YU Zhenhua，ZHOU Qianwei，XIE Dongfeng，LI Baoqing*

(Shanghai Institute of Microsystem and Information Technology，CAS，Shanghai 200050，China)

Research on Several Nonlinear Filtering Methods for Vehicle Magnetic Field Tracking*

YU Zhenhua1，ZHOU Qianwei1，XIE Dongfeng1，LI Baoqing1*

(Shanghai Institute of Microsystem and Information Technology，CAS，Shanghai 200050，China)

This article first summarizes the estimation and tracking method of vehicles magnetic field，and illustrates the advantages and existing problems to use non-linear filtering algorithms.Second，the principles and models of two methods，the“Two sensors”method and the"Gradiometer"method，in which nonlinear filtering algorithm is applied，are described.What’s more，a“Gradient tensor”method combined the Euler inversion with Kalman algorithm is proposed.The Cramer-Rao Bounds of nonlinear filtering algorithm is used to analyze and compare the performance of these methods mentioned above.At last，simulation results are carefully demonstrated and show that all these methods have the ability to estimate and track a vehicle.However，the“Gradient tensor”method performs much better than other methods in terms of the estimation of magnetic moment.

vehicle magnetic field tracking;nonlinear filtering;gradient tensor;ramer-Rao bounds

磁異常探測MAD(Magnetic Anomaly Detection)技術(shù)是當(dāng)今潛艇探測的主要手段。潛艇探測領(lǐng)域中MAD裝置一般有兩種，一種是只測量異常磁場的磁力儀MAD裝置;另一種是測量異常磁場及其磁梯度張量的磁梯度張量儀MAD裝置［1］。和潛艇類似，車輛也可以等效為磁偶極子模型，將MAD技術(shù)運用到地面車輛上，我們就能夠?qū)囕v進行磁場探測、估計和跟蹤［2－3］。很多UGS(Unattended Ground Sensors，無人值守地面?zhèn)鞲衅?系統(tǒng)中就使用了MAD技術(shù)，如美國海軍陸戰(zhàn)隊?wèi)?zhàn)術(shù)遠程傳感系統(tǒng)TRSS(Tactical Remote Sensor System)的AN/GSQ－257UGS子系統(tǒng)中就使用了磁場探測節(jié)點MAGID和MAGID－Ⅱ。

車輛的磁場跟蹤問題一般指的是估計車輛的位置和磁矩并對軌跡進行跟蹤?？梢愿鶕?jù)估計出來的軌跡和磁矩將車輛的感應(yīng)磁矩分離出來，從而使車輛分類成為可能［4］。該問題一般有3類方案:第1類是通過多個傳感器測量不同點的場強來實時估計磁矩和位置，可以使用參數(shù)擬合算法。第2類是通過單個傳感器測量場強來估計車輛的方向、速度(或最近點距離)，可以使用Anderson方程和子空間匹配［4］算法、非線性濾波［5］算法，文獻［5－7］中說明了這種方法不能直接實現(xiàn)實時跟蹤，需要依賴布設(shè)方案。第3類是利用復(fù)雜磁測儀測量單點的場強和梯度進行實時磁矩和位置估計，可以使用Wynn提出的算法［4］、Euler反演算法［8］，如美國的Quan-tum Magnetics公司生產(chǎn)的低功耗磁阻傳感器系統(tǒng)。顯然第2類方案與前面所說的磁力儀MAD裝置對應(yīng)，而第3類方案與磁梯度張量儀MAD裝置對應(yīng)。這種對應(yīng)說明了車輛探測和潛艇探測的相似性。而第1類方法恰恰反映了在地面上使用傳感器網(wǎng)絡(luò)對車輛進行探測的特點和靈活性。

