邵毅敏, 王新龍, 劉 靜, 陳再剛

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400030)

嚙合接觸剛度是齒輪系統(tǒng)中影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的重要因素，目前的研究集中在輪齒故障的動(dòng)態(tài)特性計(jì)算方面[1-3]，針對(duì)齒面剝落輪齒在嚙出時(shí)，剝落邊界和對(duì)應(yīng)輪齒齒面發(fā)生邊緣接觸作用，以及這種邊緣接觸作用對(duì)嚙合剛度及其動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響和能量傳遞的影響等研究較少。

本文考慮邊緣接觸作用，建立了“復(fù)合剛度計(jì)算模型”，提出了輪齒表面剝落缺陷的時(shí)變剛度算法，計(jì)算了剝落擴(kuò)展過(guò)程中的不同剝落界面形貌的邊緣接觸時(shí)線接觸彈性接觸剛度和嚙合剛度，通過(guò)對(duì)時(shí)變信號(hào)和頻譜的分析，研究了存在表面剝落的齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征。獲得了表面剝落對(duì)于齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響特性。

1 輪齒表面剝落缺陷的時(shí)變剛度算法

表面剝落缺陷輪齒與正常輪齒嚙合過(guò)程中，在嚙出剝落邊界時(shí)，與其邊緣發(fā)生接觸作用，導(dǎo)致齒面接觸力產(chǎn)生突變，直接影響齒對(duì)嚙合動(dòng)態(tài)特性，因此，分析邊緣接觸問(wèn)題，建立考慮邊緣接觸的嚙合剛度計(jì)算模型，是研究表面剝落對(duì)嚙合剛度及其動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響的重要問(wèn)題。

本文提出的復(fù)合剛度計(jì)算模型是同時(shí)包含基于勢(shì)能原理的嚙合剛度計(jì)算模型與邊緣接觸剛度計(jì)算模型的綜合嚙合剛度計(jì)算模型。

1.1 輪齒表面剝落的復(fù)合接觸剛度模型

圖1 表面剝落齒對(duì)嚙合示意圖

表面剝落齒對(duì)嚙合，如圖1所示。剝落區(qū)域按照嚙合線法向和切向投影得到齒對(duì)嚙合過(guò)程中剝落區(qū)域的接觸過(guò)程示意圖，如圖2和圖3所示。其虛線表示發(fā)生邊緣接觸位置。表面剝落齒對(duì)嚙合過(guò)程接觸剛度情況，如圖4所示，Kn、Ks分別表示沿齒寬方向的漸開線接觸剛度、邊緣接觸剛度。

(1) 在進(jìn)入剝落邊界之前的正常齒面區(qū)域，齒對(duì)的嚙合通過(guò)漸開線齒面線接觸嚙合，接觸剛度包括沿齒面方向的Kn(如圖4(a))；

(2) 在剝落且非邊界區(qū)域(如圖2(b), 嚙合點(diǎn)Y)，齒面與剝落輪齒兩端齒面通過(guò)漸開線接觸嚙合，接觸剛度包括兩端的Kn(如圖4(b))；

(3) 在嚙出剝落邊界時(shí)(如圖2(c), 嚙合點(diǎn)Z)，齒面與剝落邊界邊緣發(fā)生接觸，導(dǎo)致接觸力產(chǎn)生突變，同時(shí)齒面與非剝落區(qū)域產(chǎn)生漸開線接觸，接觸剛度包括Kn、Ks(如圖4(c))；

(4) 齒對(duì)嚙合離開剝落區(qū)域，接觸情況和(1)相同(如圖4(d))。因此表面剝落齒對(duì)嚙合的接觸過(guò)程存在一邊-兩邊-三邊-一邊的變化過(guò)程，所以，嚙合剛度K(t)的計(jì)算必須要用分段函數(shù)表示。

圖2 剝落區(qū)域齒對(duì)嚙合法向示意圖

圖3 剝落區(qū)域齒對(duì)嚙合切向示意圖

圖4 表面剝落齒對(duì)嚙合過(guò)程接觸剛度示意圖

齒對(duì)嚙合剛度[6]可以表示為式(1)，其中Kh、Kb、Ks、Ka、Kf分別表示接觸剛度、彎曲剛度、剪切剛度、軸向壓縮剛度、基體變形剛度。

K(t)=

(1)

