董楸煌，陳 力

(福州大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，福州 350108)

隨太空環(huán)境的開發(fā)、利用，空間機械臂將協(xié)助或代替宇航員完成太空作業(yè)任務(wù)，因此其相關(guān)理論與技術(shù)研究廣受關(guān)注[1-3]。對漂浮基空間機械臂，其漂浮基與機械臂間存在相互耦合運動。由于機械臂柔性桿等彈性附件的振動，使空間機械臂系統(tǒng)存在剛?cè)徇\動耦合，因此空間機械臂系統(tǒng)動力學(xué)特性及基于動力學(xué)的控制問題相對地面機械臂更復(fù)雜[4-5]。地面機械臂已有諸多研究成果，如考慮柔性機械臂的軌跡跟蹤及柔性振動主動抑制的控制[6]、將關(guān)節(jié)控制器與柔性振動控制器進行復(fù)合疊加以實現(xiàn)對機械臂關(guān)節(jié)運動與振動抑制的同時控制[7]等均可作為空間機械臂研究參考依據(jù)?？臻g機械臂進行太空作業(yè)過程中不可避免與載荷發(fā)生接觸碰撞，會造成空間機械臂系統(tǒng)不穩(wěn)定運動及柔性附件彈性振動等[8]，因此對空間機械臂動力學(xué)與控制進行研究具有理論及工程應(yīng)用價值。

空間機械臂受捕獲載荷沖擊碰撞為復(fù)雜、多體系統(tǒng)碰撞動力學(xué)問題。本文基于動量守恒原理，利用動量沖量法評估漂浮基空間機械臂受沖擊后動力學(xué)響應(yīng)?？紤]沖擊影響效應(yīng)會引起空間機械臂與載荷組合體系統(tǒng)不穩(wěn)定運動及柔性桿彈性振動，設(shè)計自適應(yīng)控制算法對組合體系統(tǒng)不穩(wěn)定運動進行鎮(zhèn)定控制。該控制算法無需控制漂浮基位置，且能克服載荷參數(shù)未知對控制系統(tǒng)影響。在自適應(yīng)控制算法基礎(chǔ)上設(shè)計線性二次最優(yōu)復(fù)合控制算法對柔性桿彈性振動進行主動抑制。通過數(shù)值仿真進一步評估受載荷沖擊后空間機械臂動力學(xué)響應(yīng)，驗證控制算法的有效性。

1 漂浮基柔性空間機械臂系統(tǒng)動力學(xué)模型

以平面運動漂浮基柔性空間機械臂為對象，研究其在軌捕獲載荷過程，見圖1。該機械臂由漂浮基B0及兩連桿B1，B2組成，其中連桿B2為均勻細長柔性桿，忽略機械臂末端爪手結(jié)構(gòu)，將其假設(shè)為一點P，建立平動慣性坐標系O-XY及各分體主軸坐標系Oi-XiYi(i=0,1,2)。O0為漂浮基質(zhì)心；O1，O2為機械臂兩關(guān)節(jié)鉸轉(zhuǎn)動中心。定義x0，y0，θ0為漂浮基位置及姿態(tài)；θ1，θ2為機械臂兩關(guān)節(jié)角角度，即系統(tǒng)廣義坐標q=[x0y0θ0θ1θ2δ1δ2]T；mi(i=0，1)為漂浮基B0，B1質(zhì)量；Ji(i=0，1)為對應(yīng)轉(zhuǎn)動慣量；ρ，EI為柔性連桿B2線密度、抗彎剛度；l0為O0與O1間直線距離；li(i=1,2)為兩連桿長度。

圖1 漂浮基空間機械臂捕獲載荷過程

圖2 柔性桿的變形示意圖

忽略柔性連桿B2的軸向及剪切變形，將其假設(shè)為Euler-Bernoulli梁，見圖2。柔性桿在X2坐標主軸上x2(0≤x2≤l2)處質(zhì)點彈性彎曲變形可據(jù)假設(shè)模態(tài)法[9]表示為

(1)

式中：δi，φi(x2)分別為第i階模態(tài)坐標及函數(shù)；n為模態(tài)階數(shù)，忽略高階模態(tài)取n=2。

結(jié)合柔性連桿變形假設(shè)，據(jù)幾何關(guān)系，空間機械臂漂浮基質(zhì)心、剛性桿質(zhì)心、柔性桿x2(0≤x2≤l2)處質(zhì)點及末端爪手P相對O-XY原點O的失徑r0，r1，r2，rP可表示為

(2)

式中：ei(i=0,1,2)為Xi軸基矢量，e3=[0, -1; 1, 0]e2為與X2軸垂直正交基矢量。

對式(2)求時間導(dǎo)數(shù)得

(3)

(4)