實際上還可以使用非線性濾波算法進行車輛跟蹤，近些年才陸續(xù)有文獻研究。非線性濾波算法能夠?qū)崟r進行軌跡跟蹤，無需進行非線性方程求解或擬合運算，計算代價更小。而且由于利用了歷史觀測數(shù)據(jù)，提高了跟蹤精度。文獻［9－10］采用兩個傳感器方案，利用EKF、IEKF、UKF以及粒子濾波算法［11－12］對磁偶極子進行了軌跡跟蹤。文獻［13］采用梯度方案對磁偶極子進行了跟蹤。但是多數(shù)文獻都只是將非線性濾波算法用在兩個傳感器方案，少數(shù)針對梯度方案使用非線性濾波算法，基本上還沒有文獻針對梯度張量方案使用非線性濾波算法。而后兩種都是單點測量方案，比起兩個傳感器等多點測量方案，在實際使用中更簡單。同樣對于兩個傳感器方案、梯度方案和梯度張量方案性能上的比較和分析也缺乏研究。但是這些內(nèi)容涉及到在實際實現(xiàn)中選擇哪種方案，比較很重要。本文將針對這兩點進行研究。

1 幾種方案分析

當(dāng)磁場傳感器與車輛的距離大于車輛自身最大幾何尺寸的2.5倍時，可以將車輛的磁場模型等效為磁偶極子模型［6，14］，多數(shù)對車輛的磁場探測、估計和跟蹤均是建立在此基礎(chǔ)上的，這樣可以簡化計算。磁偶極子模型產(chǎn)生的磁場如下:

其中r=(x，y，z)為場源距離觀測點的位置矢量，M=(Mx，My，Mz)為場源的磁矩矢量，B(r)為場源在觀測點處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度矢量，下文中這些定義保持不變。

一般地，可以用動態(tài)狀態(tài)空間模型DSSM(Dynamic State Space Model)來描述磁偶極子跟蹤問題。

其中，X為狀態(tài)變量，A為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，n為系統(tǒng)噪聲，h(X)為觀測函數(shù)，Y為觀測變量，w為觀測噪聲，下文中的這些定義保持不變。狀態(tài)變量由位置、速度及磁矩的組成，即X=(x，y，z，vx，vy，vz，Mx，My，Mz)。系統(tǒng)模型中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的具體形式由下式?jīng)Q定:

其中v=(vx，vy，vz)分別為場源的速度矢量，下文中定義不變，Ts為采樣周期?？紤]到車輛的機動性和磁矩的擾動，給速度和磁矩矢量一個隨機噪聲，這使得系統(tǒng)模型更符合實際情況。對于不同的方案，其系統(tǒng)模型相同，觀測變量和觀測模型不同，以下介紹幾種常見方案。

1.1 “雙傳感器”方案

根據(jù)兩個傳感器同時刻觀測的6個數(shù)據(jù)，如圖1(a)，可以直接通過非線性方程組將位置和磁矩求解出來［5］。但是這種方法沒有考慮歷史信息，而且該非線性方程組求解比較復(fù)雜，難以保證實時性。文獻［6］中證明了“雙傳感器”能夠采用非線性濾波方法對目標進行跟蹤。文獻［6］中同時使用了Fisher矩陣方法證明了當(dāng)兩個傳感器放在道路兩側(cè)對稱位置且間距較大時，F(xiàn)isher矩陣會更大，即估計誤差會更小。兩個傳感器的位置必須已知為r1，r2，則觀測變量為Y=(B1x，B1y，B1z，B2x，B2y，B2z)，其中B1和B2定義如下:

“雙傳感器”方案(簡稱方案1)是最簡單的多點測量方案，沒有硬件上的冗余。但“雙傳感器”方案要準確知道相對位置，這給布設(shè)帶來了困難。而且每個傳感器都需要知道自身的姿態(tài)，才能使得觀測數(shù)據(jù)變換到同一個坐標系中，這要求每個傳感器都要附帶姿態(tài)角獲取模塊。數(shù)據(jù)的同步和傳輸也是個實際要考慮的問題。這是多點測量方案的共同缺點。

