land Science and Technology,China University of Geosciences,Beijing 100083,China)

Ill-posed problem widely exists in data processing.Many models in photogrammetry can easily cause ill-posed equations under some conditions.For example,adding self-calibration in resection is easy to obtain unstable solutions of orientation elements.It presents a basic model of photogrammetry and space resection.It also presents the basic concept of ill-posed condition,as well as the harmfulness and several algorithms to improve the results.The experiments mainly aim at the ill-posed model in resection,with ridge estimate and truncated singular value decomposition method to improve the accuracy.

ill-pose porblem; resection; TSVD; condition number

2013-12-10

劉新竹(1991-)，女，碩士研究生，研究方向：攝影測量與遙感方向.

P232

A

1671-4679(2014)03-0015-04

郝麗英]