衛(wèi)洪濤，孔憲仁，王本利，張相盟

(1.鄭州大學 力學與工程科學學院，鄭州 450001;2.哈爾濱工業(yè)大學 衛(wèi)星技術研究所，哈爾濱 150086)

連續(xù)體的非線性振動在航天器結構中是廣泛存在的現象，如采用銷接連接以及套筒連接的桁架結構[1-2]、帶有展開機構的天線、太陽帆板，以及火箭發(fā)射時載荷的特定模態(tài)[3]，可以簡化為帶有非線性邊界條件的連續(xù)體振動系統，其邊界條件如遲滯效應[4]，連接結構中的摩擦力[5]、間隙[6]等是較常見的非線性特性，研究人員認為，航天器的連接結構非線性對整體結構振動響應的影響是顯著的[7]，典型的如航天器結構地面振動實驗中的基頻漂移現象[3]，對發(fā)射安全具有潛在的危害，對航天器結構非線性振動的研究一直以來都得到了航天領域工程師們的重點關注。

前人對于螺栓連接結構的研究包括實驗研究[8-10]及建模研究[11-14]，螺栓連接結構的靜力實驗結果表現出典型的遲滯非線性特性[9]，對其力學特性進行建模的模型包括Iwan模型[11]，Masing模型[12]，Praiseich模型[14]等，有研究證明其本質是一樣的，可以統一用Iwan模型來表示[12]。近年來，螺栓連接對連續(xù)體的振動影響多集中在實驗研究上，針對不同的對象，如兩段用螺栓連接的梁[9],帶螺栓連接的框架等[8]，研究人員得到了連接的力學特性以及其對簡單結構的動力學響應影響，但是從文獻報導看，螺栓連接對結構振動的影響并沒有得到徹底的理論研究。

帶有螺栓連接的結構振動，可以看作帶有時變非線性邊界條件的連續(xù)體振動問題，此類問題包括邊界帶間隙連接結構的結構振動問題，前人在解決邊界帶間隙的連接結構系統上，采取基于振型轉換思想的數值方法，如Moon等[15]采取單振型近似，利用梁上特殊點將系統方程連續(xù)化，揭示了系統在特定參數下的混沌振動；Shaw[16]利用單振型研究了單側阻擋彈簧的懸臂梁的非線性動力學問題，認為單振型近似足夠用于進行定性研究，得到了與實驗結果近似的結論；Chuang[17]研究了一端夾支，一端具有帶間隙的單彈簧阻擋的梁的非線性振動，總結并評價了前人研究類似問題的兩種方法，即力積分法和振型轉換法，并分別用這兩種方法對帶單阻擋的懸臂梁算例進行了數值研究，討論了阻擋彈簧的剛度對梁幅頻響應的影響，認為振型轉換法比力積分法有更廣的適用范圍。基于振型轉換的思想，Ervin[18-19]研究了一個兩端夾支中間帶剛體的梁的撞擊問題，得到了如分岔、亞諧波共振、超諧波共振、混沌等非線性動力學現象；Shih等[20]取微坐標測量器為背景，考慮了振型耦合的影響；另外一些基于振型轉換的連續(xù)體撞振問題研究見文獻[21-22]，對于邊界條件是Iwan模型建模的遲滯非線性系統，文獻[17]中的步驟已不適用，新的普適的方法有待建立。

基于振型疊加及傳遞的思想，結合Iwan模型，本文利用前面工作中提出的一種可以求解分段線性邊界條件連續(xù)體振動問題的新方法——相對振型轉換法[23]來求解帶有螺栓非線性邊界條件連續(xù)體振動問題。這是首次基于振型轉換的思想嘗試求解此類振動問題，研究了其代表的一類非線性系統受迫振動時的響應。

1 研究方法描述

1.1 基于時間驅動的Iwan模型

(1)

(2)