據(jù)式(3)空間機械臂系統(tǒng)動能可表示為

(5)

式中：υi(i=0,1)為漂浮基B0及連桿B1角速度。

據(jù)柔性連桿B2彈性彎曲變形式(1)，其彈性勢能可表示為

(6)

利用第二類拉格朗日方程，并結(jié)合式(5)、(6)，推導(dǎo)得動力學(xué)模型為

(7)

2 受捕獲載荷沖擊后空間機械臂動力學(xué)響應(yīng)評估

設(shè)空間機械臂捕獲載荷為B3，并視為單剛體系統(tǒng)，質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量為m3，J3；質(zhì)心O3與外部捕獲點P′間直線距離為l3。該載荷質(zhì)心位置與姿態(tài)定義為x3，y3，β。該載荷以一定速度飛向機械臂爪手P，而空間機械臂通過控制，以較佳構(gòu)型靜止等候以捕獲該載荷。據(jù)幾何關(guān)系知載荷外部捕獲點P′與廣義速度間存在運動學(xué)關(guān)系為

(8)

設(shè)捕獲過程中該載荷不受其它外力作用，僅與空間機械臂末端爪手發(fā)生接觸碰撞時在捕獲點P′受機械臂爪手作用力FP′；在空間機械臂捕獲該載荷接觸碰撞過程中FP′與FP為一對作用力與反作用力，則

FP=-FP′

(9)

利用牛頓-歐拉法，推導(dǎo)得該載荷動力學(xué)模型為

(10)

式中：Dt∈R3×3為載荷慣量矩陣。

空間機械臂捕獲載荷過程中與載荷碰撞沖擊為復(fù)雜的多體系統(tǒng)碰撞動力學(xué)問題。捕獲過程空間機械臂與載荷若除兩者間相互作用力外不受其它外力作用，據(jù)動量守恒原理，該碰撞過程實質(zhì)為兩者間動量相互傳遞。將式(9)、(10)代入式(7),得空間機械臂與載荷組合體系統(tǒng)動力學(xué)模型為

(11)

機械臂末端爪手捕獲載荷過程中，兩者間接觸碰撞持續(xù)時間Δt較短暫。據(jù)動量沖量法，將式(11)對該接觸碰撞持續(xù)時間進行積分得

(12)

式中：t0為臨接觸碰撞時刻。

在空間機械臂捕獲載荷過程中，機械臂末端爪手P與載荷接觸點P′之間碰撞沖擊力較大。為避免該沖擊力對空間機械臂系統(tǒng)造成沖擊損壞、緩沖該碰撞沖擊，在載荷與機械臂末端爪手接觸碰撞過程中令空間機械臂控制輸入為0，即τ=0；且關(guān)節(jié)鉸處于自由轉(zhuǎn)動狀態(tài)。由于接觸碰撞持時Δt較短，故該過程空間機械臂系統(tǒng)廣義坐標并未發(fā)生顯著變化，但由于巨大碰撞沖擊力會使廣義速度發(fā)生變化，造成空間機械臂系統(tǒng)不穩(wěn)定運動及柔性桿彈性振動。因此，式(12)部分積分結(jié)果可近似表示為

(13)

式(13)等號左端絕對值及等號右端積分項內(nèi)絕對值均為有限量，但由于Δt絕對值極小，故其積分后絕對值也極小，與等號左端相比可忽略不計。式(13)可近似表示為

(14)

設(shè)空間機械臂末端爪手與載荷發(fā)生接觸碰撞后鎖緊固連，則由式(4)、(8)得

(15)

聯(lián)立式(14)、(15)，可計算得接觸碰撞后時刻t0+Δt空間機械臂廣義速度為

(16)

式(16) 即為受捕獲載荷沖擊后漂浮基柔性空間機械臂動力學(xué)響應(yīng)評估。

3 受捕獲載荷沖擊后空間機械臂自適應(yīng)鎮(zhèn)定控制與振動主動抑制

漂浮基柔性空間機械臂在捕獲載荷過程中，由于載荷沖擊碰撞造成空間機械臂系統(tǒng)不穩(wěn)定運動及柔性桿彈性振動會影響空間機械臂正常工作，甚至造成結(jié)構(gòu)損壞，因此需對捕獲載荷后空間機械臂與載荷組合體不穩(wěn)定運動進行鎮(zhèn)定控制及抑制柔性桿彈性振動。針對該問題，本文設(shè)計自適應(yīng)控制算法輸入τa對不穩(wěn)定運動進行鎮(zhèn)定控制，結(jié)合線性二次最優(yōu)控制算法輸入τv對柔性桿彈性振動進行主動抑制，即設(shè)計復(fù)合控制算法輸入τ=τa+τv，以實現(xiàn)兩項控制目標。

