，，

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機器人技術(shù)與系統(tǒng)國家重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

基于滾輪導(dǎo)軌接觸模型的高速重載運動機構(gòu)振動與疲勞分析

王銳，劉延杰，楊立冬

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機器人技術(shù)與系統(tǒng)國家重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

通過赫茲接觸理論對滾輪導(dǎo)軌系統(tǒng)建立接觸力學(xué)模型，推導(dǎo)接觸剛度、強度的計算公式，并分析滾輪、軸承的總接觸剛度。根據(jù)接觸剛度模型、應(yīng)用拉格朗日方程建立高速重載運動機構(gòu)動力學(xué)模型，得到機構(gòu)的自由振動微分方程，從而計算出機構(gòu)的各階固有頻率。

滾輪導(dǎo)軌；接觸力學(xué)；拉格朗日方程

0 引言

高速重載運動機構(gòu)是Z箍縮驅(qū)動的混合堆快速換靶機構(gòu)的重要環(huán)節(jié)，其作用是當(dāng)運輸小車運動到靶室正上方時，帶動RTL組件，將其送入靶室。機構(gòu)做豎直方向的一維運動，行程達15 m，機構(gòu)與負載總重約為25 t，由于換靶頻率要保證0.1Hz，機構(gòu)運動速度也非常高，最高速度將達到15 m/s。在高速重載工況下，滑動導(dǎo)軌摩擦力大，發(fā)熱大故無法適應(yīng)連續(xù)、精度要求高的工作條件。而在滾動導(dǎo)軌中，以滾輪導(dǎo)軌的承載能力最為出眾，因此，選擇許用速度達15 m/s的滾輪導(dǎo)軌作為導(dǎo)向結(jié)構(gòu)。針對滾輪導(dǎo)軌這一導(dǎo)向部件，需要滿足高速重載運動機構(gòu)的強度與動態(tài)性能要求，作出以下分析。

1 建立接觸模型

由于導(dǎo)軌和滾輪的相互接觸是誘發(fā)系統(tǒng)振動和導(dǎo)軌疲勞破壞的根源，因此，建立簡單有效的導(dǎo)軌一滾輪接觸模型是分析系統(tǒng)振動的基礎(chǔ)。假定導(dǎo)軌與滾輪間只考慮法向力，采用經(jīng)典的赫茲彈性接觸理論進行計算。

當(dāng)圓柱體受到單位長度上的壓力為p時，圓柱體間就會發(fā)生接觸變形。在接觸長度為L，寬度為 2a的接觸區(qū)[1-3]，根據(jù)Hertz接觸理論可得：

(1)

最大壓力為：

(2)

對于圓柱體與平面接觸，可以看作是曲率半徑為R和曲率半徑為無窮大的2個軸線平行圓柱之間的接觸。

當(dāng)圓柱為有限長時，圓柱與平面的趨近量不適合用Hertz理論求解。工程應(yīng)用時，由于受力情況復(fù)雜，主要采用Palmgren通過實驗得出的經(jīng)驗公式[4]，對于鋼材料的接觸，彈性模量E=206 GPa，泊松比u=0.3，即

(3)

F為法向力；l為接觸長度。因此，可以得到法向力與趨近量的關(guān)系為：

F=a·δ10/9

(4)

a為與l有關(guān)的參數(shù)?？梢姡ㄏ蛄εc趨近量之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系，然而非線性程度并不高，在趨近量小的時候是可以用線性關(guān)系近似的。

對于滾輪導(dǎo)軌副，當(dāng)導(dǎo)軌、滾輪位移都比較小，滾輪上作用有預(yù)加力，滾輪產(chǎn)生的預(yù)加變形為δ0時，并且預(yù)加位移相比導(dǎo)軌、滾輪的位移較大，式(4)可以用泰勒級數(shù)展開，得到：

(5)