式中φ(f*)取決于實驗數據，可有不同的形式[24]，下文的研究中采用經典的均布函數，引入參數 Δf為分布寬度，β=Δf/(2fy)，有屈服力分布函數表達式：

H[f*-fy(1+β)]}

(3)

其中H( )為Heaviside函數。

圖1 Iwan模型結構圖

為了簡化建模仿真，重新構造Jenkin’s單元的力-位移關系式，得到基于時間驅動的Iwan模型，與經典的基于位移的表達式相比，該表達式在加載階段及飽和輸出階段具有統一的形式。有：

fJ=

(4)

其中a(tn)為tn時刻Jenkin’s單元的輸入位移。

1.2 一端固支一端螺栓連接梁相對振型轉換法

圖2 端點帶螺栓連接梁結構示意圖

對于一端固支一端帶螺栓連接結構的對象如圖2所示，利用Iwan模型對其右端的連接結構進行建模，由1.1節(jié)知，在梁的一個振動周期內，每當有Jenkin’s單元屈服時，Iwan模型的剛度會減小，其邊界剛度會經歷減小-增大-減小的循環(huán)過程，具體力-位移關系見圖3，因此該系統的振動本質上可看作為分段線性邊界條件問題，可用相對振型轉換法對其進行處理。

梁的振動方程可以表達為：

(5)

式中,δ(x-L)為狄拉克函數，F(x,t)=f(x)cos(ωt)為激勵力，V(t)為螺栓連接對梁的橫向反力，令梁從靜止開始受激勵力作用，采用包含N個Jenkin’s單元的Iwan模型對螺栓連接進行建模，假設t1時刻第一個Jenkin’s單元屈服，t1時刻前系統為線性振動，梁上任一點的橫向位移可以表達為w(x,t)=w1(x,t)，t2時刻Iwan模型的第二個Jenkin’s單元屈服，t1～t2時刻系統同樣處于線性振動狀態(tài)，t1時刻發(fā)生一次振型轉換，系統由剛度為k的振型轉換為剛度為k(N-1)/N振型，令梁的振型為邊界條件轉換前的振型疊加上轉換后的振型，則梁上任一點的橫向位移為：w(x,t)=w1(x,t1)+w2(x,t)，以此類推，假設某ti時刻，系統經歷第M(M

(6)

取前S階振型來近似：

(7)

式中φin(x)，φrn(x)為對應邊界條件梁振型，ain(t)，arn(tr)為振型振幅，有邊界螺栓連接的反力V(t)=-Kw(L,t)，將式(6)代入到梁的振動方程(5)中，利用Galerkin方法進行處理，可以得到任意t時刻系統的振動方程：

j=1…S

(8)

式中tr為邊界條件發(fā)生改變的時刻點。

Fj=

(9)

(10)

有：

(11)

2 數值求解及討論

考慮算例參數如表1。

表1 系統參數表

2.1 算例梁受迫振動響應及討論

如前文所述，參數辨識不是本文的研究目的，所以在利用Iwan模型對螺栓連接建模時，取Jenkin’s單元個數N=2,5,20，其余參數如表1，則Iwan模型的力-位移曲線圖如圖3所示。

圖3 典型參數Iwan模型力-位移圖

從圖3知，取5個Jenkin’s單元近似時與20個單元近似時曲線已經基本重合，因此對于單純的遲滯非線性，考慮計算效率因素，取5個Jenkin’s單元進行近似，Jenkin’s單元個數對振動響應的影響，下文還將繼續(xù)討論。對上述表中參數的算例，其初始小位移時的振型以及5個Jenkin’s單元全部屈服后的振型[26]如圖4所示。

圖4 梁振型

振型表達式為：

φn(x)=Ansin(knx)+Bncos(knx)+

Cnsinh(knx)+Dncosh(knx)

(12)