3.1 自適應(yīng)控制算法設(shè)計

空間機械臂捕獲載荷后，兩者將成為組合體系統(tǒng)，其動力學(xué)模型見式(11)。由式(4)、(8)得

(17)

(18)

組合體系統(tǒng)動力學(xué)模型存在特性[10]為

(19)

式中：z∈R7×1為任意向量。

由于空間機械臂漂浮基位置控制推進器的開啟需消耗大量燃料，影響空間機械臂在軌使用時長。為此，漂浮基位置往往不受控，組合體系統(tǒng)控制輸入τ中漂浮基位置控制輸入為0，即式(18)為欠驅(qū)動形式；被捕獲載荷參數(shù)往往未知，會影響控制效果。經(jīng)分析，式(18)將保持關(guān)于載荷未知參數(shù)呈線性化關(guān)系，便于自適應(yīng)控制算法設(shè)計。綜之，本文將設(shè)計欠驅(qū)動形式增廣自適應(yīng)控制算法，實現(xiàn)對組合體系統(tǒng)不穩(wěn)定運動進行鎮(zhèn)定控制，控制器可通過自適應(yīng)算法對未知參數(shù)進行在線計算調(diào)整，提高控制系統(tǒng)性能。

定義空間機械臂系統(tǒng)增廣實際輸出為

(20)

式中：qb=[x0y0]T，qv=[δ1δ2]T分別為欠驅(qū)動情況下漂浮基位置及柔性桿模態(tài)坐標輸出，qa=[θ0θ1θ2]T為漂浮基姿態(tài)與機械臂關(guān)節(jié)角度輸出。

定義增廣期望輸出為

(21)

式中：qad=[θ0dθ1dθ2d]T為實際期望輸出。

結(jié)合式(20)、(21),定義增廣期望輸出與增廣實際輸出間誤差為

(22)

式中：ea=qad-qa。

定義增廣誤差為

(23)

(24)

據(jù)式(23)、(24)，得

(25)

據(jù)式(25)可將組合體系統(tǒng)動力學(xué)模型式(18)變?yōu)?/p>

(26)

基于式(26)，設(shè)計欠驅(qū)動增廣自適應(yīng)控制算法輸入τa為

(27)

對未知參數(shù)，設(shè)計自適應(yīng)調(diào)節(jié)規(guī)律為

(29)

式中：γ為正常數(shù)。

證明：設(shè)s=0，Φ=0為無擾運動，式(28)、(29)為受擾運動方程；選擇正定函數(shù)為準Lyapunov函數(shù)

(30)

計算V的全導(dǎo)數(shù)，將式(19)、(28)、(29)代入得

(31)

式中：K2=diag(I2×2,ka,I2×2)，I2×2為二階單位陣。

3.2 線性二次最優(yōu)控制算法設(shè)計

(32)

將式(32)展開為

(33)

式中：Kvv=diag(k1,k2)，τi=[τ0τ1τ2]T為控制輸入力矩。

將式(33)寫為

(34)

(35)

(36)

定義以減少彈性振動及能量消耗為優(yōu)化目標的線性二次最優(yōu)指標函數(shù)為

(37)

式中：Q，R為加權(quán)對稱矩陣。

(38)

式中：P為Ricatti方程的解：PA+ATP-PBR-BTP+Q=0。

結(jié)合式(34)第一式，基于逆動力學(xué)理論，抑制柔性桿彈性振動控制輸入可定義為

(39)

抑制柔性桿彈性振動主動控制欠驅(qū)動輸入為

(40)

綜上，為對捕獲載荷后組合體系統(tǒng)不穩(wěn)定運動進行鎮(zhèn)定控制及對柔性桿的彈性振動進行主動抑制，需對自適應(yīng)控制輸入及線性二次最優(yōu)控制輸入進行復(fù)合疊加，得復(fù)合控制輸入為

τ=τa+τv

(41)

4 數(shù)值仿真

通過數(shù)值仿真對空間機械臂捕獲載荷過程進行模擬。仿真考慮三種情況：① 空間機械臂受捕獲載荷沖擊后不進行任何主動控制，即關(guān)閉所有控制器情況下動力學(xué)響應(yīng)仿真；② 僅開啟自適應(yīng)控制器進行主動控制情況下動力學(xué)響應(yīng)仿真；③開啟自適應(yīng)及線性二次最優(yōu)復(fù)合控制器主動控制情況下動力學(xué)響應(yīng)仿真。仿真時，空間機械臂各分體幾何參數(shù)為l0=1.5 m，l1=3 m，l2=3 m；各分體質(zhì)量及中心轉(zhuǎn)動慣量為m0=30 kg，m1=5 kg，J0=20 kg·m2，J1=3 kg·m2；柔性桿線密度為ρ=1 kg/m；抗彎剛度為EI=200 N·m2。載荷參數(shù)為m3=8 kg；J3=3 kg·m2；l3=0.2 m。