圖1 磁場檢測的兩種傳感器布設(shè)方案

1.2 梯度方案

文獻［13，15］采用了一種梯度方案，并使用粒子濾波方法進行了跟蹤，該文獻結(jié)果說明了這種方案比直接Euler反演方法性能更好。其觀測變量為:Y= (Bx，By，Bz，Gzx，Gzy，Gzz)，其中B和G定義如下:

其中，Gij的測量使用了兩個傳感器磁場數(shù)據(jù)進行一階差分近似得到，傳感器的基準距離(傳感器的間距)為d，如圖1(b)。此方案的觀察噪聲為均值為μ(Xk)的高斯噪聲，μ(Xk)可以采用誤差傳遞公式計算得到。

梯度計方案(簡稱方案2)基準距離可以較小，是一種單點測量方案，這顯然彌補了“雙傳感器”方案實際使用中的缺點。

1.3 梯度張量方案

文獻［8－9，15］中描述了磁梯度張量方法對磁偶極子的參數(shù)進行估計，文獻［8］在此基礎(chǔ)上使用了Euler反演法［16］(Euler反褶積法)，使得估計更加簡單，避免了求解復(fù)雜的非線性方程組。磁梯度張量矩陣定義如下:

如圖2是文獻［17］中提出的優(yōu)化的梯度張量測量系統(tǒng)方案。其中x軸分量的梯度由1號和5號傳感器測量值做差分得到，y軸分量的梯度由2號和4號傳感器測量值做差分得到，z軸分量的梯度通過計算得到［17］，3號傳感器得到該點的磁感應(yīng)強度矢量。

圖2 梯度張量測量系統(tǒng)

Euler反演公式如下:

這里提出對Euler反演法的結(jié)果進行Kalman濾波(簡稱方案3)。Euler反演法的結(jié)果即為帶噪聲的位置和磁矩，其噪聲是由梯度張量測量系統(tǒng)的測量噪聲引起的，可以證明該噪聲是零均值加性高斯噪聲，其方差可以通過誤差傳遞公式計算得到。很容易發(fā)現(xiàn)，此時觀測模型和系統(tǒng)模型都是線性的，只要使用經(jīng)典的Kalman濾波就能估計出系統(tǒng)狀態(tài)。觀測變量為:Y=(^rx，^ry，^rz，^Mx，^My，^Mz)，其中的分量由Euler反演公式計算得到。

與直接使用梯度張量來做觀測變量相比，方案3使得計算得到大大簡化。從3.1節(jié)圖4中可以看出，方案3比Euler反演法的性能更好。方案3雖然在硬件上稍有冗余，但是可以實現(xiàn)單點測量，彌補了“雙傳感器”方案的缺點。另外這種冗余提高了估計的性能，使得基準距離可以做得很小。值得一提的是，梯度張量方案中的基準距離并不是隨意確定的?；鶞示嚯x太大，Euler反演公式的條件不能滿足;基準距離太小，受到傳感器準確度限制，可以通過仿真的方法確定合適的基準距離，這里略去說明。對于高精度的磁場傳感器來說，可以使得基準距離做得很小，如JESSY STAR系統(tǒng)［1］中使用了超導(dǎo)量子干涉儀作為傳感器，其基準距離只有3.5 cm［1］，可惜這種傳感器還無法應(yīng)用在車輛探測領(lǐng)域。相信隨著磁傳感器的發(fā)展，尤其是MEMS原子磁力儀的進步，在車輛探測領(lǐng)域中實現(xiàn)高精度、微型化的梯度張量方案是可以預(yù)期的。

2 Cramer-Rao下限分析

非線性濾波的Cramer-Rao下限決定了非線性濾波算法的性能下限，這里使用該方法來分析上面幾種方案的性能，這樣可以屏蔽具體非線性濾波算法的使用或者優(yōu)化上的差異所導(dǎo)致的性能差距。文獻［18］推導(dǎo)了非線性濾波Cramer-Rao下限。信息矩陣J的遞推公式，如下:

式中變量定義如下，P(Xk+1|Xk)為轉(zhuǎn)移概率密度，P (Yk+1|Xk+1)為似然概率密度。

上述所有方案的系統(tǒng)噪聲和觀測噪聲都是加性的，所以有P(Xk+1|Xk)=P(Xk+1－AXk)，P(Yk+1| Xk)=P(Yk+1－h(huán)(Xk))。所有方案的系統(tǒng)噪聲為均值為零的加性高斯白噪聲，所以:D11k=AQ－1kA，

方案1和方案3中觀測噪聲是均值為零的加性高斯白噪聲，有:

方案2中觀察噪聲是均值為μ(Xk)的加性高斯白噪聲，有:

以下使用Matlab對3種方案的非線性濾波Cramer－Rao下限進行仿真計算。文獻［4］中使用的武裝車輛ATV的磁矩約為104A·m2～105A·m2數(shù)量級，輕型轎車約103A·m2數(shù)量級，SUV約104A·m2數(shù)量級，所以仿真中車輛的磁偶極子模型等效磁矩在103A·m2～105A·m2區(qū)間隨機選擇。目前磁傳感器的準確度很容易達到nT級，如磁通門等?？紤]到地磁場的漂變，在環(huán)境磁噪聲較小的野外地區(qū)，假設(shè)單個單軸傳感器的觀測誤差在5nT以內(nèi)是比較合理的。仿真中取單個三軸傳感器觀測誤差的協(xié)方差矩陣R如下:

仿真結(jié)果如圖3所示。當(dāng)方案1中的傳感器位置距離為20 m，方案2的基準距離為0.5m，方案3的基準距離為0.1m時，其仿真結(jié)果如圖3(a)所示。當(dāng)方案1的傳感器位置距離為0.5 m(此時布設(shè)在道路的同一側(cè))，方案2和方案3的基準距離為0.5 m時，其仿真結(jié)果如圖3(b)所示。由仿真結(jié)果可以看出，方案2的性能較差。當(dāng)方案1傳感器間距較大時，距離和速度的估計上，方案1的性能最好，但隨時間增加方案3和方案1趨于一致，而磁矩的估計上，方案3的性能最好。當(dāng)所有方案的傳感器間距均相同時，方案3性能最好，而方案1和方案2性能相差不大。由于方案1和方案2都是兩個傳感器組成的系統(tǒng)，沒有增加新的信息量，所以當(dāng)傳感器間距相同時兩者性能基本相同。方案3的性能優(yōu)勢是由于增加了傳感器個數(shù)提供了更多的信息。實際上，梯度或者梯度張量能夠?qū)Νh(huán)境噪聲有抑制作用，所以，在同樣的條件下，方案2和方案3的性能應(yīng)該要比仿真結(jié)果要稍微好一點。

圖33 種方案的非線性濾波的Cramer-Rao下限比較

3 實際算法仿真

本節(jié)給出上述方案1和方案3的實際算法的性能仿真圖，仿真中采用100次蒙特卡洛仿真得到每個時刻的估計誤差的均值和均方根誤差，并與Cramer-Rao下限進行比較，驗證算法的性能。仿真中的參數(shù)設(shè)置與第3部分相同。仿真時非線性濾波代碼大部分來自ReBEL工具箱。假定初始狀態(tài)的值均未知，采用“兩點法”計算得到初始狀態(tài)。

3.1 梯度張量方案的算法仿真

根據(jù)前面方案3的描述，直接使用經(jīng)典Kalman濾波就能夠?qū)囕v進行跟蹤?；鶞示嚯x選擇0.1 m，算法其他參數(shù)和第3小節(jié)的一致。圖4為Euler反演法結(jié)合Kalman算法(即方案3)與Euler反演法的比較。