用f0表示上式中第1項，并以Kg表示第2項系數(shù)，則式(5)中接觸力計算公式可以寫為：

f=f0+Kgdδ

(6)

f0為預(yù)加力；Kg為近似線性化接觸剛度，dδ為滾輪和導(dǎo)軌間的相對位移。公式轉(zhuǎn)化為線性化的接觸力表達式。預(yù)緊量為0.1mm時，預(yù)緊力f0=1.73×104N，徑向剛度Kg=1.92×105N/mm。

滾輪為V型結(jié)構(gòu)，夾角為90°。當(dāng)徑向力F作用于滾輪時，滾輪與導(dǎo)軌之間產(chǎn)生的徑向位移為dx，那么對于接觸面上產(chǎn)生的趨近量則為：

dδ=dxsinφ

(7)

由此可得，滾輪與導(dǎo)軌間單個接觸表面間增加的法向接觸力和接觸力在dx方向上的分量為：

fx=Kgdδsinφ=Kgdxsin2φ

(8)

由力平衡關(guān)系可得：

F=2fx=Kgdx

(9)

同理可以得到，滾輪導(dǎo)軌的徑向剛度和軸向剛度均為Kg。滾輪接觸模型如圖1所示。

滾輪與導(dǎo)軌的接觸可以認為是線接觸，而對于滾輪軸承來說，其中的鋼珠與軸承框架則為點接觸，根據(jù)Hertz接觸理論，當(dāng)2個接觸的外凸形狀的固體相互擠壓時，接觸點擴展為1個區(qū)域，在接觸區(qū)域內(nèi)會產(chǎn)生應(yīng)力和變形。接觸斑的大小取決于接觸體的力學(xué)屬性和外部載荷。

圖1 滾輪接觸模型

對于彈性圓球點接觸，接觸半徑和接觸應(yīng)力分布可由下式給出[1，5-7]，即

(10)

最大壓力為：

(11)

由于接觸部位附近的變形，接觸體將會相互趨近。Hertz接觸載荷與趨近量的關(guān)系為：

(12)

工程實際應(yīng)用中常保持預(yù)緊量為60μm，當(dāng)變形量較小時，F(xiàn)-δ關(guān)系近似為線性關(guān)系，鋼珠直徑為12mm，復(fù)合彈性模E=1.03×1011Pa，線性擬合后近似線性剛度為KB=1.51×105N/mm，經(jīng)線性擬合的F-δ關(guān)系和原曲線如圖2所示。從圖2可以看出，線性擬合剛度和實際剛度的差別很小，最大誤差為3.65%。

圖2 滾珠剛度線性擬合曲線

如此滾珠接觸等效為彈簧，當(dāng)滾珠兩端同時有接觸力作用時，就是一對彈簧的串聯(lián)問題。若每根彈簧的剛度為KB，則每個接觸面的剛度為KB/2。軸承內(nèi)圈固定，當(dāng)外圈受軸向力F時，豎直下降位移為δ。接觸點由A點移動到A1點，D點移動到D1點。軸承接觸模型如圖3所示。

圖3 軸承接觸模型

從圖3可知，AC接觸對之間的接觸變形改變量δAC=AA1。因此，接觸變形量為：

δAC=δsinα，δBD=-δsinα

(13)

對軸承外圈進行受力分析得：

F/Z=FACsinα-FBDsinα=Kbδ

(14)

Z為鋼珠數(shù)量，軸承共兩排鋼珠，每排12個，共24個，所以軸承的軸向剛度為Kba=24Kb=18.12×105N/mm。

當(dāng)軸承受到徑向力F作用時，受力情況如圖4所示。因預(yù)緊作用，各鋼珠均受力，而受力情況各不相同，越靠近受力點的鋼珠接觸力越大。各鋼柱法向接觸力為Fj。由受力分析得：

(15)

當(dāng)產(chǎn)生位移量δ時，每個滾珠的接觸變形變量為δj，δj=δcosαcosβj，法向接觸力FAC=FBD=Kb(δ0+δjcosα)，因此，有：

Fj=FAC+FBD=2KB(δ0+δcos2αcosβj)

(16)

由此可得：

(17)