圖4中x，y軸分別為無量綱后的參數x/L，φn/Bn，可知當連接結構彈簧剛度減小時，端點有遠離x軸的趨勢。

顯然，激勵力足夠大時，系統在一個振動周期內，會隨著Iwan模型的加載與卸載而在各不同線性振型之間轉換，轉換條件為：

(13)

或

(14)

式(13)中Δi為Jenkin’s單元屈服位移點，條件(13)對應如圖3(b)中滑移點，條件(14)為速度反向點，如圖3a中a,b點。用5階振型對各狀態(tài)進行近似，Iwan模型中Jenkin’s單元的個數為5，采用四階Runge-Kutta法求解該算例的位移響應，仿真步長1×10-5，取10s時間歷程，典型參數(激勵力幅值、頻率)設定下端點的1周期及2周期運動時程圖、相圖及振型匹配的過程圖如圖5所示。

圖5 單周期運動梁端點狀態(tài)切換時的振型映射

2.2 振型耦合、Jenkin’s單元個數對響應的影響

首先研究振型截斷及Iwan模型參數設置對系統響應的影響，通過式(6)，(7)，系統離散為在不同狀態(tài)下的S階振動方程，改變振型的數目S，得到梁端點響應的分岔圖與S之間的關系如圖6，可以考察振型之間的耦合作用對系統響應的影響，以便確定合適的振型離散數目N，在計算精度與效率之間求得平衡，這里取Iwan模型的Jenkin’s單元個數不變?yōu)?。

圖6 特定參數,不同的振型離散數目N,梁端點響應幅頻響應圖及時程圖，k=4.7E3

圖7 特定參數,不同的Jenkin’s單元個數,梁端點響應幅頻響應圖及時程圖

圖6中x軸變量的表達式為ω*=ω/ω1，ω為激勵力頻率，ω1為系統第1階模態(tài)的基頻，y軸變量w*的表達式為w*=w/s1，w為端點位移，s1為Jenkin’s單元的最小屈服位移，不同的Jenkin’s單元屈服位移是s1的整數倍。從圖中可知，1振型近似與5振型近似時端點響應幾乎相同，在該掃頻區(qū)間僅在端點處有較小的振幅差別，且整個掃頻區(qū)間內系統呈現出簡單的單周期運動，隨著振型數目S的增加，響應沒有變復雜的趨勢；特定參數時程圖對比，兩種振型截斷個數設定下，系統響應僅有較小的幅值差別。

取振型個數S=5，改變Iwan模型中Jenkin’s單元的個數，研究其對端點響應的影響。由圖3知不同的Jenkin’s單元個數影響Iwan模型的力-位移圖的“光滑度”，在求系統的響應時，Jenkin’s單元個數增加會令系統在一個振動周期內模態(tài)傳遞的次數增加。圖7中，橫坐標單位表達式與圖6中相同，而縱坐標表達式為w*=w/s，s在改變Jenkin’s單元個數時保持不變，為Iwan模型整體屈服時的位移。求系統響應時，微調激勵力大小令共振峰幅值一致，從圖7中可知，隨著Jenkin’s單元個數的增加，響應的共振峰向高頻移動，這是由于增加Jenkin’s單元的個數能間接減少系統剛度的損失(采用1個Jenkin’s單元時系統剛度無損失，為雙線性系統)，這一點由圖3也可以看出，隨著Jenkin’s單元個數增加，系統剛度也漸漸趨向于雙線性系統。

圖8 阻尼及激勵力對端點響應的影響，k=4.7E3

2.3 阻尼、激勵力幅值及端點螺栓連接剛度對響應的影響

阻尼與預緊力是影響時變非線性邊界條件連續(xù)體系統振動響應的重要因素[18]，如下圖8a為增大阻尼對端點響應分岔圖的影響，下文圖中坐標ω*與w*表達式與圖6(a)中相同，從圖8(a)中可知：