圖4Euler反演法與方案3比較(10次蒙特卡羅仿真的二維軌跡)

圖5 為方案3在100次蒙特卡羅仿真后得到的性能。在當(dāng)前參數(shù)設(shè)置下，使用信噪較高的地點做起始點，位置估計的均方根誤差最小能達到0.3 m，速度估計的均方根誤差最小能達到0.5 m/s，磁矩估計的均方根誤差最小能達到200 A·m2，相對實際磁矩，誤差約為0.7%。再次體現(xiàn)了方案3的良好性能。

3.2 “雙傳感器”方案的算法仿真

這里使用非線性Kalman濾波算法實現(xiàn)方案1，兩個傳感器距離為20 m，其他參數(shù)和第2小節(jié)的一致，如圖6為EKF、srUKF和srCDKF算法的100次蒙特卡羅得到的性能。在目前參數(shù)設(shè)置下，使用信噪較高的地點做起始點，位置估計的均方根誤差最小能達到0.2 m，速度估計的均方根誤差最小能達到0.5 m/s，磁矩估計的均方根誤差最小能達到1 000 A·m2，相對實際磁矩，誤差約為3%。表1中列舉了常見的非線性Kalman濾波算法在“雙傳感器”方案中的應(yīng)用性能。可以看出UKF和srUKF算法性能較好。

表1 各種非線性Kalman濾波算法性能(100次蒙特卡羅仿真)

圖6 “雙傳感器”方案的100次蒙特卡羅仿真的性能

4 總結(jié)

以上討論了幾種基于非線性濾波算法的磁偶極子跟蹤的方案，“雙傳感器”方案、梯度方案、梯度張量方案，在梯度張量方案中提出來將Euler反演法和Kalman濾波結(jié)合進行磁偶極子跟蹤。并使用了非線性濾波的Cramer-Rao下限對幾種方案的性能進行分析和比較。幾種方案均能夠?qū)囕v進行跟蹤，梯度和梯度張量方案是單點測量方法，能夠解決“雙傳感器”方案等多點測量方案的缺點。梯度張量方法在車輛跟蹤問題上性能更好，尤其是磁矩估計更準確，計算代價也更小。

［1］張昌達.關(guān)于磁異常探測的若干問題［J］.工程地球物理學(xué)報，2008，4(6):549－553.

［2］劉石，李寶清，童官軍，等.一種平面四軸向磁通門傳感器的設(shè)計［J］.傳感技術(shù)學(xué)報，2011，23(11):1565－1569.

［3］唐莉莉，宋勇，童官軍，等.一種新的運動磁目標定位算法［J］.傳感技術(shù)學(xué)報，2011，24(7):996－1000.

［4］Merlat L，Naz P.Magnetic Localization and Identification of Vehicles［J］.P Soc Photo-Opt Ins，2003，5090:174－185.

［5］任志良，黃玉盈，陳澤茂.磁偶極子源的被動測距與跟蹤［J］.數(shù)據(jù)采集與處理，2001(3):380－383.

［6］Wahlstrom N，Callmer J，Gustafsson F.Magnetometers for Tracking Metallic Targets［C］//Proceedings of the Information Fusion(FUSION)，2010 13th Conference on，F(xiàn)，2010.IEEE.

［7］唐勁飛，龔沈光.基于磁偶極子模型的目標定位和參數(shù)估計［J］.電子學(xué)報，2002，30(4):614－616.

［8］Nara T，Suzuki S，Ando S.A Closed-Form Formula for Magnetic Dipole Localization by Measurement of Its Magnetic Field and Spatial Gradients［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2006，42 (10):3291－3293.

［9］Czipott P V，Perry A R，Whitecotton B R，et al.Magnetic Detection and Tracking of Military Vehicles［J］.2002.