所以軸承徑向剛度Kbr=9.06×105N/mm。

圖4 軸承徑向受力分布

2 振動特性分析

機構(gòu)做豎直方向的一維運動，兩邊各有2組導(dǎo)軌，每組導(dǎo)軌有4對滾輪。據(jù)上述計算結(jié)果簡化模型[8-10]，將接觸作用等效為彈簧單元，滾輪所在位置的滾輪-導(dǎo)軌接觸和軸承接觸可以等效為2個彈簧單元串聯(lián)之后的結(jié)果。坐標(biāo)系建立方式如圖5所示。設(shè)x軸方向彈簧剛度為kx，y方向彈簧剛度為ky。

(18)

圖5 動力學(xué)模型

采用拉格朗日法建立動力學(xué)方程[10-11]，設(shè)系統(tǒng)繞x軸，y軸，z軸的坐標(biāo)分別為φ，θ，Φ，則系統(tǒng)沿x軸，y軸和繞x軸，y軸，z軸的振動方程可表示為：

(19)

qi為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)；T為系統(tǒng)動能；V為系統(tǒng)勢能。系統(tǒng)動能為：

(20)

m為機構(gòu)運動部分總質(zhì)量；Jx，Jy，Jz分別為機構(gòu)繞x軸，y軸，z軸的轉(zhuǎn)動慣量。由系統(tǒng)的動能可以得到慣性力方程為：

(21)

系統(tǒng)的勢能為：

(22)

Kx為x方向彈簧剛度；Ky為y方向彈簧剛度；Δxi，Δyi分別為x方向，y方向第i個彈簧的伸長量。由系統(tǒng)勢能可以得到彈性力方程為：

(23)

根據(jù)慣性力方程、彈性力方程得到系統(tǒng)的無阻尼振動方程，方程改成矩陣形式為：

(24)

X為系統(tǒng)的坐標(biāo)位移矩陣，即

X=[x，y，φ，θ，φ]T

(25)

M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣。

(26)

(27)

求解系統(tǒng)特征方程可得系統(tǒng)固有頻率。對比ANSYS仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，計算誤差相差無幾。系統(tǒng)基頻超過了10Hz，滿足工作需要。結(jié)果如表1所示。

表1 固有頻率計算結(jié)果 Hz

3 疲勞特性分析

因高速重載運動機構(gòu)的尺寸很大，難免產(chǎn)生偏心距。設(shè)質(zhì)心偏離幾何中心線距離為ε，取向右方向為正方向，力矩順時針為正。根據(jù)運動軌跡，計算傾覆力矩。下降階段重力產(chǎn)生的傾覆力矩始終為(m1+m2)gε，上升過程為m1gε，其中，m1為滑塊等組件質(zhì)量，m2為RTL組件質(zhì)量。過程中慣性力產(chǎn)生的傾覆力矩為(m1+m2)aε，上升過程電機作用力產(chǎn)生的傾覆力矩為(m1)aε。根據(jù)運動軌跡可計算出傾覆力矩循環(huán)，如圖6所示。

圖6 傾覆力矩循環(huán)

機構(gòu)傾覆力矩將由導(dǎo)軌支持力平衡，這樣將對滾輪導(dǎo)軌產(chǎn)生壓力，根據(jù)平衡條件可計算滾輪所受壓力，最外側(cè)的一組滾輪受力最大為：

(28)

Li為第i組滾輪距離滾輪組對稱軸的距離，i=1，2，3，4。由Hertz理論可知，滾輪中輪徑小處的接觸力大于輪徑大處的接觸力，所以只需計算輪徑最小處在工作過程中的應(yīng)力-時間數(shù)據(jù)。

滾輪采用GCr15材料，疲勞極限250MPa，屈服極限518 MPa，構(gòu)件承受的應(yīng)力幅水平與發(fā)生疲勞破斷時所經(jīng)歷的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)之間的關(guān)系，多用如冪函數(shù)的形式表示[12-13]，即

(29)

