周世軍，劉德貴

(重慶大學 土木工程學院，重慶 400045)

工程結構一般總是先承受一定先期初始荷載，然后承受后期荷載或產生動力撓度。比如：大部分的建筑結構都是先承受結構的自重和恒載作用，再承受后期的各種荷載(樓面活載、風載、雪載等)作用或產生動力撓度。在先期的初始荷載作用下，結構都會發(fā)生相應的變形，產生初始應力。而當結構受到后期荷載作用或產生動力撓度時，將從初始荷載作用產生的形變參考狀態(tài)開始發(fā)生變形，此時，初始的應力狀態(tài)將與后期荷載或動力撓度產生的應力狀態(tài)耦合，從而使結構的剛度發(fā)生變化，影響結構后期受荷的靜、動受力特性。而當前進行結構分析和設計時，很少考慮初始荷載對后期荷載受力性能和動力特性產生的影響，如能清楚認識初始荷載對結構后期受荷和動力特性的影響，就能更為準確的分析后期荷載對結構產生的實際效果和動力特性。

這方面一些學者做了有益的探索和研究，Shi等[1]曾進行了航天結構中大跨徑梁在自重荷載作用下產生的靜變形對梁振動影響研究，說明了忽略自重效應的動力分析之不足。Takabatake[2-3]也提出了初始恒載效應的概念,導出了梁考慮初始恒載效應的靜、動力控制微分方程，并對梁的初始恒載效應進行了研究。在Takabatake的研究工作基礎上，周世軍等[4-6]提出了考慮初始恒載效應的有限梁單元；后來，周世軍等[7-9]又討論初始恒載效應對拱形梁的動、靜受力特性的影響。對于薄板結構，Timoshenko等[10]早期就注意到了初始曲率對板的靜力撓度影響。Yamaki等[11-12]也從理論和實驗的角度證實了初始靜載變形對板的動力特性是有影響的。周又和等[13]采用伽遼金法獲得了集中力作用下圓形板固有頻率-荷載關系曲線。王晉瑩等[14]推導了初撓度柔韌圓板的振動方程，運用Galerkin法和Lindstedt-Poincare 攝動法求出非線性周期解，討論了初撓度對振動基頻的影響。杜國君等[15]基于初始撓度的圓板非線性振動方程，運用Galerkin法得出了時間域的非線性振動方程，討論了初撓度對振動形態(tài)的影響。Takabatake[16]亦導出了板考慮恒載效應的動力控制微分方程，并進行了初始恒載對簡支板的自振頻率影響分析。周世軍[17-18]在此基礎上，提出了可供有限元分析的矩形板單元。但該單元在分析任意形狀板的初始荷載效應方面，還存在不能適應非正交曲線邊界的缺陷。

因此，本文基于Takabatake和作者前期工作，運用等參變換方法導出了適合任意形狀板考慮初始荷載效應的動力有限元分析方法，將改善矩形板單元無法適應非正交曲線邊界條件這一缺陷。同時，為驗證提出的等參有限元方法的正確性，基于考慮初始荷載效應的動力控制微分方程，利用坐標轉換導出了極坐標形式的可用于求解圓形板考慮初始荷載效應的自由振動基頻的動力平衡控制微分方程。以這兩組動力控制微分方程和板考慮初始荷載效應的應變能表達為基礎，分別運用伽遼金法、瑞利法求解了幾種典型形狀板考慮初始荷載效應的基頻解和簡支正方形板考慮初始荷載效應的前三階頻率近似解。對比驗證分析表明，本文所提出的板考慮初始荷載效應的動力有限元分析方法及頻率近似解正確、有效。并進一步分析了恒載大小、厚度等因素對板自振頻率影響，分析表明：初始荷載的存在提高了板的自振頻率，并主要受荷載大小，板的跨厚比與邊界約束強弱的影響。計算分析中應重視初始荷載效應對板的結構行為產生的影響，以做到精確分析和合理結構設計。

1 動力平衡控制微分方程

1.1 一般形式動力平衡控制微分方程

(1)