新型組合式直流斷路器拓撲及其性能分析//鄭曉銘,王鋼,李海鋒,郭彥勛,李健濤,洪潮//(24):105

［10］Wahlstrom N，Callmer J，Gustafsson F.Single Target Tracking U-sing Vector Magnetometers［C］//Proceedings of the Acoustics，Speech and Signal Processing(ICASSP)，2011 IEEE International Conference on，F(xiàn)，2011.IEEE.

［11］Birsan M.Unscented Particle Filter for Tracking a Magnetic Dipole Target［C］//Proceedings of the Oceans，2005 Proceedings of MTS/IEEE，F(xiàn)，2005.IEEE.

［12］Wu Z D，Zhou S H，Zhang H X.GMSPPF for Magnetic Ellipsoid Tracking with a Magnetic Gradiometer Tensor［J］.Advanced Materials Research，2013，779:1789－1792.

［13］Birsan M.Recursive Bayesian Method for Magnetic Dipole Tracking with a Tensor Gradiometer［J］.Ieee T Magn，2011，47(2):409－415.

［14］Caruso M J，Withanawasam L S.Vehicle Detection and Compass Applications Using AMR Magnetic Sensors［J］.Sensors Expo Proceedings，1999，477.

［15］Wynn W M.Magnetic Dipole Localization Using the Gradient Rate Tensor Measured by a 5-Axis Magnetic Gradiometer with Known Velocity［J］.Detection Technologies for Mines And Minelike Targets，1995，2496:357－367.

［17］Wynn W M，F(xiàn)rahm C P，Carroll P J，et al.Advanced Superconducting Gradiometer-Magnetometer Arrays And a Novel Signal-Processing Technique［J］.Ieee T Magn，1975，Ma11(2):701－707.

［18］Tichavsky P，Muravchik C H，Nehorai A.Posterior Cramér-Rao Bounds for Discrete-Time Nonlinear Filtering［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1998，46(5):1386－1396.

余振華(1972－)，男，碩士研究生。2011.6畢業(yè)于華中科技大學(xué)，專業(yè)為電子科學(xué)與技術(shù)專業(yè)。2011.9至今，于中科院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所無線傳感網(wǎng)實驗室攻讀碩士研究生，主要研究方向為無線傳感網(wǎng)中的傳感器信號處理，scholar.edward@gmail.com;

李寶清(1972－)，男，研究員。1999.9畢業(yè)于中科院上海冶金研究所獲博士學(xué)位，專業(yè)為微電子。2001.5～2005.5美國新澤西理工學(xué)院微電子研究中心，訪問學(xué)者，2006.4回國后在中科院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所無線傳感網(wǎng)實驗室工作，主要研究方向為各類傳感器的研制及其在無線傳感網(wǎng)中的應(yīng)用，libq@mail.sim.ac.cn。

車輛磁場跟蹤問題的幾種非線性濾波方案研究*

余振華1，周乾偉1，謝東峰1，李寶清1*
(中科院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所無線傳感網(wǎng)實驗室，上海200050)

概述了車輛的磁場跟蹤方案，并說明了在這些方案中運用非線性濾波算法的優(yōu)點以及存在的問題。描述使用非線性濾波算法的“雙傳感器”方案和梯度計方案的原理和模型，并提出了一種Euler反演法與Kalman算法結(jié)合的梯度張量方案。使用了非線性濾波的Cramer-Rao下限分析并比較了這幾種方案的性能。最后給出了方案的仿真結(jié)果。這幾種方案均能實現(xiàn)對車輛的跟蹤，其中梯度張量方案在磁矩估計上有明顯的性能優(yōu)勢。

車輛磁場跟蹤;非線性濾波;磁場梯度張量;Cramer-Rao下限

O441.5;TN850.6;TP274;TP212.9

A

1004－1699(2014)04－0505－07

2014－01－20修改日期:2014－04－02

C:7950;7310L

10.3969/j.issn.1004－1699.2014.04.016

項目來源:系統(tǒng)技術(shù)國防科技重點實驗室基金項目(9140C18010213ZK34001)