式中:Rs表示剝落邊界漸開線曲率半徑，Rs在剝落擴(kuò)展的過(guò)程中保持常量特性。利用線接觸彈性接觸變形的解析算法[4,5]，計(jì)算邊緣接觸剛度，計(jì)算有限長(zhǎng)線接觸相對(duì)應(yīng)的計(jì)算參數(shù)ε:

(π/2-θ1)/ε=(π/2-arccosε)/ε=1

(2)

與接觸區(qū)域相關(guān)的面積系數(shù)的計(jì)算：

Δ1=(f0-f1)(π/2-θ1)/2

(3)

Δi=(fi-1-fi+1)(θi-θi+1)/2

(4)

(5)

離散積分：

(6)

光滑彈性體接觸理論中的法向接觸變形計(jì)算式為：

δs=ηbp0Kθ1

(7)

式中：η表示和接觸體材料屬性有關(guān)的特性系數(shù)：

(8)

Kθ1表示第一類全橢圓積分, 其計(jì)算式為：

(9)

由式(6)和式(9)，可獲得Kθ1的簡(jiǎn)化計(jì)算方程：

(10)

p0表示接觸區(qū)最大接觸壓力, 計(jì)算式為：

p0=3P/(2πLab)

(11)

其中：

(12)

(13)

∑ρ表示主曲率之和：

(14)

漸開線齒對(duì)嚙合的接觸剛度沿整個(gè)接觸線上可視為近似常數(shù)[9]。漸開線齒對(duì)嚙合接觸剛度的計(jì)算采用式(15)，由式(15)和式(7)可得復(fù)合接觸剛度式(16):

(15)

(16)

則齒對(duì)在整個(gè)嚙合過(guò)程的復(fù)合接觸剛度Kh計(jì)算式表示為如下分段函數(shù)：

(17)

式中:α1、αI、αO、LsH、W分別表示任意嚙合壓力角、嚙入剝落邊界壓力角、嚙出剝落邊界壓力角、非剝落輪齒長(zhǎng)度、輪齒寬度。

將輪齒視為變截面懸臂梁計(jì)算直齒輪輪齒嚙合過(guò)程的Kb、Ks、Ka、Kf，則齒對(duì)嚙合的彎曲、剪切和軸向壓縮剛度計(jì)算式可以表示為[2,6]：

(18)

(19)

齒輪基體變形對(duì)于時(shí)變嚙合剛度有重要影響，Sainsot等[7]計(jì)算得出基體變形剛度計(jì)算式：

(20)

(21)

綜合上述，將復(fù)合接觸剛度Kh及Kb、Ks、Ka、Kf計(jì)算式帶入嚙合剛度公式(17)，并設(shè)：

(22)

則整個(gè)嚙合過(guò)程的復(fù)合剛度計(jì)算式表示為如下分段函數(shù)K(t):

(23)

文獻(xiàn)[6, 8]分片積分計(jì)算法，將剝落模型分成正常、故障兩部分分別計(jì)算變形剛度，整個(gè)輪齒的剛度可以將嚙合剛度在整個(gè)輪齒齒寬W積分獲得：

(24)

1.2 接觸剛度計(jì)算模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文邊緣接觸剛度計(jì)算模型的正確性，建立了相應(yīng)的有限元分析模型。利用有限元法和本文提出的邊緣接觸剛度算法分別計(jì)算了存在齒面剝落故障的齒輪嚙合副邊緣接觸剛度，其結(jié)果如圖5所示。圖5顯示了四種不同剝落寬度的8組邊緣接觸剛度計(jì)算結(jié)果。兩者計(jì)算結(jié)果一致，最大誤差僅為4.54%，證明了本文提出的邊緣接觸剛度計(jì)算模型的正確性。