式中：E為彈性模量，v為泊松比，h為板的厚度，D為板的彎曲剛度，q為后期外加荷載。

1.2 極坐標形式動力平衡控制微分方程

假定圓形板的邊界條件和所受到的荷載為軸對稱，運用坐標轉換，可得到用于求解圓形板考慮初始荷載效應的基頻的極坐標形式動力平衡控制微分方程，其表達式如下：

(2)

2 有限元公式

2.1 基本公式

在上述微分方程的基礎上，引入以插值形函數表達的位移模式，可以得到板考慮初始荷載效應的動力有限元方程[17]：

(3)

(4)

(5)

2.2 等參變換

式(3)～式(5)為考慮初始荷載影響的矩形板單元有限元計算公式，用于正交邊界薄板的相關計算分析，收斂情況較好，即使較粗的網格劃分也能得到很精確的結果。但是對于非正交曲線邊界薄板的計算分析時，矩形板單元無法吻合幾何邊界，不是理想的選擇。要將上述考慮初始荷載效應的板單元引入到非正交曲線邊界板的計算分析中，并具有相當的計算效率和精度，有效的方法是等參元法。為此，下文主要進行相應坐標變換以及剛度、質量矩陣的等參變換。

四結點任意形狀板可通過線性變換得到參數(ξ,η)正方形[19]：

圖1 坐標變換

(6a)

(6b)

式中：Ni(ξ,η)=(1+ξiξ)(1+ηiη);ξi,ηi為結點i的局部坐標；(ξ1,η1)=(-1,-1),(ξ2,η2)=(1,-1),(ξ3,η3)=(-1,1),(ξ4,η4)=(1,1)。

位移采用插值形函數的位移表達：

(7)

式中：wi，θxi，θyi為結點位移未知量,Ni，Nxi，Nyi為形函數[20]，表達如下：

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

式中：m1=1-δ,m2=1+δ,n1=1-η,n2=1+η;xij=xi-xj,yij=yi-yj。

選擇上述插值函數位移表達，主要原因在于位移形函數具有如下特點：

(2)兩相鄰單元的公共邊ij的w是ξ或η的三次式，保證了兩相鄰單元具有完全相同的三次曲線，從而保證兩相鄰單元之間的撓度和轉角連續(xù)性。

(3)當任意四邊形為矩形時，任意四邊形單元形函數蛻變?yōu)榫匦伟鍐卧男魏瘮怠?/p>

(4)經展開計算，位移模式反應了薄板單元的剛體位移及常量應變。

對于彈性剛度矩陣[Ke],主要是實現應變矩陣的Bi等參變換[20]，變化關系如下：

(9)

式中：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中,|J|為雅可比行列式。

對于質量矩陣[M]，轉換如下：

[M]=ρh?[N]T[N]|J|dξdη

(15)

通過上述系列轉換，就實現了能適用于任意形狀板考慮初始荷載效應的等參動力有限元計算方法。假定板做簡諧自由振動，可以得到相應自由振動方程：

(16)

3 頻率近似解

3.1 近似解法

上述考慮初始荷載效應的動力有限元計算方法的正確性，需要通過頻率解析解或近似解進行驗證。而即使薄板不考慮初始荷載效應的影響，是彈性薄板的自由振動，也只有簡支矩形板的頻率可以直接通過解析法獲得外，其它邊界或形狀板的自由振動頻率解，要通過經典解法求解，在數學上是復雜的，甚至無法求得其解[21-22]。而部分形狀規(guī)則板的自由振動問題可以通過伽遼金法、瑞利和里茲法等方法解得基頻近似解和高階頻率近似解[22-23]，這些方法都是從能量原理出發(fā)形成的精確有效的近似方法，在板的彈性靜、動力問題中得到廣泛應用[21-23]。因此，下文將運用伽遼金法求解幾種典型板的考慮初始荷載效應的基頻解，而應用瑞利法求解簡支正方形板的前三階頻率近似解，用于驗證本文所提出有限元方法的正確性。

伽遼金法求解過程如下：

(2)假定板考慮初始荷載效應的振型函數，振型函數須滿足邊界條件。即設定w(x,y,t)=w(x,y)(Acosωt+Bcosωt)中本征函數w(x,y)。

(3)將已知初始荷載位移表達式及振型函數代自由振動控制微分方程，即式(1)、(2)中后期外加荷載q為零，建立伽遼金方程組。

(4)求解伽遼金方程組，得到板考慮初始荷載效應的基頻近似解。

瑞利法是根據能量守恒定理，認為最大動能等于最大勢能，并選擇合適的振型形狀函數，進行求解的方法，其求解方程可表示為:

(17)

求解過程中同樣要如伽遼金法一樣，首先確定已知初始荷載位移表達，再確定合適振型函數，然后代入方程(17)進行求解。

下面根據上述方法求解幾種典型板考慮初始荷載效應的基頻近似解和簡支矩形板考慮初始荷載效應的前三階頻率近似解。

3.2 典型板基頻近似解

(1)固支正方形板

固定支承正方形板承受初始均布荷載，荷載位移取較為精確近似解[24]：

a2)(x2+y2)]

(18)

w=C(a2-x2)2(a2-y2)2

(19)

將初始荷載位移表達與振型函數代入伽遼金方程中，通過求解得到固支正方形板考慮初始荷載效應的自由振動基頻解，結果如下：

ω11=

(20)

(2)等邊三角形板

假定簡支等邊三角形板承受初始均布荷載，初始荷載位移取精確解[10]：

(21)

式中：a為等邊三角形的高。而對考慮初始荷載效應的基頻振型函數取滿足邊界條件的函數：

(22)

類似上述求解過程，建立伽遼金方程組并進行求解，得到簡支等邊三角形板考慮初始荷載效應的自由振動基頻解，結果如下：

(23)

(3)固支橢圓形板

固支橢圓板承受初始均布荷載，初始荷載位移取精確解[10]：

(24)

考慮初始荷載效應的基頻振型函數擬采用以下滿足邊界條件的函數表達：

(25)

運用微分方程(8)式和振型函數決定的伽遼金方程組進行求解，得到基頻解為：

(26)

(4)固支圓形板

固支圓形板承受初始均布荷載，初始荷載位移取精確解[10]：

(27)

式中：a為圓形板半徑。考慮初始荷載效應的基頻振型采用以下滿足邊界條件的函數表達：

w=C(a2-r2)2

(28)

此時，將初始荷載位移表達和振型函數代入式(2)變換得到的自由振動微分方程，建立伽遼金方程進行求解，得到基頻近似解：

(29)

(5)簡支圓形板

簡支圓形板承受初始均布荷載，初始荷載位移取精確解[10]：

(30)

式中：a為圓形板半徑。考慮初始荷載效應的基頻振型采用以下滿足邊界條件的函數表達：

(31)

同樣，按照固支圓形板基頻近似解求解過程，得到基頻解為：

(32)

3.3 簡支正方形板的前三階頻率近似解

上文運用伽遼金法對五種典型板考慮初始荷載效應的自由振動基頻解進行了求解，獲得了簡單、明了和物理意義明確的基頻解公式，可以直接用于求解上述五種板考慮初始荷載效應的基頻和驗證有限元等其他方法的正確性，為進一步的驗證本文提出的有限元的正確性，下面將應用瑞利法求解簡支正方形板考慮初始荷載效應的前三階頻率近似解。

(1)初始荷載位移

假定四邊簡支正方形承受初始均布荷載。荷載位移采用重三角級數解[10]，由如下公式給出：

(33)

式中：a為正方形板邊長；在此僅取級數的前四項，即：m=1,n=1,3;m=3,n=1,3,可保證初始荷載位移有足夠的精度。

(2)基頻解

假定四邊簡支正方形板的自由振動基頻(第一階頻率)對應的振型函數為：

(34)

將(33)、(34)式代入文獻[16],考慮初始荷載影響的應變能表達，可得到最大勢能2Umax的表達；再運用式(17)可得到基頻近似解：

w11=

(35)

(3)第二階頻率解

取四邊簡支正方形板自由振動第二階頻率對應的振型函數為：

(36)

同樣將(33)與(36)式代入考慮初始荷載效應的應變能表達，運用式(17)可得到第二階頻率：

(37)

(4)第三階頻率解

同樣，取第三階頻率振型函數為：

(38)

同樣按上述步驟可得到相應頻率：

(39)