模態(tài)阻尼比增大后，共振峰降低，隨著阻尼的持續(xù)增大，共振峰會有向低頻漂移的趨勢；在遠離共振峰的掃頻區(qū)間(ω*<0.7和ω*>1.3)，阻尼對系統響應幅值的影響較?。慌c阻尼相同，激勵力大小引起的整體結構的非線性響應同樣是航天工程中非常敏感的問題[3,7]，改變激勵力幅值大小，可得特定參數下激勵力幅值對系統響應的影響如圖8(b)，可以看出激勵力對比阻尼，全頻域內對響應幅值都有明顯的影響，在該系統參數設定下，隨著激勵的增大，系統共振峰微弱地由高頻向低頻漂移，這是由于遲滯非線性的存在導致系統剛度在大振幅振動時損失較大引起。

圖9 阻擋彈簧剛度對端點響應的影響

端點彈簧剛度也是影響系統振動響應的重要因素之一[18]，圖9為改變Iwan模型剛度及系統共振峰幅值，固定其他參數得到的端點響應圖。由圖9知，不同的剛度設定下，隨著共振峰幅值增大，系統共振峰有不同程度的向低頻漂移的現象；剛度較大時，漂移程度較小，系統更加趨向于線性，共振峰幅值較大時(ω*=4.2)，這一現象尤為明顯。

3 結 論

本文利用一種解決分段線性邊界條件連續(xù)體受迫振動的新方法——相對振型轉換法研究了一端固支一端帶有螺栓連接梁的振動響應，該法基于模態(tài)傳遞的思想，通過將每次狀態(tài)轉換后新狀態(tài)各模態(tài)位移重置為0，前一狀態(tài)各模態(tài)坐標處理后作為新振動方程中的參數，該方法對于一類可轉變?yōu)榉侄尉€性邊界條件的連續(xù)體系統均可以進行求解，具有廣泛適用性。這是首次嘗試用模態(tài)傳遞的思想來研究遲滯非線性邊界條件連續(xù)體振動問題，說明振型轉換思想不僅可以用來求解連續(xù)體的撞振問題，還可以應用到其他具有復雜非線性邊界條件(如遲滯等)的連續(xù)體動力學響應研究中，擴展了振型轉換法的適用范圍。從算例結果來看，新方法具有良好的收斂性，計算精度高，計算高效，對結果進行實驗驗證是下一步的工作。

在本文算例的設定下，1階與5階振型近似在反映系統的動力學特性時差別不大，邊界條件的“光滑度”對動力學響應的非線性特性具有一定的影響，力——位移圖越光滑，系統動力學響應中的非線性特性也越趨向于減弱。在進行參數研究時，采用5階振型近似，5個Jenkin’s單元對Iwan模型建模，利用端點響應的分岔圖進行研究，在特定的掃頻區(qū)間，系統表現出單周期運動，以及弱頻率漂移非線性特性，即系統的共振峰隨著激勵力的增大向低頻漂移，得到了阻尼、激勵力幅值及端點阻擋彈簧的剛度對該類振動問題的影響，可知大阻尼對系統的非線性響應有較強的抑制作用；隨著激勵力的增大，系統非線性響應——頻率漂移程度逐漸增大；端點彈簧的剛度影響系統頻率漂移的程度，相同振幅條件下，剛度越大頻漂越小，這是由于剛度較大時，即使大振幅振動時邊界剛度有一定的損失，余下的剛度仍然可令系統振型接近于兩端固支梁。

端點帶螺栓連接梁所代表的一類系統其非線性振動問題具有實際工程背景，尤其是在研究航天器“頻率漂移”機理時，研究人員關注連接結構非線性對整體結構“頻率漂移”的影響。從上面設定的系統得到的研究結果看，遲滯非線性邊界條件能夠造成連續(xù)體產生“頻漂”現象，但是其程度受端點限制(螺栓)剛度的影響較大。本文得到的結論對探討航天器“頻率漂移”現象的成因具有重要的參考價值。

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