S為應(yīng)力幅；m，C為與材料有關(guān)的常數(shù)。循環(huán)次數(shù)N=1時，S為屈服強度Sq，對于金屬材料，疲勞極限Sh所對應(yīng)的壽命一般為N=107次，這樣已知Sq和Sh的情況下，就可以聯(lián)立求解出常數(shù)m=22.12和C=1.13×1060，從而近似得到材料的S-N曲線，如圖7所示。

由Hertz接觸理論可以計算滾輪所受的接觸力-時間數(shù)據(jù)，對應(yīng)力譜的處理采用雨流計數(shù)法，這樣就可以得到各級應(yīng)力的均值與幅值。

圖7 導(dǎo)軌材料S-N曲線

由于應(yīng)力均值對疲勞累積損傷的影響，必須對雨流計數(shù)的結(jié)果進行應(yīng)力均值修正，將非零應(yīng)力均值的應(yīng)力范圍轉(zhuǎn)化為零應(yīng)力均值的應(yīng)力范圍[14-17]。利用Sederberg直線將變幅疲勞應(yīng)力修正為平均應(yīng)力為零(即應(yīng)力比為-1)的疲勞應(yīng)力譜，即對稱循環(huán)載荷譜。

Sederberg直線的表達式為：

Si=Sai/(1-Sni/SJ)

(30)

Si為第i級應(yīng)力循環(huán)的等效應(yīng)力；Sai為第i級應(yīng)力循環(huán)的應(yīng)力幅值；Sni為第i級應(yīng)力循環(huán)的應(yīng)力均值；SJ為材料的屈服強度。將雨流計數(shù)法得到的Sai和Sai代入即可求得對稱循環(huán)應(yīng)力。

圖8為用雨流計數(shù)法計算得到的等效應(yīng)力，經(jīng)計算各級應(yīng)力均遠小于疲勞極限，其中最大級應(yīng)力為S=94.19 MPa。也即各級應(yīng)力對疲勞壽命沒有影響，可認為滾輪工作循環(huán)數(shù)為107。

圖8 接觸力分布

4 結(jié)束語

基于赫茲接觸理論對滾輪導(dǎo)軌系統(tǒng)建立了接觸力學(xué)模型，得到滾輪、軸承的總接觸剛度。根據(jù)接觸剛度模型、拉格朗日方程法建立了高速重載運動機構(gòu)動力學(xué)模型，得到機構(gòu)的自由振動微分方程，從而計算出機構(gòu)的各階固有頻率，其一階固有頻率為13.4Hz。借助有限元分析軟件ANSYS對機構(gòu)進行模態(tài)分析，與理論計算結(jié)果進行對比，驗證了方法的正確性。對滾輪導(dǎo)軌進行了接觸疲勞強度分析。采用雨流計數(shù)法和Sederberg直線處理接觸應(yīng)力載荷譜，計算出滾輪導(dǎo)軌的最大級循環(huán)應(yīng)力為95 MPa。

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Vibration and Fatigue Analysis of High-speed Heavy Mechanism Basedon Roller Contact Model

WANGRui，LIUYanjie，YANGLidong

(State Key Laboratory of Robotics and System，Harbin Institude of Technology，Harbin 150001，China)

Established the mechanism’s roller guide contact mechanics model by Hertz contact theory，derived contact stiffness，strength calculation and analyze the total contact stiffness of the wheels and the bearing. According to the contact stiffness model of high-speed heavy motion mechanism，established dynamic mode by using Lagrange equations of motion mechanism，Thus，established freedom vibration differential equation to calculate the natural frequencies of mechanism.

roller guide；contact mechanics；Lagrange equation

2014-05-05

黑龍江省科研機構(gòu)創(chuàng)新能力提升專項計劃項目(YC13D004);國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(八六三)資助項目(2013AA040901)

TH112

A

1001-2257(2014)09-0047-05

王銳(1989-)，男，黑龍江佳木斯人，碩士研究生，研究方向為機械電子工程；劉延杰(1975-)，男，黑龍江哈爾濱人，教授，研究方向為機器人技術(shù)。