圖5 復(fù)合接觸剛度算法結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果

2 仿真計(jì)算條件及仿真結(jié)果

2.1 仿真條件

仿真的系統(tǒng)參數(shù)，如表1所示。仿真分析輪齒表面剝落缺陷位于小齒輪，表面剝落參數(shù)，如表2所示。

2.2 仿真結(jié)果

不同剝落寬度(D=45 mm,H=1.0 mm)影響的單雙齒對(duì)嚙合剛度曲線、不同剝落長(zhǎng)度(A=3 mm,H=1.0 mm)影響的單雙齒對(duì)嚙合剛度曲線，分別如圖6和圖7、圖8和圖9所示。橫坐標(biāo)為嚙合壓力角，實(shí)線方塊、虛線方格分別表示考慮邊緣接觸“與”“否”的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算結(jié)果顯示：隨著剝落寬度擴(kuò)展，嚙合剛度曲線出現(xiàn)明顯衰減現(xiàn)象，而最大的衰減出現(xiàn)在存在剝落缺陷的輪齒退出嚙合的位置，特別是齒對(duì)在嚙出剝落邊界時(shí)，由于邊緣接觸作用的影響，導(dǎo)致嚙合剛度發(fā)生突變現(xiàn)象。

表1 齒輪系統(tǒng)參數(shù)

表2 小輪齒表面剝落缺陷仿真參數(shù)

圖6 不同剝落寬度影響的單齒對(duì)嚙合剛度曲線

圖7 不同剝落寬度影響的綜合嚙合剛度曲線

圖8 不同剝落長(zhǎng)度影響的單齒對(duì)嚙合剛度曲線

圖9 不同剝落長(zhǎng)度影響的綜合嚙合剛度曲線

3 輪齒表面剝落缺陷的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)及特征和實(shí)驗(yàn)研究

3.1 齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

考慮邊緣接觸的剛度激勵(lì)，建立了6自由度考慮阻尼系數(shù)的直齒輪箱系統(tǒng)[6]，動(dòng)力學(xué)模型示意圖如圖10所示。Y軸平行于輪齒嚙合線，TP/TG表示驅(qū)動(dòng)/制動(dòng)扭矩，ΩP/ΩG表示小齒輪/大齒輪的工作轉(zhuǎn)速，JP/JG表示小齒輪/大齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，KiBj/CIBj表示支撐軸承的剛度和阻尼，i分別表示小齒輪和大齒輪，j分別表示x和y坐標(biāo)軸方向，mP/mG表示小齒輪和大齒輪質(zhì)量，K(t)表示時(shí)變嚙合剛度，Cm表示輪齒嚙合阻尼，F(xiàn)f表示存在于嚙合輪齒間的摩擦力。

直齒輪系統(tǒng)的參數(shù)，如表1所示。施加到直齒輪系統(tǒng)的負(fù)載扭矩為60 Nm，仿真轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為10 Hz。采用Coulomp摩擦模型，其動(dòng)力學(xué)摩擦系數(shù)u參考文獻(xiàn)[6]。

建立系統(tǒng)振動(dòng)方程式為：

Mx″+Cx′+Kx=F

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

圖10 齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

3.2 輪齒表面剝落缺陷對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響分析

采用龍格-庫(kù)塔法求解時(shí)變剛度激勵(lì)的動(dòng)力學(xué)方程，獲得系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

仿真計(jì)算直齒輪系統(tǒng)的小齒輪y向動(dòng)態(tài)響應(yīng)，其正常動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)域圖和頻譜圖，如圖11所示，其時(shí)域信號(hào)平穩(wěn)，有嚙合頻率和諧頻成分。

圖11 正常小齒輪y向動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)域圖及頻譜圖(D=0 mm,A=0 mm)

穩(wěn)定狀態(tài)的剝落缺陷影響的時(shí)域圖和頻譜分別如圖12 (D=45 mm,A=2 mm)、圖13 (D=45 mm,A=3 mm) 和圖14(D=60 mm,A=2 mm)所示。紅色線、藍(lán)色線分別表示考慮邊緣接觸和不考慮邊緣接觸的響應(yīng)。時(shí)域分析顯示初期剝落輪齒產(chǎn)生的時(shí)域信號(hào)特性并不明顯。然而，當(dāng)剝落寬度和長(zhǎng)度擴(kuò)展到一定程度，出現(xiàn)明顯的沖擊，相鄰沖擊間的間隔時(shí)間T(0.1 s)和小齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)周期(60/600=0.1 s)相同。