4.1 關(guān)閉控制器時動力學(xué)響應(yīng)仿真

為評估空間機械臂捕獲載荷過程中所受沖擊影響效應(yīng)，空間機械臂受載荷沖擊后關(guān)閉所有控制器，利用組合體系統(tǒng)動力學(xué)模型式(18)計算獲得其動力學(xué)響應(yīng)，受碰撞沖擊后空間機械臂系統(tǒng)運動狀態(tài)產(chǎn)生的突變可據(jù)式(16)計算。關(guān)閉控制器時空間機械臂漂浮基姿態(tài)角θ0、兩關(guān)節(jié)角θ1，θ2響應(yīng)仿真見圖3；柔性桿前兩階模態(tài)坐標δ1，δ2響應(yīng)仿真見圖4。由兩圖仿真結(jié)果表明載荷對空間機械臂沖擊影響效應(yīng)較大，造成空間機械臂系統(tǒng)無規(guī)律運動及柔性桿持續(xù)彈性振動，會影響空間機械臂系統(tǒng)穩(wěn)定，甚至造成結(jié)構(gòu)損壞。

圖3 控制器關(guān)閉時漂浮基姿態(tài)及機械臂兩關(guān)節(jié)角響應(yīng)

圖4 控制器關(guān)閉時模態(tài)坐標響應(yīng)

4.2 開啟自適應(yīng)控制器時動力學(xué)響應(yīng)仿真

開啟自適應(yīng)控制器時空間機械臂漂浮基姿態(tài)角θ0、兩關(guān)節(jié)角θ1，θ2響應(yīng)仿真見圖5。由圖5看出，θ0，θ1，θ2角度一直存在小幅波動，此因柔性桿持續(xù)彈性振動所致。柔性桿前兩階模態(tài)坐標δ1，δ2響應(yīng)仿真見圖6。由圖6看出，只開啟自適應(yīng)控制器并不能有效抑制柔性桿彈性振動。

4.3 開啟自適應(yīng)及線性二次最優(yōu)復(fù)合控制器時動力學(xué)響應(yīng)仿真

為驗證線性二次最優(yōu)控制算法對柔性桿彈性振動抑制效果，開啟自適應(yīng)與線性二次最優(yōu)復(fù)合控制器，對捕獲載荷后空間機械臂與載荷組合體系統(tǒng)進行控制。取線性二次最優(yōu)復(fù)合控制器參數(shù)為Q=diag(20,20,20,20)，R=diag(1,1,1)。

開啟復(fù)合控制器時空間機械臂漂浮基姿態(tài)角θ0、兩關(guān)節(jié)角θ1，θ2響應(yīng)仿真見圖7；柔性桿前兩階模態(tài)坐標δ1，δ2響應(yīng)仿真見圖8。兩圖仿真表明，柔性桿彈性振動已得到有效抑制及θ0，θ1，θ2角度小幅波動得以消除。

圖5 自適應(yīng)控制器開啟時漂浮基姿態(tài)及機械臂兩關(guān)節(jié)角響應(yīng)

圖6 自適應(yīng)控制器開啟時模態(tài)坐標響應(yīng)

圖7 自適應(yīng)與線性二次最優(yōu)復(fù)合控制器開啟時漂浮基姿態(tài)及機械臂兩關(guān)節(jié)角響應(yīng)

圖8 自適應(yīng)與線性二次最優(yōu)復(fù)合控制器開啟時模態(tài)坐標響應(yīng)

5 結(jié) 論

(1) 本文通過理論推導(dǎo)及數(shù)值仿真，對受捕獲載荷沖擊后漂浮基柔性空間機械臂動力學(xué)響應(yīng)進行評估認為，該沖擊影響效應(yīng)會造成空間機械臂與載荷組合體系統(tǒng)不穩(wěn)定，甚至結(jié)構(gòu)損壞。

(2) 考慮沖擊影響效應(yīng)及載荷參數(shù)未知情況，設(shè)計自適應(yīng)控制算法對捕獲載荷后不穩(wěn)定運動空間機械臂與載荷組合體系統(tǒng)進行鎮(zhèn)定控制。該控制算法無需控制漂浮基位置，可節(jié)省漂浮基位置控制推進器燃料消耗。

(3) 設(shè)計線性二次最優(yōu)控制算法對柔性桿彈性振動進行主動抑制，并用自適應(yīng)與線性二次最優(yōu)復(fù)合控制算法對組合體系統(tǒng)進行控制。通過三種不同的數(shù)值仿真對比分析，控制算法的有效性得以驗證。

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