4 驗 證

圖2 有限元模型簡圖

表1 基頻計算結果對比

為進一步驗證本文所提出有限元法的正確性，對簡支正方形板考慮初始荷載效應的自由振動前三階頻率有限元計算結果同瑞利近似解進行比較，計算結果對比如表2所示。

圖3 簡支正方形板有限元模型簡圖

表2 簡支正方形板前三階頻率計算結果對比

從表1的計算結果對比來看，考慮初始荷載效應的等參動力有限元法和伽遼金基頻近似解結果吻合良好，同時表2中簡支矩形板前三階頻率的有限元計算結果同瑞利近似解的計算結果誤差也非常小。表明本文提出的任意形狀板考慮初始荷載效應的動力有限元法、基頻伽遼金近似解及簡支矩形板的前三階頻率瑞利近似解，都是合理正確的，并具有足夠的精確度，都可以運用到相關的動力計算分析中。同時考慮初始荷載效應的動力有限元法不需要太多的單元數量就可以達到相當的精度，方法可靠，可以用于分析任意形狀板考慮初始荷載效應的動力特性分析。

5 分析

關系曲線關系曲線關系曲線

關系曲線關系曲線關系曲線

關系曲線關系曲線關系曲線

(a) 0關系曲線關系曲線關系曲線關系曲線

關系曲線關系曲線關系曲線

關系曲線關系曲線關系曲線

6 結 論

基于板考慮初始荷載效應的動力微分方程，運用等參變換方法，提出了可用于分析任意形狀板考慮初始荷載效應的動力有限元法。同時，分別運用伽遼金法和瑞利法求解得到了五種典型板考慮初始荷載效應的基頻解和簡支矩形板考慮初始荷載效應的前三階頻率近似解，與提出的有限元法進行了相互驗證，并進行了相關計算分析，獲得如下有益結論。

(1)提出的板考慮初始荷載效應的等參動力有限元法，改善了矩形板單元不能適應任意形狀板幾何邊界的缺陷，并具有相當的計算效率和精度，可用于分析非正交曲線邊界的任意形狀板考慮初始荷載效應的動力特性分析，完善了板考慮初始荷載效應的有限元分析方法。

(2)五種典型板考慮初始荷載效應的基頻近似解和簡支矩形板考慮初始荷載效應的前三階頻率近似解，各位移表達式簡單明了，物理意義明確，清楚地說明了初始荷載等因素對板的自振頻率的產生的影響；可直接方便運用于相關的動力特性計算分析。

(3)板的自振頻率將受到初始荷載大小，板的尺寸、厚度和邊界條件的影響。初始荷載將提高板的自振頻率，對基頻提高尤為明顯；初始荷載越大，這種效應越明顯。板的厚度越小，跨度越大(或跨厚比越大)，邊界約束越弱，初始荷載對板的自振頻率的提高越明顯。

(4)初始荷載效應對板的動力特性產生了不可忽略的影響，在厚度較薄或彎曲剛度較小的板中表現尤為明顯，在計算分析與結構設計中，應充分細致考慮實際存在的這一荷載效應，以做到精確分析與合理設計。

[1] Shih C F,Chen J C,Garba J.Vibration of large space beam under gravity effect[J].ATAA J.，1986(24):1213-1216

[2] Takabatake H.Effects of dead loads in static beams[J].Journal of Structural Engineering，ASCE,1990,116(4): 1102-1120.

[3] Takabatake H.Effects of dead loads on natural frequencies of beams[J].Journal of Structural Engineering,ASCE,1991,117(4):1039-1052.

[4] 周世軍,朱唏.恒載對梁自振頻率影響的分析[J].鐵道學報1995，17 ( 4) : 98-103.

ZHOU Shi-jun，ZHU Xi.Analysis of effect of dead loads on natural frequencies of beams[J].Journal of China Railway Society,1995，17(4):98-103.

[5] 朱唏,周世軍.分析恒載效應的有限元方法[J].工程力學，1996，13( 3) : 54-60.

ZHU Xi ,ZHOU Shi-jun.A finite element method for analyzing effect of dead loads[J].Engineering Mechanics，1996，13(3):54-60.

[6] Zhou Shi-jun，Zhu Xi.Analysis of effect of dead loads on natural frequency of beams using finite element techniques[J].Journal of Structural Engineering，ASCE，1996,122(5)：512-516.