包絡(luò)解調(diào)頻譜顯示剝落缺陷寬度和長(zhǎng)度擴(kuò)展，影響嚙合頻率及其諧頻以及邊頻的變化，其特點(diǎn)是：邊頻明顯增強(qiáng)，而齒輪嚙合頻率及其諧頻幅值增長(zhǎng)相對(duì)緩慢，邊頻特征比齒輪嚙合頻率及其諧頻對(duì)于剝落缺陷擴(kuò)展更加敏感，其結(jié)果與文獻(xiàn)[1]及文獻(xiàn)[3]的有限元計(jì)算結(jié)論一致，從另一個(gè)角度驗(yàn)證了本研究方法的正確性。

3.3 輪齒表面剝落缺陷實(shí)驗(yàn)與特性研究

為驗(yàn)證理論模型仿真分析的正確性，利用二級(jí)齒輪箱開展輪齒表面剝落缺陷實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)條件如圖15所示：輸入軸轉(zhuǎn)速600 r/min(即轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為10 Hz)，采樣頻率為10 kHz；齒面剝落缺陷設(shè)置在第二級(jí)小齒輪輪齒上，測(cè)點(diǎn)布置在第二級(jí)小齒輪軸承座上；齒面剝落：小缺陷(D=45 mm，A=2 mm,H=1 mm)和大缺陷(D=60 mm，A=2 mm,H=1 mm)。

齒面剝落小缺陷與大缺陷對(duì)應(yīng)的振動(dòng)信號(hào)時(shí)域圖和頻譜分別如圖15、圖16所示。結(jié)果表明，齒面剝落缺陷較小時(shí)，齒輪系統(tǒng)振動(dòng)沖擊信號(hào)特征不明顯。齒面剝落缺陷越大，齒輪系統(tǒng)振動(dòng)沖擊越明顯，如圖16所示，相鄰振動(dòng)沖擊間的間隔時(shí)間T(0.101 7 s)與小齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)周期(1/9.83 s)相同。

圖12 小齒輪y向動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)域圖、頻譜圖(D=45 mm,A=2 mm)

圖15 輪齒表面剝落故障實(shí)驗(yàn)布置圖

圖16 小齒輪y向?qū)嶒?yàn)動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)域圖、頻譜圖(D=45 mm,A=2 mm,H=1 mm)

圖17 小齒輪y向?qū)嶒?yàn)動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)域圖、頻譜圖(D=60 mm,A=2 mm,H=1 mm)

頻譜中f1表示第一級(jí)嚙合頻率(230 Hz)，f2表示第二級(jí)(缺陷齒輪)嚙合頻率(147.5 Hz)，含故障的齒輪軸轉(zhuǎn)頻為5.9 Hz；頻譜顯示，隨著剝落擴(kuò)展，邊頻(與缺陷齒輪轉(zhuǎn)頻倍數(shù)吻合)明顯增強(qiáng)，而缺陷齒輪嚙合頻率及其諧頻幅值增長(zhǎng)相對(duì)緩慢，邊頻特性相比齒輪嚙合頻率及其諧頻對(duì)剝落缺陷擴(kuò)展更加敏感。實(shí)驗(yàn)結(jié)果和文中3.2節(jié)的仿真結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了建立的齒輪剝落缺陷動(dòng)力學(xué)理論模型的正確性。

4 結(jié) 論

提出了齒面剝落復(fù)合接觸剛度模型，結(jié)合勢(shì)能原理推導(dǎo)了齒輪副嚙合剛度算法，分析了邊緣接觸對(duì)時(shí)變剛度激勵(lì)以及系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的影響，開展了輪齒表面剝落缺陷實(shí)驗(yàn)研究。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：缺陷邊緣接觸導(dǎo)致嚙合剛度發(fā)生突變，其動(dòng)態(tài)響應(yīng)信號(hào)的嚙合頻率及其倍頻的調(diào)制邊頻成分明顯。本文提出的復(fù)合剛度模型能夠準(zhǔn)確表征剝落缺陷嚙合的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征，可為在線監(jiān)測(cè)和齒輪故障診斷提供理論支撐。

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