[7] 張家瑋,周世軍.恒載效應對拱形梁自振頻率的影響分析[J].振動與沖擊，2009,28(8): 163-167.

ZHANG Jia-wei，ZHOU Shi-jun.Analysis on effect of dead loads on natural frequencies of arch beans[J].Journal of Vibration and Shock，2009,28(8): 163-167.

[8] 張家瑋,周世軍,趙建昌.考慮恒載效應的拱形梁靜力近似解[J].計算力學學報,2010,27(4):655-660.

ZHANG Jia-wei，ZHOU Shi-jun ,ZHAO Jian-chang.Approximate solutions of static arch beams considering static loads effect [J].Chinese Journal of Computational Mechanics,2010,27(4):655-660.

[9] 周世軍，張家瑋.恒載效應對拱形梁的影響分析[J].工程力學,2010,27(7):120-125.

ZHOU Shi-jun，ZHANG Jia-wei.Analysis of the effect of dead loads on static arch beams[J].Engineering Mechanics，2010,27(7):120-125.

[10] Timoshenko S，Woinowsky-Krieger S.Theory of Plates and Shells,(second edition),MeGraw-Hill BookCompany[M].Inc 1959.

[11] Yamaki N，Otomo K，Chiba M.Nonlinear vibrations of a clamped circular plate with initial deflection and initial edge displacement (Part I)-Theroy[J].J Sound Vibration，1981,79(1):23-43.

[12] Yamaki N，Otomo K，Chiba M.Nonlinear vibrations of a clamped circular plate with initial deflection and initial edge displacement (Part II)-Experiment[J].J Sound Vibration，1981,79(1):23-43.

[13] 周又和.中心荷載作用下圓薄板的固有頻率-荷載關系曲線[J].應用力學學報，1992，9(1)：119-123.

ZHOU You-he.Natural frequency-load characteristic relation of circular plate under a central concentrated loads[J].Chinese Journal of Applied Mechanics,1992,9(1):119-123.

[14] 王晉瑩，陳科進.具有初始撓度的柔韌圓板的振動問題[J].應用數學和力學，1993,14(2):165-171.

WANG Jin-ying,CHEN Ke-jin.Vibration problems of flexible circular plates with initial deflection[J].Applied Mathematics and Mechanics，1993,14(2):165-171.

[15] 杜國君，張秀禮，胡宇達.具有初撓度夾層圓形板非線性振動與解的穩(wěn)定性[J].振動與沖擊，2007,26(11):156-159.

DU Guo-jun,ZHANG Xiu-li,HU Yu-da.Nonliner vibration and solution stability of circular sandwich plate with initial deflection[J].Journal of Vibration and Shock,2007,26(11): 156-159.

[16] Takabatake H.Effects of dead loads in dynamic plate[J].Journal of Structural Engineering ,ASCE，1992,118(1):34-51.

[17] Zhou S J.Load-induced stiffness matrix of plates[J].Canadian Journal of Civil Engineering，2002，29(1):181-184.

[18] 周世軍.板恒載效應的非線性分析的剛度法[J].振動與沖擊，2007,26(2)：33-36.

ZHOU Shi-jun.Stiffness method for nonlinear analysis of effect of dead loads on plate [J].Journal of Vibration and Shock，2007,26(2): 33-36.

[19] Zienkiewicz O C.The finite element method[M].Third Ed，McGrwa-Hill Press,1985.

[20] 羅崧法，潘光明，潘慧.非正交邊界薄板彎曲問題的一種新單元[J].計算結構力學與應用，1989,6(1)：147-158.

LUO Song-fa,PANG Guang-ming,PANG Hui.A new finite element for buckling problem of thin plate in un-orthography boundary condition[J].Computing Structural Mechanics and Application，1989,6(1)：147-158.

[21] R.Szileard.板的理論與分析[M].陳太平，戈鶴翔，周孝賢,譯.北京：中國鐵道出版社,1984.

[22] 曹國雄.彈性矩形薄板振動[M].北京:中國建筑工業(yè)出版社，1983.

[23] 曹志遠.板殼振動理論[M].北京:中國鐵道出版社，1983.

[24] 老大中．變分法基礎[M]．北京:國防工業(yè)出版社，2007.